1、江苏省扬州中学2023-2024学年度第二学期期中试题高一数学 2024.04试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数z=1+i1-i，其中i为虚数单位，则z在复平面对应的点的坐标为（）A(0,-1)B(0,1)C(-1,0)D(1,0)2用二分法研究函数fx=x2+3x-1的零点时，第一次经过计算发现f00，可得其中一个零点x00,0.5，则第二次还需计算函数值（）Af1Bf-0.5Cf0.25Df0.1253已知ABC中内角A、B、C的对边分别是a、b、c，c=6，a=4，B=120，
2、b=（）A76B219C27D274已知向量a=-3,4，b=1,0，向量a在向量b方向上的投影向量的模为（）A-35B35C3D-35如图所示，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=（）A53BA-13BCB23BA+16BCC13BA+13BCD23BA+13BC6函数fx=2sinxcosx+2cos2x的最大值是（）A1B2C2+1D227. 已知，则（ ）ABCD8. 若ABC的角A,B,C所对边a,b,c，且满足a-2b+4bsin2A+B2=0，则tanA的最大值为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小
3、题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9下列命题为真命题的是（）A若复数z1z2，则z1,z2RB若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=iC若复数z1,z2满足z12+z22=0，则z1=z2=0D若1+2ia+b=2i，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a=1，b=-110若平面向量a=n,2，b=1,m-1，其中n，mR，则下列说法正确的是（）A若2a+b=2,6，则a/bB若a=-2b，则与b同向的单位向量为22,-22C若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为12,33,+D若ab，则z=2n+4m的最小值为411.
4、 在扇形中，点在弧上运动且不与点重合，于点，与点，则（ ）A.的长为定值B.的大小为定值C.面积的最大值为12tan38D.四边形的面积的最大值为2+22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12已知A-1,2,B2,0,Cx,3,且ABAC，则x= .13已知sin(2-6)=-13，(0,2)，则sin(+6)= .14. 已知为的内心，且满足，则的最大值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）复数z=a2-a-6+a2-3a-10i，其中i为虚数单位，a为实数(1)若复数z为实数，求a的值；(2)若复数z为纯虚数，求a的
5、值16（15分）已知a=b=1，且2a-b3a-2b=8，(1)求ab的值：(2)求a+b与a的夹角.17（15分）在ABC中，角A,B,C所对的边a,b,c, 满足b2=ac且2B=A+C.(1)若b=2，求ABC的面积；(2)求1tanA+1tanC的值.18（17分）某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中APB=120，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA,PB的距离分别为RS=4m,RT=6m.设计者准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA,PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.(1
6、)求点S到点T的距离；(2)求点P到点R的距离；(3)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值.19. （17分）已知函数.（1）当时，求的值域；（2）当时，设，求证：函数有且只有一个零点；（3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求的值.江苏省扬州中学2023-2024学年度第二学期期中试题参考答案：一、选择题1B 2C 3B 4C 5B 6C 7. D 8. B二、选择题9AD 10BCD 11. ABC三、填空题12-13 1333 14. 四、解答题15（1）由复数z为实数，得a2-3a-10=0，解得a=5或a=-2.（2）由复数z为纯虚数，得a
7、2-a-6=0a2-3a-100，解得a=3.16（1）因为2a-b3a-2b=6a2-7ab+2b2=-7ab+8=8，所以，ab=0.（2）由已知可得，a+b2=a2+2ab+b2=2，所以a+b=2.又a+ba=a2+ab=1，所以，cosa+b,a=a+baa+ba=22.又a+b,a0,，所以a+b,a=4.16（1）由2B=A+CA+B+C=，解得B=3，由b2=ac.b=2， ac=4， SABC=12acsinB=124sin3=12432=3.（2）因为b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC， 1tanA+1tanC=1sinAcosA+1sinCcosC=s
8、inCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sin(-B)sinAsinC=sinBsinAsinC=sinBsin2B=1sinB=1sin3=132=233， 1tanA+1tanC=233.18（1）连接ST,PR，在四边形SRTP中，因为RSPA，RTPB，APB=120，所以SRT=60.在RST中，由余弦定理可得ST2=42+62-246cos60=28，所以ST=27（m）.（2）方法一：因为SRPM且TRPN,所以P,T,R,S四点共圆，所以PR=2r=STsinSPT=2732=4213方法二：在RST中，由余弦定理可得cosSTR=S
9、T2+RT2-SR22STRT=272+62-422276=277.则sinPTS=sin90-STR=cosSTR=277，在PST中，由正弦定理可得SPsinPTS=STsinSPT，解得SP=STsinPTSsinSPT=2727732=833.在RtSPR中，由勾股定理得PR2=RS2+SP2=42+8332=1123，所以PR=4213（m）.（3）因为SPMN=12PMPNsin120=34PMPN，SPMN=SPRM+SPRN=12PM4+12PN6=2PM+3PN，所以34PMPN=2PM+3PN26PMPN，所以PMPN128，当且仅当PM=83时等号成立，因此，SPMN=34PMPN323m2.所以当PM=83m时，三角形PMN区域面积最小，最小值为323m2.19. （1）令，则，故值域为（2），当时，单调递增，所以在有唯一零点；当时，所以无零点；当时，所以无零点.综上：有且只有一个零点.（3）当时，于是即为，所以，对任意意实数恒成立，所以若，由（1）不满足（3），故，由（2），故或，当时，则（1）、（3）矛盾，故，则由（1）、（3）知：，所以.
