1、模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：求出复数z，再确定z对应的点的坐标12i，z12i，z在复平面内对应的点位于第四象限答案：D2已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x
2、0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误B项正确答案：B3“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“yax是增函数”是不正确的，当0a1时，yax是增函数答案：A4若复数z(bR，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是()Ai BiCi Di解析：因为zi是纯虚数，所以2b0且2b10，解得b2.所以zi，
3、则复数z的共轭复数是i.答案：C5类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A BC D解析：三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线面”、“角二面角”答案：B6设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x1处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：由题意知f(1)0，当x1时f(x)1时f(x)0，当x0，当1x0时，xf(x)0时，xf
4、(x)0.答案：B7若dx3ln 2且a1，则实数a的值是()A2 B3C5 D6解析：dx(x2ln x)a2ln a13ln 2，所以a2.答案：A8观察式子：1，1，1，则可归纳出一般式子为()A 1(n2)B 1(n2)C 1(n2)D 1(n2)解析：由合情推理可得答案：C9在平面内有n(nN，n3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(9)等于()A18 B22C37 D46解析：f(3)7，f(4)f(3)4，f(5)f(4)5，f(n)f(n1)n.以上各式相加：f(n)745nf(9)7459746.答案：D10已知直线
5、yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2C1 D2解析：设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)又y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，y00.x01.a2.答案：B11定义复数的一种运算z1* z2 (等式右边为普通运算)，若复数zabi，且正实数a，b满足ab3，则z*的最小值为() A BC D解析：z*，又ab2，ab，z* .答案：B12函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)0，当x0时，有0恒成立，则不等式f(x)0的解集为()A(1,0)(1，) B(1,0)(0,1)C(，1)(1，) D(，1
6、)(0,1)解析：由题意知g(x)在(0，)上是增函数，且g(1)0，f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数的草图如图所示：由图象知：当x1时，f(x)0，当1x0.不等式f(x)0的解集为(1,0)(1，)答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：根据题意先求出P，Q的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点因为yx2，所以yx，易知P(4,8)，Q(2,2)，所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或2.所以
7、这两条切线的方程为l1：4xy80，l2：2xy20，将这两个方程联立方程组求得y4.答案：414.(x)dx_.解析：dx，xdxx20，(x)dx.答案：15通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为_.解析：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.答案：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为16若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_解析：f(x)3x22xm要使f(x)是R上的单调函数，需使412m0，m.答案：m三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的
8、文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)若复数z1i，求实数a，b使得az2b(a2z)2.解析：由z1i，可知1i，代入az2b(a2z)2，得a(1i)2b(1i)a2(1i)2，即a2b(a2b)i(a2)244(a2)i.所以解得或18(本小题满分12分)已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解析：当k2时，f(x)ln(1x)xx2，f(x)12x.由于f(1)ln 2，f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln 2(x1)，即3x2y2ln 230.19(本小题满分12分)用数学归纳法
9、证明：当nN*时，12233nn(n1)n.证明：(1)当n1时，左边1，右边2,12，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即12233kk(k1)k；那么，当nk1时，左边12233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右边，即左边1时，f(x)的单调递增区间为(，2)，(2a，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(，2a)，(2，)(3)由题意可得解得a0)(2)由(1)得L(x)x2，令L(x)0x2，令t，得t4t51252555，t5，于是xt225，所以当产量定为25时，总利润最大
10、这时L(25)416.72 5001 200883.答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元22(本小题满分13分)已知函数f(x)x3ax23x(aR)(1)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在a,1上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)f(x)3x22ax3，f(x)在1，)上是增函数，在1，)上恒有f(x)0.1且f(1)2a0.a0.(2)由题意知f0，即30，a4.f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30得x或x3.f(4)12，f(3)18，f，f(1)2，f(x)在a,1上的最大值是f(3)18.(3)若函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x34x23xbx恰有3个不等实根x0是其中一个根，方程x24x(3b)0有两个非零不等实根b7且b3.满足条件的b存在，其取值范围是(7，3)(3，)8
