1、1导数的概念2函数的求导法则3高阶导数4隐函数和由参数方程所确定的函数的导数5函数的微分第一节 导数的概念第一节 导数的概念3从研究常量到研究变量，从研究规则的几何体到研究不规则的几何体，是人类对自然界认识的一大飞跃。在这两个阶段中，不但研究的对象不同，而且研究的方法也不同。初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、孤立地研究问题，而高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的。下面我们以两个问题为例，引入导数的概念，同时也介绍高等数学的基本思想方法。第一节 导数的概念4 设曲线 L 为函数 y=f(x)的图形，其上一点 A 的坐标为(
2、x0,f(x0)。在曲线上点 A 附近另取一点 B，它的坐标是(x0+x,f(x0+x)。直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作。由图中的直角三角形 ACB，可知割线 AB 的斜率为一、两个引例1.切线问题L f(x0+x)xyOABx0 x0+x f(x0)TC 第一节 导数的概念5 在数量上，它表示当自变量从 x0变到 x0+x 时函数 f(x)关于变量的平均变化率（增长率或减小率）。一、两个引例 现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A，此时 x0，过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置直线 AT，我们就称 L 在点 A 处存在切线 AT。记 AT 的倾斜角为，则 为 的极
3、限，若 90 ，得切线 AT 的斜率 k 为 在数量上，它表示函数 f(x)在点 x0 处的变化率。第一节 导数的概念6 设一物体作变速直线运动，在 0,t 这段时间内所经过的路程为 s，则 s=s(t)是时间 t 的函数，求该物体在时刻 t0 的瞬时速度 v(t0)。一、两个引例2.瞬时速度问题 首先考虑物体在时刻 t0 附近很短一段时间内的运动。设物体从 t0 到 t0+t 这段时间间隔内路程从 s(t0)变到 s(t0+t)，其改变量为 s=s(t0+t)s(t0)，在这段时间内的平均速度为 当时间间隔很小时，可以认为物体在时间 t0,t0+t 内近似地做匀速运动。因此，可以用 作为v(
4、t0)的近似值，而且t 越小，其近似程度越高。第一节 导数的概念7 当时间间隔t 0 时，我们把平均速度的极限称为时刻 t0 的瞬时速度，即一、两个引例 上述两个引例，虽然实际意义完全不同，但从数学结构上看，却具有完全相同的形式。在自然科学和工程技术领域内，还有许多其它的量，如电流强度、线密度等都具有这种形式。从抽象的数量关系来看，其实质都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时的极限。我们把这种特定的极限叫做函数的导数。第一节 导数的概念8二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念 定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义，对应于自变量 x 在点 x0 处有
5、改变量x，函数 y=f(x)相应的改变量为 y=f(x0+x)f(x0)，若 y 与 x 之比当 x0 时的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数，记作即第一节 导数的概念9二、导数的定义 比值 表示函数 y=f(x)在点 x0 到 x0+x 之间的平均变化率，导数 则表示了函数在点处的变化率，它反映了函数 y=f(x)在点 x0 处自变量随因变量变化的快慢。如果当 x 0 时 的极限不存在，我们就称函数 y=f(x)在点 x0 处不可导或导数不存在。特别地，如果 ，也说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大。在定义中，
6、若设点 x=x0+x，则导数定义式可写成第一节 导数的概念10二、导数的定义 由此可见，前面两个引例说明，曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率就是函数 f(x)在点 x0 处的导数，即 k=f(x0)；而直线运动 s=s(t)在时刻 t0 的瞬时速度就是函数 s(t)点 t0 处的导数，即 v=s(t0)。根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的步骤如下：第一步 求函数的改变量 第二步 求比值 第三步 求极限第一节 导数的概念11二、导数的定义 例3-1 求 在点 x=2 处的导数。解 则 于是 所以 第一节 导数的概念12二、导数的定义 例3-2
7、 求 在点 x=0 处的导数。解 当 x 0 时，于是有 所以 第一节 导数的概念13二、导数的定义 定义 函数 y=f(x)在点 x0 处的左导数记为 ，且 定理 函数在一点处导数存在的充要条件为左右导数存在且相等，即同样，右导数为第一节 导数的概念14二、导数的定义2.导函数的概念 如果函数 y=f(x)在开区间 I 内的每一点都可导，则称函数 y=f(x)在开区间 I 内可导。这时，对开区间 I 内每一个确定的值 x 都对应一个 f(x)的确定的导数值，这样就构成一个新函数，称之为 f(x)的导函数，简称为导数，记作即第一节 导数的概念15二、导数的定义 注意：f(x)是 x 的函数，而
8、 f(x0)是一个数值；f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 x0 处的函数值。例3-3 求函数 y=C（C 为常数）的导数。解因为 y=C C=0，所以即常数的导数恒等于零。第一节 导数的概念16二、导数的定义 例3-4 求 y=lnx 的导数。解 由于 因此即第一节 导数的概念17二、导数的定义 例3-5 求 f(x)=xn（nN）的导数。解 根据导数定义，再利用二项展开式，可得即 一般的，对于幂函数 y=xk（kR），有这就是幂函数的求导公式，利用它可以很方便的求出幂函数的导数。第一节 导数的概念18二、导数的定义 例3-6 求下面函数的导数：（1）；（2）；
9、（3）；（4）解 （1）这些常用幂函数的导数也可以记住结论，直接应用。（2）因为，所以（3）因为，所以（4）因为，所以第一节 导数的概念19三、导数的几何意义 由引例的切线问题及导数的定义可知，如果函数 f(x)在点 x0 处可导，则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)有不垂直于x 轴的切线，其斜率为 f(x0)，这就是导数的几何意义。根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，容易求出曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为：而过点(x0,f(x0)处的法线方程为：第一节 导数的概念20三、导数的几何意义x1 O x2 x3 x显然 O x0 x即 不存在。第一节 导数的概念21
10、三、导数的几何意义 如果 f(x0)=0，则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)具有水平切线 y=f(x0)，而法线为 x=x0；如果 f(x)在点 x0 处的导数为无穷大，则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 x=x0，而法线为切线 y=f(x0)。例3-7 求曲线 y=x4 在点(2,16)处切线和法线方程。解 因为所以所求的切线方程为，则即法线方程为即第一节 导数的概念22 初等函数在其有定义的区间上都是连续的，那么函数的连续性与可导性之间有什么联系呢？所以 这表明函数 y=f(x)在点 x0 处连续。四、函数的可导性与连续性的关系 如果函数 y=f(
11、x)在点 x0 处可导，则有 ，根据具有极限的函数与无穷小的关系，可得或第一节 导数的概念23 定理 如果函数 f(x)在点 x0 处可导，则函数 f(x)在点 x0 处连续。所以函数 y=|x|在 x=0 处不可导。四、函数的可导性与连续性的关系 但是，函数 y=f(x)在点 x0 处连续时却不一定在该点处可导。例3-8 函数 y=|x|在 x=0 处是连续的但却不可导，因为：O yxy=|x|第一节 导数的概念24 例3-9 函数 在 x=0 处连续但却不可导，因为曲线在原点具有垂直于 x 轴的切线，也就是说，函数 在 x=0 处的导数为无穷大。所以函数 f(x)在 x=0 处不连续，于是
12、函数 f(x)在 x=0 处也不可导。四、函数的可导性与连续性的关系 例3-10 设函数讨论函数在 x=0 处的连续性和可导性。O yx 解 因为第一节 导数的概念25四、函数的可导性与连续性的关系O y xx0（1）连续但不可导之一：曲线在该点不光滑，形成尖角。（2）连续但不可导之二：O y xx0 曲线在该点具有垂直于 x 轴的切线。函数在该点导数为无穷大，事实上导数不存在。第一节 导数的概念26四、函数的可导性与连续性的关系（3）不连续所以不可导：O y xx0第二节 函数的求导法则第二节 函数的求导法则28前面用导数定义求出了常数、自然对数和幂函数的导数公式，但对于一般的函数，用定义求
13、导数，运算往往比较复杂，有时甚至是不可行的。为了能够迅速、准确的求出初等函数的导数，本节将介绍基本初等函数的导数公式和函数求导的四则运算及复合函数的求导法则。利用导数公式和求导法则就能比较方便的求出初等函数的导数。第二节 函数的求导法则29一、基本导数公式（1）（4）（6）（7）（2）（k为常数）（3）（a 0 且 a 1）（5）（a 0 且 a 1）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）三角函数及反三角函数的导数公式可以采用对比记忆法。第二节 函数的求导法则30 定理 设函数 u(x)和 v(x)均在 x 点可导，则它们的和、差、积、商（分母不为 0 时）也均在
14、 x 点可导，且有二、函数和、差、积、商的求导法则乘积求导的推广和特例：商的求导的特例：第二节 函数的求导法则31二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-11 设 ，求 。解 例3-12 设 ，求 ，。解于是第二节 函数的求导法则32二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-13 设 ，求 。解 解 例3-14 设 ，求 。第二节 函数的求导法则33二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-15 设 ，求 。解 解 例3-16 设 ，求 。第二节 函数的求导法则34二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-17 设 ，求 。解 解 例3-18 设 ，求 。第二节 函数的求导法则35二、函数和、差、积
15、、商的求导法则 例3-19 设 ，求 。解 解 例3-20 设 ，求 。第二节 函数的求导法则36二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-21 设 ，求 。解 解 例3-22 设 ，求 。第二节 函数的求导法则37二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-23 设 ，求 。解第二节 函数的求导法则38二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-24 设 ，求 。解 解 例3-25 设 ，求 。第二节 函数的求导法则39 定理 设函数 u=(x)在 x 处可导，函数 y=f(u)在对应点 u=(x)处可导，则复合函数 y=f(x)在 x 处可导，且有 复合函数的求导法则说明：y 对 x 的导数等于 y
16、 对中间变量 u的导数与中间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。这个法则叫做链式法则。三、复合函数的求导法则或 y u x第二节 函数的求导法则40 设函数 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则它们的复合函数 y=f(x)也可导，且 此法则也可以推广到多个函数复合的情况。三、复合函数的求导法则y u v x 解 令 y=sinu，u=2x，则 例3-26 设 y=sin2x，求 。第二节 函数的求导法则 解 令 ，则41二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-27 设 ，求 。解 令 ，则 例3-28 设 ，求 。第二节 函数的求导法则42 应用熟练后，可以不写出中间变量，而直接写
17、出函数对中间变量的求导结果，重要的是要清楚每一步是哪个变量对哪个变量求导。三、复合函数的求导法则 解 例3-29 设 ，求 。例3-30 设 ，求 。解第二节 函数的求导法则43三、复合函数的求导法则 解 例3-31 设 ，求 。解 例3-32 设 ，求 。第二节 函数的求导法则44三、复合函数的求导法则 解 例3-33 设 ，求 。解 例3-34 设 ，求 。第二节 函数的求导法则45三、复合函数的求导法则，求例 3-35 设解 当 x 0 时，y=lnx，则 当 x 0 时，y=ln|x|=ln(-x)，于是所以有 第二节 函数的求导法则46三、复合函数的求导法则 利用基本导数公式，以及函
18、数和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，就可以求出各种初等函数的导数。解 例3-33 设 ，求 。第二节 函数的求导法则47三、复合函数的求导法则 解 例3-33 设 ，求 。第三节 高阶导数第三节 高阶导数49 一般的，函数 y=f(x)的导数 仍是 x 的函数，再对 x 求导，即导数的导数，称为 y 或 f(x)对 x 的二阶导数，记作或 类似的，二阶导数 的导数，称为 y 对 x 的三阶导数，记 ，。这样可以定义 y 对 x 的四阶导数、五阶导数、直到 y 对 x 的 n 阶导数，记作即第三节 高阶导数50 函数 y 对 x 的 n 阶导数就是 y 对 x 的 n 1 阶导数的导
19、数，即或 相应的，前面所说的导数也称为 y 对 x 的一阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以只需应用前面学过的求导方法就能计算高阶导数。解 例3-38 求函数 的四阶导数。第三节 高阶导数51 解 例3-39 求函数 的 n 阶导数。如此下去，可得特别的，第三节 高阶导数52 解 由于 例3-40 求函数 y=sinx 的 n 阶导数。归纳可得 同理可证第三节 高阶导数53 解 由于 例3-41 设 ，求 。则于是第三节 高阶导数54 解 由于 例3-42 设 y=cotx，求 。，则 解 由于，则 例3-43 设 y=xsinx，求 。解
20、 由于，则 例3-44 设 ，求 。第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数56一、隐函数的导数 如果变量 x 与 y 之间的对应规律是把 y 直接表示成 x 的解析式，即熟知的 y=f(x)的形式，则称函数 y=f(x)为显函数。如果能从方程 F(x,y)=0 确定 y 为 x 的函数 y=f(x)，则称 y=f(x)为由方程 F(x,y)=0 所确定的隐函数。有些隐函数不容易显化为显函数，所以我们要找出一种能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数的方法。下面从具体例子来看。第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数57 例3-45 求由方程 所确定
21、的隐函数的导数。解 在等式的两边同时对 x 求导，注意现在方程中的 y 是 x 的函数，所以 y2 是 x 的复合函数，由复合函数求导法则，可得从而解得 例3-46 求由方程 y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数。解 方程两边同时对 x 求导，得从而解得一、隐函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数58 例3-47 求由方程 所确定的隐函数的导数 。解 方程两边同时对 x 求导，得从而解得一、隐函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数59 例3-48 求曲线 在点（2，2）处的切线方程。解 方程两边同时对 x 求导，得从而解得一、隐函数的导数而切线斜率为，于是所求切
22、线方程为即第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数60 例3-49 证明椭圆 在点 处的切线方程为 证 方程两边同时对 x 求导，得从而解得一、隐函数的导数于是切线方程为即则椭圆在点 切线斜率为第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数61 例3-50 求 的导数。解 两边取对数，得从而解得一、隐函数的导数，即 对于有些函数来说，利用对数求导法来求导数比较简单，看下面例子。两边同时对 x 求导，得 对数求导法是通过两边取对数把显函数变成隐函数，再用隐函数的求导法求出导数，这种方法适用于求幂指函数 的导数，以及简化一些由多个函数的积、商、乘幂构成的函数的求导。第四节 隐函数和由参数方程所确定函
23、数的导数62 例3-51 利用对数求导法求 的导数。解 两边取对数，得于是一、隐函数的导数 对于幂指函数的求导，也可以用换底求导的方法来做：即两边同时对 x 求导，得第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数63 例3-52 设 ，求 。解 两边取对数，得于是一、隐函数的导数即两边同时对 x 求导，得即第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数64二、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程确定 x 与 y 间的函数关系，则此函数称为由参数方程所确定的函数。当 x=(t)，y=(t)都可导，且 时，则由此参数方程所确定的函数的导数为第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数65 例3-53 计
24、算由参数方程 所确定函数的导数。解 例3-54 计算由参数方程 所确定函数的导数。解二、由参数方程所确定的函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数66 例3-55 计算由参数方程 所确定函数的导数。解二、由参数方程所确定的函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数67 例3-56 摆线的参数方程为 ，求 时的切线方程。二、由参数方程所确定的函数的导数 解 首先，时摆线上的点坐标为 ，而则切线的斜率为于是所求切线方程为，即第五节 函数的微分第五节 函数的微分69 本节介绍微分学中另一个基本概念微分。在对许多实际问题的讨论中，可以通过对微小的局部状态的讨论找寻一般规律，这就需
25、要找出各变量的微小增量间的关系，微分则提供了表达这种微增量关系的一种简便实用的方法。微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。第五节 函数的微分70一、微分的概念 先看下例。考虑边长为 x 的正方形，其面积为 y，则若边长由 x0 变化到 x0+x，面积相应的改变量为 当|x|很小时，()是 y 的主要部分，由于()是 x 的线性函数，所以称 y 为的线性主部。，当 x0 时，()是比 x 高阶的无穷小，可忽略不计，即()
26、()第五节 函数的微分71一、微分的概念 定义 设函数 y=f(x)在某区间内有定义，x0 及 x0+x 在该区间内，如果函数的改变量 y=f(x0+x)f(x0)当 x0 时可以表示为其中 A 是仅依赖于 x0 而与 x 无关的常数，o(x)是比 x 高阶的无穷小，则称函数 y=f(x)在点 x0 可微，并称 Ax 为函数 y=f(x)在点 x0 相应于自变量的增量 x 的微分，记作y=Ax+o(x)所以，函数在一点处的微分就是函数在该点的改变量的线性主部。即第五节 函数的微分72一、微分的概念 定理 函数 f(x)在点 x0 可微的充要条件是函数 f(x)在点 x0 可导，且有 由此可知，
27、当 f(x0)0 且|x|很小时，有这就把计算比较复杂的函数的增量 y 近似表示成了一个计算比较简单的量 dy，它的近似程度是比较好的。当 f(x)=x 时，f(x)=1，所以即自变量的微分就是自变量的增量。f(x)在点 x0 的微分也可写为第五节 函数的微分73一、微分的概念 如果函数 y=f(x)在某区间内每一点处都可微，则称函数在该区间内是可微函数。函数在区间内任一点 x 处的微分为或 由此可知，导数 可以看作函数的微分与自变量的微分的商，所以导数也称为“微商”。解 因为 例3-57 求函数 的微分。，所以第五节 函数的微分74一、微分的概念 例3-58 求函数 y=cotx 的微分。解
28、 因为，所以 解 因为，所以 例3-59 求函数 的微分。例3-60 求函数 的微分。解 因为，所以第五节 函数的微分75二、微分的几何意义MNT）P 函数 y=f(x)图形如右，点 M、N 在曲线上，过点 M 再作曲线的切线 MT。可见 y 是曲线上纵坐标的增量，而 dy 是切线上纵坐标的对应增量。于是可得：当|x|很小时，用 dy 代替 y 所产生的误差很小，比|dy|小得多。而近似式 y dy 表示曲线在点 M 处的切线可以近似代替曲线本身，即在一点的附近可以用“直”代“曲”。第五节 函数的微分（16）（15）76三、微分的基本公式与运算法则 由基本导数公式和微分与导数的关系，可得下面基
29、本微分公式。（1）（3）（4）（5）（7）（9）（12）（10）（8）（6）（2）（14）（11）（13）第五节 函数的微分77三、微分的基本公式与运算法则 由函数的求导法则可以得到相应的微分法则。复合函数的求导法则在求导中有着十分重要的应用，我们从中可以得到复合函数的微分法则。设 y=f(u)，u=(x)，则对于复合函数y=f(x)有所以而对于函数 u=(x)，其微分于是，复合函数的微分法则也可以写成第五节 函数的微分78三、微分的基本公式与运算法则 注意：最后得到的结果与 u 是自变量时的形式相同，这就说明无论 u 是自变量还是中间变量，函数 y=f(u)的微分都可以写为 的形式。这个性质
30、称为一阶微分形式不变性。这样，如果 y=f(u)，u=(x)，则 解 方法一：例3-61 求函数 的微分。方法二：第五节 函数的微分79三、微分的基本公式与运算法则 解 方法一：例3-63 求函数 的微分。方法二：解 方法一：例3-62 求函数 的微分。方法二：第五节 函数的微分80四、微分在近似计算上的应用 由前面微分的概念，我们知道微分的思想是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。当函数 y=f(x)在点 x0 处的导
31、数不为零，且|x|很小时，有近似公式 即或 如果令上式的 x0+x=x，即 x=x-x0，则有第五节 函数的微分81 例3-64 求 的近似值。四、微分在近似计算上的应用 解 ，对函数 y=sinx，在点 ，应用近似公式 ，得第五节 函数的微分82 在 式中，令 x0=0，即得四、微分在近似计算上的应用应用上式可得到工程上常用的一些近似公式（|x|很小）：（|x|很小）（1）（2）（3）（4）（5）例3-65 计算 的近似值。解 由公式 ，得第五节 函数的微分83 例3-66 计算 的近似值。四、微分在近似计算上的应用 解 由于所以可取 ，n=5，然后代入近似公式 ，即得 这是 的形式，其中 容易求出且|x|很小，这时就需要采用类似上面的方法来做。Thank!
