1、1微分方程的基本概念2一阶微分方程3二阶微分方程2第一节 微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念3 3 例7-1 某曲线过点(1,2)，且该曲线上任意一点 M(x,y)处的切线的斜率为3x2，求该曲线的方程。解 设所求曲线方程为 y=y(x)，根据导数的几何意义可知，该未知函数满足关系式：且满足条件：下面我们通过两个例子来说明微分方程的一些基本概念。方程两端积分，得将条件代入上式解得 C=1，从而所求曲线方程为：第一节 微分方程的基本概念4 4 例7-2 某车在平直线路上以 20m/s（相当于 72km/h）的速度行驶。当制动时，该车获得加速度 0.4m/s2。问开始制动后，该车多长时间
2、才能停住，及在这段时间内行驶了多少路程？解 设该车在开始制动后，t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段运动规律的函数 s=s(t)应满足关系式：此外，还应满足条件：，方程两边逐次积分，得第一节 微分方程的基本概念5将条件 ，代入上面两式，解得 令 ，可得该车从开始制动到完全停止，所需时间 t=50 s，所行驶路程从而有第一节 微分方程的基本概念6 定义 含自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。如果在微分方程中出现的未知函数是一元函数（即只含一个自变量），则称这个方程为常微分方程，也可以简单地叫做微分方程；如果在微分方程中出现的未知函数是多元函数，则称之为偏微分方
3、程。上述例子都是常微分方程。本章也只讨论常微分方程。微分方程的实质：联系自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）之间的关系式。如：第一节 微分方程的基本概念7 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数（或微分）的阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程一阶微分方程三阶微分方程 一阶微分方程的表达通式为 n 阶微分方程的表达通式为或或第一节 微分方程的基本概念8 定义 若微分方程中出现的未知函数及其导数的次数均为一次，则称之为线性微分方程；否则，称之为非线性微分方程。定义 代入微分方程后，能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。二阶线性微分方程一阶线性微分方程三阶线性微分方程二阶非线性微分
4、方程一阶非线性微分方程第一节 微分方程的基本概念 又如 ，通解为 例如 ，通解为9 又如 为 的特解。例如 、，均为 的特解；定义 确定了微分方程通解中的任意常数以后的解（即不含任意常数的解）称为微分方程的特解。定义 若微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。第一节 微分方程的基本概念10 例7-3 验证：函数 是微分方程 的解。解 求出所给函数的导数：将上面两个表达式代入微分方程左端，得方程成为恒等式，因此所给函数是微分方程的解。第一节 微分方程的基本概念11 定义 要得到微分方程的特解，需要给定一些条件，用来确定通解中的任意常数，
5、这些条件统称为微分方程的定解条件。微分方程与定解条件一起称为微分方程的定解问题。定义 一类重要的定解条件是给定微分方程中的未知函数及其各阶导数在某一点处的取值，这种定解条件称为微分方程的初始条件。带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题。一阶微分方程的初值问题为第一节 微分方程的基本概念12 定义 微分方程的特解的图像是一条曲线，称为微分方程的积分曲线。二阶微分方程的初值问题为 一阶微分方程初值问题的几何意义，就是求微分方程的通过点 的那条积分曲线。二阶微分方程初值问题的几何意义，就是求微分方程的通过点 且在该点处的切线斜率为 的那条积分曲线。第二节 一阶微分方程第二节 一阶微分方程 一阶
6、微分方程也可以写成如下的形式：或（其中 ）本节讨论几种特殊的一阶微分方程的解法。第二节 一阶微分方程15一、可分离变量的微分方程 定义 形式为的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，其中 f(x)、g(x)都是连续函数。可分离变量的微分方程的求解过程如下：首先，分离变量，得这种形式称之为已分离变量的微分方程。然后，两端积分，得第二节 一阶微分方程16 设 是 的一个原函数，是 的一个原函数，则微分方程一、可分离变量的微分方程的通解为这就是微分方程的隐式通解。第二节 一阶微分方程17一、可分离变量的微分方程 例7-4 求微分方程 的通解。两端积分则微分方程的通解为 解 此方程是可分离变量的，分离
7、变量得 得 从而 第二节 一阶微分方程18一、可分离变量的微分方程 例7-5 求微分方程 满足 的特解。两端积分得 解 方程分离变量得 令 C=2C1，则原方程的通解为将初始条件 x=3 时 y=4 代入上式得 C=25，所以原方程的特解为第二节 一阶微分方程19一、可分离变量的微分方程 例7-6 在商品的销售预测中，销售量 x 是时间 t 的函数，即 x=x(t)。如果商品销售的增长速度与销售量 x 和销售接近饱和程度 x 之积成正比，求销售函数即 x=x(t)。解 商品销售的增长速度即销售量对时间的变化率 ，由题意分离变量得两端积分（其中 k 是比例常数）第二节 一阶微分方程令 ，则销售函
8、数为20一、可分离变量的微分方程得整理得，即第二节 一阶微分方程21二、齐次微分方程 定义 如果一阶微分方程可化成形式为的方程，则称之为齐次微分方程，简称齐次方程。比如是齐次方程，因为它可化为即第二节 一阶微分方程22二、齐次微分方程 齐次方程的求解：作变量代换，即 y=xu，于是代入原式得即可分离变量的方程分离变量得两端积分后，再把 u 带回便得齐次方程的通解。第二节 一阶微分方程23二、齐次微分方程 例7-7 求微分方程 的通解。解 微分方程中变量不可分离，于是变形得 令 ，即 y=xu，于是代入原式得即第二节 一阶微分方程24二、齐次微分方程分离变量，得两端积分，得整理得将 代回，得原方
9、程通解为第二节 一阶微分方程25 变量代换是求解微分方程的一种常用方法，有些微分方程可以经过适当的变量代换转化为可分离变量的微分方程，但所取变量代换的技巧性较强，没有一定的规律，只能通过练习达到熟能生巧的目的。下面仅举一例。二、齐次微分方程 解 令 u=x+y，则 y=u x，将其代入方程，得 例7-8 求微分方程 的通解。即第二节 一阶微分方程26二、齐次微分方程分离变量，得两端积分，得将 u=x+y 代回并整理，得原方程通解为或第二节 一阶微分方程27三、一阶线性微分方程 定义 形式为 如的微分方程称为一阶线性微分方程。当 Q(x)=0 时上式称为齐次的；当 Q(x)0 时上式称为非齐次的
10、。齐次微分方程非齐次微分方程第二节 一阶微分方程28三、一阶线性微分方程 1.一阶线性齐次微分方程的解法分离变量两边积分得一阶线性齐次微分方程的通解为第二节 一阶微分方程29三、一阶线性微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程的解法（常数变易法）先求出对应齐次微分方程再令 C=u(x)，即假设的通解：为原方程的解第二节 一阶微分方程30三、一阶线性微分方程代入非齐次微分方程即积分得则得第二节 一阶微分方程31三、一阶线性微分方程对应齐次方程通解一阶线性非齐次微分方程 的通解为非齐次方程特解 一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。第二节 一阶微分方程32
11、三、一阶线性微分方程 例7-9 求微分方程 的通解。解 这是一个一阶非齐次线性微分方程，将方程两边同除以 x 得对应齐次方程为分离变量，得两端积分，得即第二节 一阶微分方程33三、一阶线性微分方程 利用常数变易法，令 C=u(x)，即则代入微分方程 ，有即积分得于是原方程的通解为第二节 一阶微分方程34三、一阶线性微分方程 常数变易法是非齐次线性微分方程的基本方法，要了解它的求解思想。在求解时也可以直接利用通解公式即确定 P(x)及 Q(x)后，代入公式求得方程的通解。解 此时 ，代入上面公式得原方程的通解为 例7-8 求微分方程 的通解。第二节 一阶微分方程35三、一阶线性微分方程第三节 二
12、阶微分方程第三节 二阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程统称高阶微分方程，这里仅介绍两种特殊的可降阶高阶微分方程及其解法。解 方程两边逐次积分，得 一种是最简单的高阶微分方程，形如可以通过逐次求积分而得到通解。例7-11 求微分方程 的通解。即37第三节 二阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 另一种是不显含未知函数的二阶微分方程，形如 可以通过变量代换 化为 z 以为未知函数的一阶微分方程，进而求得通解。例7-12 求微分方程 的通解。解 令 ，则 ，得即38第三节 二阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程这是关于 z 的一阶非齐次线性微分方程。由例7-10的结果，得积分得
13、即即原方程通解为39第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 定义 形式为 的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。其中 p 与 q 是常数。定理 如果函数 y1(x)与 y2(x)是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，C1 与 C2 是两个任意常数，则 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是微分方程的解。所以只需找到二阶常系数齐次线性微分方程的两个解 y1(x)与 y2(x)，且使得 常数，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x)就是微分方程的通解。下面来解决求 y1(x)与 y2(x)的问题。40第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 由于微分方程 左边系数 p 与
14、 q 都是常数，可以设想微分方程有形如 的解，这里 r 是待定系数。将代入微分方程得即则这表明，只要 r 满足特征方程，函数 就是微分方程的解。特征方程特征根41第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 特征根有三种不同的情形，由此得到二阶常系数齐次线性微分方程三种不同结构的通解。的特征方程的通解两个不相等的实根 r1，r2 两个相等的实根 r1=r2 一对共轭复根 r1,2=i 的根42第三节 二阶微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法为：第一步：写出微分方程的的特征方程 第二步：求出特征方程的两个根 r1，r2 第三步：根据两个根的三种不同
15、情形，按照表写出微分方程的通解。解 特征方程为 ，即 ，得特征根 例7-13 求微分方程 的通解。因此所求通解为43第三节 二阶微分方程44二、二阶常系数齐次线性微分方程 例7-14 求微分方程 满足 ，的特解。解 特征方程为 ，即 ，得特征根因此所求微分方程的通解为于是于是所求特解为把 、分别代入上两式，解得 ，44第三节 二阶微分方程45二、二阶常系数齐次线性微分方程 例7-15 求微分方程 的通解。解 特征方程为 ，则为一对共轭复根，因此所求通解为45第三节 二阶微分方程46三、二阶常系数非齐次线性微分方程 定义 形式为 的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中的 p 与 q 是
16、常数，且 f(x)0。而方程 称为此非齐次方程所对应的齐次方程。定理 设 是非齐次微分方程 的任一特解，是对应齐次方程的通解，则就是此非齐次方程的通解。由此定理可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。46第三节 二阶微分方程47三、二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已解决，现在讨论当二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项 f(x)取两种特殊形式时，如何利用待定系数法求非齐次线性微分方程的特解。（1），其中 是常数，是一个 x 的 m 次多项式。由于多项式与指数函数的乘积的各阶导数仍然是多项式与指数函数的乘积，
17、所以可设想非齐次微分方程 具有形式为的特解，Q(x)是一个多项式函数。47第三节 二阶微分方程48三、二阶常系数非齐次线性微分方程 通过讨论特征方程的的特征根与常数 的关系，可得下面三种情形下特解的取法：，与特征根 ，的关系特解 的形式其中 Qm(x)是一个系数待定的 m 次多项式函数。若非齐次项 f(x)=Pm(x)，只需把它看成 =0 的特殊情形即可。48第三节 二阶微分方程49三、二阶常系数非齐次线性微分方程 例7-16 求微分方程 的通解。解 微分方程的非齐次项为 ，且 =0 对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根为由于 =0 不是特征方程的根，故特解应设为 ，则代入原方程，得于是可
18、确定 A=1，B=1，从而方程的通解为49第三节 二阶微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程 例7-17 求微分方程 的通解。解 微分方程的非齐次项为 ，且 =2 对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根为由于 =2 是特征单根，故特解应设为 ，则代入原方程，整理得于是可确定 A=1，B=2，从而方程的通解为50第三节 二阶微分方程51三、二阶常系数非齐次线性微分方程 （2），其中，M，N 都是常数，且 0。类似于（1），此时微分方程 的特解形式为取决于复数 是否为特征方程的特征根，特解的具体取法如表所示。特解 的形式与特征根的关系不是特征根是特征根其中 A、B 是两个待定系数。51第三节 二阶微分方程52三、二阶常系数非齐次线性微分方程 例7-18 求微分方程 的通解。解 微分方程的非齐次项为 属于对应的齐次方程的特征方程为 ，解得特征根为由于 不是特征根，故特解应设为 型，其中 =1，=2，M=1，N=0。52第三节 二阶微分方程53三、二阶常系数非齐次线性微分方程代入原方程，整理得此时可求得从而可确定 ，因此方程的通解为5354Thank!
