1、考点规范练33基本不等式及其应用考点规范练A册第24页基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案C解析因为x0,所以x2+142x12=x,所以lgx2+14lg x(x0),故选项A不正确;当xk,kZ时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,有1x2+1=1,故选项D不正确.2.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.1ab14B.1a+1b1C.ab2D.a2+b28答案D解析因为a0,b0,所以4=a+
2、b2ab(当且仅当a=b时,等号成立),即ab2,ab4,1ab14,选项A,C不成立;1a+1b=a+bab=4ab1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab8,选项D成立.3.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案B解析由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.avabB.v=abC.abva+b2D.v=a+b2导学号7
3、4920285答案A解析设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为sa+sb,从而v=2ssa+sb=2aba+b.0ab,ab2ab2b=a,2a+b1ab,即2aba+bab,av0,y0,得4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy30,即xy2,故xy的最大值为2.6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元导学号74920287答案C解析设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则a
4、b=4 m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)80+40ab=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4)D.(-4,2)导学号74920288答案D解析因为x0,y0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+28,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.由x+2ym2+2m恒成立,可知m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m1,b1,若ax=by=3,a+b=
5、23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12导学号74920289答案C解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3.又a1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg 3,从而1x+1ylg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.9.已知x1,则logx9+log27x的最小值是.答案263解析x1,logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3223=263,当且仅当x=36时等号成立.logx9+log27x的最小值为263.10.(2016山东滨州二模)已知正实数m,n满足m+n=1,当1m
6、+16n取得最小值时,曲线y=x过点Pm5,n4,则的值为.导学号74920290答案12解析正实数m,n满足m+n=1,1m+16n=(m+n)1m+16n=17+nm+16mn17+2nm16mn=25,当且仅当n=4m=45时,1m+16n取得最小值25.曲线y=x过点Pm5,n4,即P125,15,可得15=125,解得=12.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若pq0,则提价多的方案是.导学号74920291答案乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a1+p+q2%2.
7、由于(1+p%)(1+q%)y0,且x+y=1,则4x+3y+1x-y的最小值是.导学号74920294答案92解析xy0,x+y=1,4x+3y+1x-y=2(x+3y+x-y)x+3y+x+3y+x-y2(x-y)=2+2x-yx+3y+12+x+3y2(x-y)=2x-yx+3y+x+3y2(x-y)+522+52=92,当且仅当2x-yx+3y=x+3y2(x-y),即x=56,y=16时等号成立.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件时,
8、C(x)=51x+10 000x-1 450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051 000x万元,依题意得:当0x80时,L(x)=(0.051 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250.当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-x+10 000x.则L(x
9、)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000.当且仅当x=10 000x时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为9501 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.导学号74920295高考预测17.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.解ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2,(a+b)24ab,(ab-3)24ab,即(ab)2-10ab+90,故ab1或ab9.因此ab的取值范围是(-,19,+).导学号749202967
