1、一、知一、知识识概述概述 一、函数的概念一、函数的概念 1.函数函数：设设在某个在某个变变化化过过程中有程中有 两个两个变变量量 ，如果，如果对对于于 在某在某 一个范一个范围围内的每一个确定的内的每一个确定的值值，都有唯一确定的都有唯一确定的值值与它与它对应对应，那，那 么就么就说说 是是 的函数，的函数，叫做自叫做自变变 量量.yx,xyyxx2.函数的表示方法：解析法函数的表示方法：解析法 列表法列表法 图图像法像法 3.函数的函数的图图像像：对对于一个函数，如果把自于一个函数，如果把自变变量量 和函数和函数 的每一的每一对对应值对对应值分分别别作作为为点的横坐点的横坐标标和和纵纵坐坐标
2、标，在坐，在坐标标平面内就有平面内就有一个相一个相应应的点，由的点，由这样这样的点的全体所的点的全体所组组成成的的图图形叫做形叫做这这个函数的个函数的图图像像.xy二、初中代数中所学的函数二、初中代数中所学的函数 1.一次函数：函数一次函数：函数y=_(k、b为为常数，常数，k_)叫做一次函数叫做一次函数.当当b_时时，函数，函数y=_(k_)叫做正比例函数叫做正比例函数.kx b =kx 理解一次函数概念理解一次函数概念应应注意下面两注意下面两点：点：解析式中自解析式中自变变量量x的次数是的次数是_；比例系数比例系数_.1 k0 正比例函数正比例函数y=kx(k0)的的 图图像是像是过过点点
3、(_)，(_)的的_.0，0 1，k 一条直一条直线线 b kb 一条直一条直线线 一次函数一次函数y=kx+b(k0)的的 图图像是像是过过点点(0，_)、(_，0)的的_.x y 0 k 0 图图像像过过一、三象限一、三象限.y随随x的增大而增大的增大而增大.x y 0 k 0,b 0 k 0,b0 图图像像过过一、三、四象限一、三、四象限.y随随x的增大而增大的增大而增大.b x y 0 b y=k x+b y=k x+b 图图像像过过一、二、三象限一、二、三象限.y随随x的增大而增大的增大而增大.y=kx+b(k0)x y 0 k 0 k 0,b 0 图图像像过过一、三象限一、三象限.
4、y随随x的增大而减小的增大而减小.x y 0 k 0时时,二次函数二次函数y=ax2+bx+c 当当x=时时取得最小取得最小值值 ；ab2abac442ab2abac442a0，那么，那么 ab2 当当x 时时，函数，函数 值值随随x值值的增大而增大的增大而增大.ab2 当当x 时时，函数，函数 值值随随x值值的增大而减小；的增大而减小；abx2 如果如果a0，那么，那么 ab2 当当x 时时，函数，函数 值值随随x值值的增大而增大；的增大而增大；ab2 当当x 时时，函数，函数 值值随随x值值的增大而减小的增大而减小.abx2 抛物抛物线线 位置的确定：位置的确定：)0(2acbxaxy(1
5、)的符号决定开口方向：的符号决定开口方向：a(2)的符号决定的符号决定对对称称轴轴的位置：的位置：ab2 y(3)的符号决定抛物的符号决定抛物线线与与 轴轴交点位置：交点位置：c(4)的符号决定抛物的符号决定抛物线线与与 轴轴位置关系：位置关系：acb42x二、例二、例题题分析分析 32)1(xxy1.求自求自变变量的取量的取值值范范围围：32xx且02x03x233)2(xxy32 x03x02xy(3)如如图图，等腰，等腰ABC的的 周周长为长为 ，腰，腰长为长为 ，底，底 边长为边长为 ，则则 与与 的函的函 数关系式及自数关系式及自变变量量 的取的取 值值范范围围 _.lxyxxxxy
6、B BC CA Axly2)24(lxl2,02,0lxxly4,22,2lxxlxyx确定函数自确定函数自变变量的取量的取值值范范围围：(1)对对于函数解析式中的自于函数解析式中的自变变量，量，要使解析式有意要使解析式有意义义,即即 解析式是整式，自解析式是整式，自变变量可以取量可以取一切一切实实数；数；解析式是分式，自解析式是分式，自变变量的取量的取值值应应使分母不等于零；使分母不等于零；(2)如果函数反映如果函数反映实际问题时实际问题时，自，自变变量取量取值值范范围还围还要受到要受到实际实际意意义义的制的制约约.解析式是二次根式，自解析式是二次根式，自变变量的量的取取值应值应使被开方数的
7、使被开方数的值值大于或等大于或等于零；三次根式，自于零；三次根式，自变变量可以取量可以取一切一切实实数数.2.有关函数概念的有关函数概念的问题问题 1.已知函数已知函数 是一是一次函数，次函数，则则 ，图图像像经过经过第第_象限象限.32)2(3 mxmy_ m解解:由由题题意意:02132mm22mm解得解得 2m解析式解析式为为 34xy这时图这时图像像过过一、一、二、四象限二、四象限.2.函数函数 是正比例函是正比例函 数，且数，且图图像通像通过过第二、四象限，第二、四象限，则则m=_.32mmxmy解解:由由题题意意:0132mmm解得解得 012mmm或或.1m3.如果函数如果函数
8、的的图图像像是双曲是双曲线线，且在第二、四象限内，且在第二、四象限内，那么那么 的的值值是多少？是多少？222 kkkxyk解解:由由题题意意:01222kkk解得解得 0211kkk或或1 k4.抛物抛物线线 的的对对称称轴轴是是直直线线 ,此函数的最小此函数的最小值值是是_.942xxy_ x5)2(2xy解法解法1(配方配方):对对称称轴为轴为:直直线线.2x解法解法2:利用公式利用公式 最小最小值值是是:5.2242abx对对称称轴为轴为:最小最小值值是是:.51449144422abac3.有关函数有关函数图图像的像的问题问题 x x y 0 y x 0 y 0 x y 0 1.在同
9、一坐在同一坐标标系中函数系中函数 和和 的的图图像大致是像大致是()xky3kxy)0(k(A)(B)(C)(D)A x y 0 x y 0 y 0 x y 0 x 2.已知二次函数已知二次函数 的的图图像如像如图图，则则直直线线 与双曲与双曲线线 在同一坐在同一坐标标系中的系中的 位置大致是位置大致是()0(2acbxaxybaxyxaby(A)(B)(C)(D)x o D 4.确定函数解析式的确定函数解析式的问题问题 x1.如如图图，一次函数的，一次函数的图图像与像与 轴轴、轴轴分分别别交于交于A、B两点，和反比例函数的两点，和反比例函数的图图像交于像交于C、D两点，两点，如果点如果点A的
10、坐的坐标标(2，0),点点C、D分分别别在第一、在第一、三象限三象限,且且OA=OB=AC=BD.试试求一次函数、求一次函数、反比例函数的解析式反比例函数的解析式.yx y O D C B A y x O D C B A 解解:设设一次函数解析式一次函数解析式为为)0(kbkxyOA=OB,A(2,0)B(0,-2)A、B是一次函数是一次函数图图像像上的点，上的点，202bbk解得解得 21bk一次函数的解析式一次函数的解析式为为：.2 xyE xy O D C B A 过过C作作CEx轴轴，垂足，垂足为为点点E.在在RtACE中，中，AC=OA=OB=2 又又CAE=45，AE=2cos45
11、=2CE=AE=222AEOAOEC点的坐点的坐标为标为)2,22()0(mxmy设C在在图图像上，像上，2222)22(xym.222xy反比例函数的解析式反比例函数的解析式为为 正比例函数：正比例函数：)0(kkxy一次函数：一次函数：)0(kbkxy反比例函数：反比例函数：)0(kxky2.已知一抛物已知一抛物线线与与 轴轴的交点是的交点是A(-1,0)、B(m,0)，且，且经过经过第四象限的点第四象限的点C(1,n),而而 m+n=-1，mn=-12,求此抛物求此抛物线线的解析式的解析式.x解解:由由题题意意,可可设设m、n是方程是方程 的两个根的两个根,0122 xx解解这这个方程，
12、得个方程，得 3,421xxC(1,n)在第四象限，在第四象限，n0,n=-4 从而从而m=3.抛物抛物线经过线经过A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-4)故可故可设设抛物抛物线线的解析式的解析式为为)3)(1(xxay将将C(1,-4)代入，得代入，得 1a抛物抛物线线的解析式的解析式为为.32)3)(1(2xxxxy二次函数的三种常二次函数的三种常见见的表达式：的表达式：1.一般式：一般式：cbxaxy 22.顶顶点式：点式：其中抛物其中抛物线线的的顶顶点坐点坐标为标为 khxay 2)(),(kh3.两根式：两根式：其中其中 是相是相应应的一元二次方程的一元二次方程 的两个根的两个根
13、)(21xxxxay 21xx、02 cbxax5.有关函数有关函数应应用的用的问题问题 1.如如图图，在直角坐，在直角坐标标系系 中中,一次函数一次函数 的的图图像与像与 轴轴交于点交于点A、与、与 轴轴交于点交于点B.(1)若以原点若以原点为圆为圆心的心的圆圆与直与直线线AB相切于点相切于点C，求切点求切点C的坐的坐标标;(2)在在 轴轴上是否存在点上是否存在点P,使使PAB为为等腰三等腰三角形？若存在，角形？若存在，请请直接写出点直接写出点P的坐的坐标标；若不存在，若不存在，请说请说明理由明理由.xOy233 xyxyx-4-3-2-1 A A B B O O y x C C K K-4
14、-3-2-1 A A B B O O 解:在一次函数 中 233xy32,0,2,0 xyyx则令则令)2,0(),0,32(BA2,32OBOA422OBOAABAOBRt中，在过O作OCAB于C,过C作CKx轴于K.3ABOBOAOC在RtAOB中，tanBAO=33 OAOB BAO=30,AOC=60.x y 2360cos oOCOK2360sin oOCCK).23,23(点的坐点的坐标为标为CC C K K-4-3-2-1 A A B B O O x y x y O B A)0,324(1P)0,432(2P)0,32(3P4P以以AB为为腰的等腰腰的等腰 ,则则 1ABP)0,
15、324(1P以以AB为为腰的等腰腰的等腰 ,则则 2ABP)0,432(2P以以AB为为腰的等腰腰的等腰 ,则则 3ABP)0,32(3P,33260cot24oOP)0,332(4P则则 以以AB为为底的等腰底的等腰 ,4ABP)0(kxky2.已知反比例函数已知反比例函数 和一次函数和一次函数 .(1)若一次函数和反比例函数的若一次函数和反比例函数的图图像交像交于点于点(4,m)，求，求 和和 ；(2)满满足什么条件足什么条件时时，这这两个函数两个函数图图像有两个不同的交点；像有两个不同的交点；(3)设设(2)中的两个交点中的两个交点A、B，试试判断判断AOB是是锐锐角角还还是是钝钝角角.
16、8xymkk解解:(1)由由题题意意:一次函数的一次函数的图图像与反比例函数像与反比例函数的的图图像交于点像交于点(4,m)，484kmm164km解得解得2.已知反比例函数已知反比例函数 和一次函数和一次函数 .(1)若一次函数和反比例函数的若一次函数和反比例函数的图图像交于点像交于点(4,m)，求，求 和和 ；)0(kxky8xymk解解:若两个函数的若两个函数的图图像相交，像相交，则则交点的坐交点的坐标满标满足足 2.已知反比例函数已知反比例函数 和一次函数和一次函数 .(2)满满足什么条件足什么条件时时，这这两个函数两个函数图图像有像有两个不同的交点；两个不同的交点；)0(kxky8x
17、yk8xyxky消去消去 ，整理得，整理得 y082kxx,04)8(,02k即即由由16 k得得,0 k又又.016kk且且(3)设设(2)中的两个交点中的两个交点A、B，试试判断判断AOB是是锐锐角角还还是是钝钝角角.时，当160k限，的图像位于第一、三象xky限的两个交点必在第一象与直线8xyAOB90，故AOB为钝角.x0,1x0,2x0322 xx1x2x)(21xx ycbxaxy 23.已知开口向上的抛物已知开口向上的抛物线线 与与 轴轴交于交于A()和和B()两点，两点，和和 是方程是方程 的两个的两个根根 ，而且抛物，而且抛物线线与与 轴轴交于交于C点，点，ACB不小于不小于
18、90.(1)求点求点A、点、点B的坐的坐标标和抛物和抛物线线的的对对称称轴轴；(2)求点求点C的坐的坐标标(用含用含 的代数式表示的代数式表示);(3)求系数求系数 的取的取值值范范围围.aa,032:2 xx由由解解.1,321 xx解得解得)0,1()0,3(BA.1:x直直线线对对称称轴为轴为3.已知开口向上的抛物已知开口向上的抛物线线 与与 轴轴交于交于A()和和B()两点，两点，和和 是方程是方程 的两个的两个根根 ，而且抛物，而且抛物线线与与 轴轴交于交于C点，点，ACB不小于不小于90.(1)求点求点A、点、点B的坐的坐标标和抛物和抛物线线的的对对称称轴轴；cbxaxy 2x0,
19、1x0,2x0322 xx1x2x)(21xx y),0(,0:cCcyx ，得得令令解解A、B在抛物在抛物线线上上 0039cbacbaacb3 ，得，得消去消去).3,0(aC 0,2xy3.已知开口向上的抛物已知开口向上的抛物线线 与与 轴轴交于交于A()和和B()两点，两点，和和 是方程是方程 的两个根的两个根 ，而且抛物而且抛物线线与与 轴轴交于交于C点，点，ACB不小于不小于90.(2)求点求点C的坐的坐标标(用含用含 的代数式表示的代数式表示);cbxaxy 20,1x0322 xx1x2x)(21xx axxyO A B C(3)抛物抛物线线开口向上，开口向上，,0aaaOC3
20、3ACB90,当ACB=90时，有RtBOCRtCOA,3132OBOAOC3OC;33,33aa即当ACB90时，.33,333aaOC，即则.330a所以4.某某乡组织乡组织20辆辆汽汽车车装运装运A、B、C三种苹果三种苹果共共42吨到外地吨到外地销销售，按售，按规规定每定每辆车辆车只装同一只装同一种苹果，且必种苹果，且必须须装装满满，每种苹果不少于，每种苹果不少于2车车.(1)设设有有x辆车辆车装运装运A种苹果，用种苹果，用y辆车辆车装运装运B种苹果，根据表中提供的信息，求种苹果，根据表中提供的信息，求y与与x之之间间的函数关系，并求的函数关系，并求x的取的取值值范范围围；(2)设设此次
21、外此次外销销活活动动的利的利润为润为W（百元），求（百元），求W与与x的函数关系式以及最大利的函数关系式以及最大利润润，并安排，并安排相相应应的的车辆车辆分配方案分配方案.苹果品种 A B C 每辆汽车运载量（吨）2.2 2.1 2 每吨苹果获利（百元）6 8 5 (1)设设运送运送A种苹果种苹果x车车，B种苹果种苹果y车车,则则C种苹种苹果果(20-x-y)车车.2.2x+2.1y+2(20-x-y)=42 y=20-2x 即运即运A、B、C三种苹果的三种苹果的车辆车辆数分数分别为别为x,20-2x,x 222202xxx得得2 x 9 x为为整数，整数，x的的值为值为2，3，4，5，6，7，8，9.苹果品种 A B C 每辆汽车运载量（吨）2.2 2.1 2 每吨苹果获利（百元）6 8 5 xxxW52)220(81.262.2 x4.10336 (2)k=-10.40,W的的值值随随x的增大而减小的增大而减小 x=2时时 ,W取得最大取得最大值值,W=315.2,最大利最大利润为润为3.152万元万元.车辆车辆分配方案分配方案为为：A种苹种苹果果2车车，B种苹果种苹果16车车，C种苹果种苹果2车车.苹果品种苹果品种 A B C 每每辆辆汽汽车车运运载载量（吨）量（吨）2.2 2.1 2 每吨苹果每吨苹果获获利（百元）利（百元）6 8 5
