1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第四章 三角函数及三角恒等变换 三角恒等变换 理（含2014试题）理数1.(2014课表全国，8，5分)设,且tan =,则()A.3-=B.3+=C.2-=D.2+=答案 1.C解析 1.由tan =得=,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos ,又cos =sin,所以sin(-)=sin,又因为,所以-,0-,因此-=-,所以2-=,故选C.2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，9）（ ）（A） （B）2 （C） （D）4答案 2. C解析 2. 因为, 而, 所以原式的值为.3. (2014河北唐山
2、高三第一次模拟考试，8) 若 则（ ）答案 3. A解析 3. 由可得： .4. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 6) 若等于（ ）答案 4.C解析 4.由已知，所以=，两边平方可得：，所以5. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，4) 若，则的值为（ ）A. B. C. D. 答案 5. C解析 5. 因为，所以，所以.6. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，2) 若是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 答案 6.B解析 6. 依题意，且，所以，所以.7.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，8）已知函数（, ）在处取得最大值，则函数是（
3、） A偶函数且它的图象关于点对称 B偶函数且它的图象关于点对称 C奇函数且它的图象关于点对称 D奇函数且它的图象关于点 对称答案 7. B解析 7. ，其中. 由题意可得，解得，所以，所以，是偶函数，且其图像关于对称.根据题意可得的图像关于对称，且其最小正周期为. 根据图像平移可得8.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，12）把曲线C：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（ ）A1 2 3 4答案 8. A解析 8. ，其图像向右平移个单位，得到的图像，又因为其图像关于直线对称，可得，得，解得，所以曲线
4、的解析式为，由题意可得对恒成立，由此可得k=1+2n，nZ，b=1.9.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，5）若三角形ABC中，sin(AB) sin(AB) sin2C，则此三角形的形状是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案 9. B解析 9. 因为C=(A+B) ，结合条件可得sin(A+B) sin(AB) sin2(A+B) ，又因为sin(A+B) 0，所以可得sin(AB) sin(A+B) ，整理得sinAcosB=0，又因为sinA0，可得cosB=0，又因为B（0，），所以B=.10.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四
5、）数学（理）试题, 5) 已知为锐角，则=( )(A) (B) (C) (D) 答案 10. D解析 10. 因为为锐角，可得，所以，而.11. (2014重庆七校联盟, 3) （创新）的值为（ ）答案 11. C解析 11. .12. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 9) 设函数，且其图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为，且在上为增函数 B. 的最小正周期为，且在上为减函数 C. 的最小正周期为，且在上为增函数 D. 的最小正周期为，且在上为减函数答案 12. B解析 12. ，又函数图象关于直线对称，即，又，令，解得，函数的递减区间为，又，函数在上为减函数，故函数
6、的最小正周期为，在上为减函数，选C .13. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 7) 已知则等于（）A. B. C. D. 答案 13.C解析 13.，得，所以.14. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，6) 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于, 两点, 若点, 的坐标为和，则的值为( ) (A) (B) (C) (D) 答案 14. A解析 14. 依题意，.15. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 8) 在中，若，则的形状一定是（ ）A. 等边三角形 B. 不含60的等腰三角形 C. 钝角三
7、角形 D. 直角三角形答案 15. D解析 15. ，即，故是直角三角形.16.(2014课标全国卷,14,5分)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为_.答案 16.1解析 16.f(x)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+)=sin(x+)cos -sin cos(x+)=sin(x+-)=sin x,f(x)的最大值为1.17. (2014山西太原高三模拟考试（一），15) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且A=，若，则实数m= . (用表示) 答案 17. 解析 17. 设外接
8、圆半径为R，则： 可化为： （*）. 易知与的夹角为2C，与的夹角为2B，与的夹角为0，|=|=|=R. 则对（*）式左右分别与作数量积，可得：. 即 R2 （cos2C1）+R2（cos2B1）=2mR2. 2sinCcosB+（2sinBcosC）=2m，sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m. 因为sinA=sin（B+C）=sin（B+C）且A=，所以，m=sinA=sin.18. (2014山西太原高三模拟考试（一），13) 若的展开式中的系数为2, 则= . 答案 18. 解析 18. 的展开式的通项为，当x=3时，可得的系数为, 得，所以=.19. （2
9、014广东汕头普通高考模拟考试试题，9）已知, ，则_. 答案 19.解析 19. 由已知可得，所以.20.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，13）若，则的最大值为 答案 20. 解析 20. (当且仅当时等号成立).21.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，14）设等差数列满足：，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 .答案 21. 解析 21. ，所以可得，又因为，所以可得. 因为当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以可得，解得.22.(2014湖北武汉高三2月调研测试，14) 已知函数f(x) sin2x2cos2xm在区间0，上的
10、最大值为3，则（）m ；（）对任意aR，f(x) 在a，a20上的零点个数为 答案 22. （1）0；（2）40或41解析 22. （1）因为： ，所以， ，所以 ， .（2）由（1） ，周期，在长为的闭区间内有两个或三个零点，区间的长度为十个周期，故零点个数为40个或41个.23. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 12) 若点在直线上，则的值等于 . 答案 23. 解析 23. 依题意，即，又.24.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.()求a的值;()求sin的值.答案 24.查看解析解析 24.()因为A
11、=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.()由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.25.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.()求角C的大小;()若sin A=,求ABC的面积.答案 25.查看解析解析 25.()由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2
12、B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.()由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得Ac.已知=2,cos B=,b=3.求:()a和c的值;()cos(B-C)的值.答案 27.查看解析解析 27.()由=2得cacos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.()在ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=.因a=bc,所以C为锐角,因此cos C=.于是co
13、s(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.28.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos xsin-cos2x+,xR.()求f(x)的最小正周期;()求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.答案 28.查看解析解析 28.()由已知,有f(x)=cos x-cos2x+=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-(1+cos 2x)+=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=.()因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数.f=-, f=-, f=.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.29. (2014天津蓟
14、县第二中学高三第一次模拟考试，17) 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图象的对称轴方程和对称中心的坐标答案 29.查看解析解析 29.= （1）T=；4分 （2）由可得单调增区间（ 8分 （3）由得对称轴方程为，由得对称中心坐标为 12分30. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，17) 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，ccosA，sinBcosC(1) 求tanC的值；(2) 若a，求ABC的面积答案 30.查看解析解析 30. (1) cosA sinA，2分又cosCsinBsin(AC) sinAco
15、sCsinCcosAcosCsinC 5分整理得：tanC 6分(2) 由（1）知sinC，cosC由正弦定理知：，故 9分又sinBcosC= 10分ABC的面积为：S= 12分31. (2014山西太原高三模拟考试（一），17) 已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为, 面积为S， （I）求角A的值； （）若= , 求S+cosBcosC取最大值时S的值.答案 31.查看解析解析 31.32. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 16) 已知向量，. （）求函数的单调递减区间；（）在中, 分别是角的对边, , ,若，求的大小.答案 32.查看解析解析 32.（），所以递减区间是. （
16、5分）（）由和得: ,若，而又, 所以因为，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去. （9分）所以，由正弦定理得: . （12分）33. (2014福州高中毕业班质量检测, 17) 已知函数. （）当时，求函数的单调递增区间；（）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.答案 33.查看解析解析 33.（）=，令，解得即，, 的递增区间为. （6分）（）由, 得而, 所以，所以得，因为向量与向量共线，所以，由正弦定理得: （10分）由余弦定理得: ，即由解得. （13分）34. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，16) 如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射
17、线OA按逆时针方向旋转后与单位圆交于点）， （）若角为锐角，求的取值范围； （）比较与的大小答案 34.查看解析解析 34. （I）如图，在中，由三角函数的定义可知，由于角为锐角，所以，所以，所以，即. （6分）（）因为 ，函数在上单调递减，所以. （12分）35. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，20) 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，. （）求和的值;（）已知, 且, 求的值.答案 35.查看解析解析 35.（）因为函数的图象的最高点的坐标为，所以，又函数的周期，所以. （5分）（）由（）得，因为，所以，（8分）所以.（12分）36.(2014湖北黄
18、冈高三4月模拟考试，17) 在中，角所对的边分别为，且，（）求角；（）若，的面积，求及边的值.答案 36.查看解析解析 36.（），即，舍，又， （6分）（2），即，（9分）又，由正弦定理得：，即. （12分）37. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 17) 已知向量 , , 函数. （）求函数的最小正周期；（）已知分别为内角、的对边，其中为锐角，, 且求的面积.答案 37.查看解析解析 37.解：（），因为，所以. （6分）（），因为，所以，则，所以，即，则，从而. (12分）38. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，16) 已知函数，且函数的最小正周期为. () 求函数的解析
19、式；() 在中，角所对的边分别为, ，若，且，试求的值.答案 38.查看解析解析 38.解： () 因为，由，所以，所以. （5分)() 由 () ，所以，所以，解得，由于为的内角，所以，又，所以，即，又，由余弦定理得：. （12分）39. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，16）设，函数，且函数图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为. () 为求函数的解析式；() 在锐角三角形中，角的对边分别为, 且满足，. 求边的长.答案 39.查看解析解析 39.() ，又因为，所以，所以. （6分）() 由() 得，所以，因为，所以，所以，（8分）所以，由正弦定理得. （12分）40
20、. (2014广东广州高三调研测试，16) 在中，角，所对的边分别为，且. () 求的值；() 若，求的值.答案 40.查看解析解析 40.解：() 在中，.所以.所以. （7分）() 因为，由余弦定理，得.解得. （12分）41. (2014北京东城高三第二学期教学检测，15) 设的内角所对的边长分别为，且. （）求的值；（）求的最大值.答案 41.查看解析解析 41.（）在中，由正弦定理及可得即，则. （6分）（）由() 得，当且仅当，即时，等号成立，故当时，的最大值为. （13分）42.（2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，17）已知函数.() 求函数f(x) 的单调递减区间；() 若
21、ABC的三边满足，且边所对角为，试求的取值范围，并确定此时的取值范围答案 42.查看解析解析 42. () ，所以，所以函数的单调递减区间为. （6分）() 由余弦定理，所以，而，所以，所以. (13分)43.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，16）已知函数 （1）求函数的值域；（2）已知锐角ABC的两边长分别为函数的最大值与最小值，且ABC的外接圆半径为，求ABC的面积答案 43.查看解析解析 43. 10分 12分44.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，16）在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角, ，它们的终边分别与单位圆相交于A, B 两点，已知A
22、, B 的横坐标分别为（）求tan() 的值；（）求的值答案 44.查看解析解析 44.由条件的，因为, 为锐角，所以=，因此（）tan() = -6分（） ，所以为锐角，=-12分45.(2014广西桂林中学高三2月月考，17) 在中，角，的对边分别为，已知（）求；（）若，的面为2，求答案 45.查看解析解析 45. 因为，所以，所以.由，得，即，由余弦定理，则，即，所以，所以. （10分）46.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，17）已知向量，函数（）求函数的最小正周期；（）在中，分别是角的对边，且，且，求的值答案 46.查看解析解析 46.47. (2014重庆五区高三第一
23、次学生调研抽测，19) 设，函数满足. （）求的单调递减区间；（）设锐角的内角、所对的边分别为、，且， 求的取值范围.答案 47.查看解析解析 47.解：（I）2分由得：， 4分5分由得：，的单调递减区间为：7分（II），由余弦定理得：，8分即，由正弦定理得：， ，11分锐角三角形， 12分的取值范围为. 13分48.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 17) 在ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且 (I) 求角A的大小； () 若ABC的面积为3，求a的值答案 48.查看解析解析 48.49.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测
24、试，17)已知为锐角，且，函数，数列的首项，.（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和答案 49.查看解析解析 49. （1）由， 是锐角， （2），, （常数）是首项为, 公比的等比数列, ，50.(2014湖北武汉高三2月调研测试，17) 在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin(AB) cosC（）若a3，b，求c；（）求的取值范围答案 50.查看解析解析 50.解：（）由sin(AB) cosC，得sin(AB) sin(C) ABC是锐角三角形，ABC，即ABC = 又ABC， 由，得B由余弦定理b2c2a22cacosB，得( 2c2(3) 22c3cos即c
25、26c80，解得c2，或c4当c2时，b2c2a2( 222(3) 240，b2c2a2，此时A为钝角，与已知矛盾，c2故c46分故的取值范围为(1，1) 12分51.(2014湖北八市高三下学期3月联考，17) 己知函数在处取最小值（I）求的值。 （II）在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=，求角C答案 51.查看解析解析 51. （）=3分因为在处取得最小值，所以，故，又 所以6分（）由（1）知，因为，且A为内角，所以由正弦定理得，所以或. 9分当时，当时.综上， 12分52. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），16) 在中，角，所对的边分别为，已知函数
26、R）. () 求函数的最小正周期和最大值； () 若函数在处取得最大值，求的值.答案 52.查看解析解析 52. () 依题意， 所以函数的最小正周期是, 有最大值. （6分） () 由 () 知：由，得， 所以. （12分）53. (2014重庆七校联盟, 20) 在中, 三个内角所对边的长分别为, 已知. （）判断的形状; （）设向量, 若, 求.答案 53.查看解析解析 53. （）在中 , 为等腰三角形. （6分）（）由, 得，, 又为等腰三角形， . （12分）54. (2014重庆七校联盟, 18) 已知函数. （）求 的单调减区间；（）求在区间上最大值和最小值.答案 54.查看解
27、析解析 54. ，（3分） （）由， ，函数的单调减区间是 . （9分） （）由 ，故在区间上最大值和最小值分别为，. （13分）55. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 17) 设的内角所对的边是，且 （） 求； （）求的值.答案 55.查看解析解析 55. 解析 （）由正弦定理得， 由可得，又，. （5分） （）由余弦定理得，. （10分）56. (2014天津七校高三联考, 17) 已知函数. () 求函数的最小正周期和单调增区间；() 若函数f(x) 的图像向左平移 个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值答案 56.查看解析解析 56. () ，的最小正周期为，
28、当，即，故所求函数的增区间为. （7分）（）函数的图象向左平移个单位长得，要使函数的图象关于轴对称，只需，即，的最小值为. （13分）57. (2014天津七校高三联考, 16) 在中，已知，. () 求的值； () 若为的中点，求的长.答案 57.查看解析解析 57. 解：（）且， （6分）（）由（）可得由正弦定理得，即，解得 （10分）在中， ，所以（13分）58. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，16) 已知向量，设函数. （）求函数的最小正周期； （）在中，角、所对的边分别为、，且，求的大小.答案 58.查看解析解析 58. 解析 （），又，. （5分） （）， （8分)由正
29、弦定理，可得，即，又，由题意知识锐角，. (12分）59. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，17 ）在中，角所对的边分别为，且 （）求的值； （）求三角函数式的取值范围.答案 59.查看解析解析 59. () ，且，由正弦定理得，又，又，. （6分）（）原式 ， ，即三角函数式的取值范围为. （12分）60. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 17) 函数. （）求函数的单调递减区间；（）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是求数列的前项的和.答案 60.查看解析解析 60. （） .令，所以
30、所以的单调递减区间为. （6分）（）将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到，解法一：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，. （12分）解法二：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、，则，. （9分）由余弦曲线的周期性可知，；所以. （12分）61.(2014广州高三调研测试, 16) 在中，角，所对的边分别为，且（）求的值；（）若，求的值答案 61.查看解析解析 61.解析 （）在中，所以 （4分）所以. （6分） （）因为，由余弦定理， （9分）得解得 （12分）62. (2014兰州高三第
31、一次诊断考试, 17) 已知的三内角、所对的边分别是，向量，且. （）求角的大小； （）若，求的范围.答案 62.查看解析解析 62. 解析 （） ，且.，即，而，故. （6分）（）由余弦定理，得 ， 当且仅当时，取等号.， ，又， . （12分）63. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量，函数（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角中，角、所对的边分别为、，求的值.答案 63.查看解析解析 63.（1）,所以，函数的. (5分)（2）,，,64. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 在ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且，. （）求sinB的值；（）若，求ABC的面积.答案 64.查看解析解析 64.解：（）因为， 所以cosA=，（2分）由已知得，所以sinB=sin=. （5分）（）由（）知，所以sinC=，由正弦定理得，（8分）又因为，所以，a=， （10分）所以. （12分）38
