1、【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第8章 第5节 双曲线 新人教B版一、选择题1(文)(2014广东文)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5，两方程都表示双曲线，由双曲线中c2a2b2得其焦距相等，选D.(理)(2014广东理)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等答案A解析由0k0，b0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()A内切B外切C内切或外切D不相切答案A解析取PF2的
2、中点M，则2|OM|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距由双曲线定义可知|PF2|PF1|2a，即2|MF2|2|OM|2a，|OM|MF2|a，即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切(理)已知F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则以线段PF为直径的圆与圆x2y2a2的位置关系是()A相离B相切C相交D不确定答案B解析设双曲线左焦点为F1，PF的中点为C，则由双曲线的定义知，|PF1|PF|2a，C、O分别为PF、F1F的中点，|PF1|2|CO|，|PF|2|PC|，|CO|PC|a，即|PC|a|CO|，两圆外切3(文)(2014河北石家庄第二次质检)已知F
3、是双曲线1(a0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则POF的大小不可能是()A15B25C60D165答案C解析双曲线的渐近线方程为0，两渐近线的斜率k，渐近线的倾斜角分别为30，150，所以POF的大小不可能是60.(理)(2014甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.1B1C.1D1答案C解析因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c5，又c2a2b2，所以a3，b4，所以以此双曲线的方程为1.4(2014山东烟台一模)双
4、曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y212x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为()A6B2C.D2答案D解析设双曲线C1的方程为1(a0，b0)由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)，准线方程为x3，即双曲线中c3，a2b29，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为4，所以2，与a2b29联立，得a22a90，解得a，故双曲线C1的实轴长为2，故选D.5(2015焦作市期中)已知双曲线y21(a0)的实轴长为2，则该双曲线的离心率为()A.BC.D答案B解析由条件知22，a1，又b1，c，e.6(
5、文)已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为()A8B9C16D20答案B解析由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|BF2|16.据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以4a(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)16412，即a3，所以ma29，故选B.(理)(2014江西赣州四校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交B相切C相离D以
6、上情况都有可能答案B解析设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支上，如图所示，则|O2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切若P在双曲线右支上，同理求得|OO1|r1r2，故此时两圆内切综上，两圆相切，故选B.二、填空题7(文)过双曲线2x2y220的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，则这样的直线有_条答案3解析过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若lx轴，则|AB|4；若l经过顶点，此时|AB|2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|4的直线有两条(理)(2014浙江)设
7、直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_答案解析联立渐近线与直线方程可解得A(，)，B(，)，则kAB，设AB的中点为E，由|PA|PB|，可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为3，6，化简得4b2a2，所以e.8(2014温州十校联考)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的两条切线，记切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C，若ACB120，则双曲线的离心率e_.答案2解析连接OA，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO|c，|OA|a，而ACB120，AOC60，又FA是圆O的切线，故OA
8、FA，在RtFAO中，容易得到|OF|2a，e2.9(文)(2015河南八校联考)已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于_答案解析由条件知a259，a2，e.(理)(2014深圳调研)已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y2x，则双曲线C的方程为_答案x21解析易得椭圆的焦点为(，0)，(，0)，a21，b24，双曲线C的方程为x21.三、解答题10(文)设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值解析(1)将yx1代入双曲线y21
9、中得(1a2)x22a2x2a20由题设条件知，解得0a且a1，又双曲线的离心率e，0a且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)x1x2，x1、x2是方程的两根，且1a20，x2，x，消去x2得，a0，a.(理)设双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，经过双曲线的右焦点F且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，若|AB|12，求此双曲线方程解析e2，c2a，又c2a2b2，b23a2，双曲线C的方程为1，直线AB：y(x2a)代入双曲线方程化简得，4x220ax29a20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25a，x1x2a2，
10、由|AB|x1x2|得，12，a21，b23，所求双曲线方程为x21.一、选择题11(文)(2015绍兴一中期中)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，2，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是()A，B，C，D，答案C解析设渐近线与实轴所成的角为，则tan0，tan2e211,3，tan1，(理)(2015大连二十中期中)已知点P，A，B在双曲线1上，直线AB过坐标原点，且直线PA、PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为()A.BC2D答案A解析设A(x1，y1)，则由题意知B(x1，y1)，又设P(x0，y0)，PA的中点为M，则kPA，kBPkOM，A、P在双曲线上，1，1，两式相减得，kB
11、PkPA，e21，e.12(文)(2013合肥市第一次质检)双曲线1(ab0)的一条渐近线平分圆C：(x1)2(y2)21的周长，此双曲线的离心率等于()A.B2C.D答案A解析由条件知，圆心C(1,2)在直线yx上，2，4，e，故选A.(理)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2Ba213Cb2Db22答案C解析由已知双曲线渐近线为y2x.圆方程为x2y2a2，则|AB|2a.不妨取y2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|AB|，|OP|.则点P坐标为(
12、，)，又点P在椭圆上，1.又a2b25，b2a25.，解得故选C.13(2014重庆理)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.BC.D3答案B解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9()240，则(1)(4)0，解得(舍去)，则双曲线的离心率e.14(2014湖北文)设a，b是关于t的方程t2c
13、ostsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3答案A解析关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0，tan(tan0)，A(0,0)，B(tan，tan2)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线1的渐近线方程为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点，故选A.二、填空题15(文)如图，椭圆、与双曲线、的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为_答案e1e2e4e3解析在椭圆中，e，故越扁越小，e越大，e1e2e41，e1e2e4e3.(理)如图，已知|AB|10，图中的一系列圆是圆心分别为
14、A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，n，.利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦点的双曲线，若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP，则它们的大小关系是_(用“”连接)答案eMePePeM.16(2014山东日照模拟)已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0，PQx轴，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|PF2|，即2c.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去
15、)，a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为yx.三、解答题17(2014广东肇庆一模)设双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点坐标为(，0)，离心率e，A，B是双曲线上的两点，AB的中点为M(1,2)(1)求双曲线C的方程(2)求直线AB的方程(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解析(1)依题意得解得a1.所以b2c2a2312，故双曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，由题意得x1x2，x1x22，y1y24，所以1，即kAB1.故直线AB的方
16、程为yx1.(3)假设A，B，C，D四点共圆，且圆心为P.因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB的垂直平分线CD上又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.下面只需证CD的中点M满足|MA|MB|MC|MD|即可由得A(1,0)，B(3,4)由此可得直线CD方程：yx3.由得C(32，62)，D(32，62)，所以CD的中点M(3,6)因为|MA|2，|MB|2，|MC|2，|MD|2，所以|MA|MB|MC|MD|，即A，B，C，D四点在以点M(3,6)为圆心，2为半径的圆上18(文)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是
17、C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解析(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21中得，(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得k2且k22得，xAxByAyB2，xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2于是2，即0，解此不等式得k23由得k21，k1或1k0，b0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，A(1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率e
18、2.设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP、AQ分别与直线x交于M、N两点，求证：MF2NF2；(3)是否存在常数，使得PF2APAF2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解析(1)由题意可知，a1，e2，c2.a2b2c2，b，双曲线C的方程为x21.(2)设直线l的方程为xty2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去x得，(3t21)y212ty90，y1y2，y1y2.又直线BP的方程为y(x1)，代入x得，M(，)，同理，直线AQ的方程为y(x1)，代入x得，N(，)，(，)，(，)，0，MF2NF2.(3)当直线l的方程为x2时，解得P(2,3)易知此时AF2P为等腰直角三角形，其中AF2P，PAF2，即AF2P2PAF2，也即2.下证：AF2P2PAF2对直线l存在斜率的情形也成立tan2PAF2，x1，y3(x1)，tan2PAF2，tanAF2PkPF2tan2PAF2，结合正切函数在(0，)(，)上的图象可知，AF2P2PAF2.- 11 -
