1、专题:华南师范大学建校暨物理学科建立 90 周年非厄米格点模型的经典电路模拟*徐灿鸿1)许志聪1)周子榆1)成恩宏1)郎利君1)2)1)(华南师范大学物理学院,广州510006)2)(华南师范大学,广东省量子调控工程与材料重点实验室,广州510006)(2023年 6月 1 日收到;2023年 8月 7 日收到修改稿)量子模拟是研究和理解量子世界中奇异物理现象的重要手段.近年来,人们发现除了量子平台,经典系统(如光子晶体、声子晶体和机械振子等)也能通过类比薛定谔方程的方式模拟量子模型.其中,经典电路因具有成本低廉、技术成熟和易于扩展等特点,成为一个新兴的模拟平台,并成功模拟了许多重要的量子现象
2、.与此同时,非厄米物理突破了传统量子力学中系统哈密顿量的厄米性,为人们理解量子系统,尤其是开放量子系统中的物理,提供了一种新的视角.非厄米系统由于展现出不同于厄米系统的新奇现象,在物理学的多个领域中成为新兴的研究对象.然而,许多非厄米现象所要求的奇异构型在量子平台上实现的技术门槛相对较高,例如非厄米趋肤效应通常需要系统具备非互易的格点间跃迁.因此,利用操控灵活的经典电路模拟非厄米物理成为一种自然的选择.本文旨在通过简要介绍非厄米物理的相关知识(包括数学基础和新奇现象)以及经典电路的模拟理论(包括对格点模型的映射理论、非厄米的引入和物理量的测量等),概述当前经典电路模拟非厄米格点模型的实验进展,
3、为相关研究工作提供参考,以推动该领域的进一步发展.关键词：非厄米物理,经典电路模拟,PT 对称破缺,非厄米趋肤效应,非厄米拓扑PACS：03.67.Ac,03.65.Vf,73.43.NqDOI:10.7498/aps.72.202309141引言量子模拟的概念最早由著名物理学家费曼提出1,以解决复杂量子系统无法用经典计算机模拟的问题,从而更好地理解奇异的量子世界.随着低温、超导等极端技术的发展,人造量子平台(如冷原子24、离子阱57、超导量子比特810等)表现出系统纯净、可控性强等优势,成功模拟了许多重要的量子现象.然而,量子模拟平台对技术条件要求苛刻且容易受环境影响而发生退相干11,导致实
4、验成本很高.近些年,研究者们发现主导经典系统的物态方程在一定条件下可以与量子系统所遵循的薛定谔方程相对应12,因此,经典系统(如光子晶体1318、声子晶体1924、机械振子2530等)同样可以用来模拟量子现象,并且具有成本低廉、技术成熟和扩展性强等特点.尤其是近期兴起的经典电路系统31,32,原则上可以模拟任意维度和任意边界条件下具有任意格点间跃迁的量子紧束缚模型(即格点模型).利用经典电路,人们已经成功模拟了许多量子现象3349,比如拓扑边缘态35,39,46,48以及高阶拓扑角态36,40,43,47等.另一方面,非厄米系统作为量子开放系统的一种有效描述12,50,51,本身带来许多不同于
5、传统厄米系统的独特现象,比如复能谱的出现、宇称-时间反演对称(parity-time-reversalsymmetry,PT 对称)破缺5256、传统体边对应关系(bulk-boundarycorrespondence)的失效5770、非厄米动力学7173*广东省基础与应用基础研究基金(批准号:2019A1515111101)和华南师范大学科研启动基金资助的课题.通信作者.E-mail:通信作者.E-mail:2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-1等,已经成为
6、当下凝聚态领域中一个新兴的研究热点.鉴于经典电路对量子厄米拓扑系统的成功模拟,人们自然也希望用它模拟非厄米系统,以期更好地研究和理解新奇的非厄米物理现象.实验上,研究者们在利用经典电路模拟非厄米物理方面已经取得了很大进展32,比如成功模拟具有非互易跃迁的 Su-Schriefer-Heeger(SSH)模型41,观测到由增益/损耗(gain/loss)诱导的非厄米拓扑边缘态74等.本文将聚焦于经典电路对非厄米格点模型的模拟,对当前的实验进展进行综述,为相关研究提供参考,以推动该领域进一步发展.本文的剩余部分大致安排如下:第 2 节简要介绍非厄米物理中的一些数学知识和新奇现象;第 3 节介绍经典
7、电路模拟的理论基础;第 4 节概述当下经典电路模拟非厄米格点模型的实验进展;第 5 节进行总结.2非厄米物理简介非厄米物理的研究对象既可以是量子系统也可以是经典系统,其特征是系统的性质可以通过有效的非厄米矩阵进行描述12.系统的非厄米性通常来源于系统与环境之间的耦合,比如系统与环境之间的能量交换,对系统的测量等50,51.早期的研究主要关注于 PT 对称的非厄米系统52,53,因为这类系统在特定参数下具有类似厄米系统的纯实数能谱,以保证态的演化不发散或不消逝.同时,此类系统能谱的实复转变对应于本征态的 PT 对称破缺,其转变点即为异常点(excepti-onalpoint,EP)75.随后,人
8、们建立了非厄米系统的一般性理论非厄米量子力学76,给出了描述非厄米系统的基本数学范式.近些年,传统体边对应关系在非厄米拓扑系统的失效引起新一轮对非厄米物理研究的浪潮.在重建非厄米体边对应关系的过程中,人们逐渐发现一些非厄米系统所特有的现象,比如非厄米趋肤效应5759,7779,也建立起一些新的非厄米理论,比如非布洛赫理论59,8088、非厄米拓扑分类8992等.这些研究在理论上揭示出非厄米系统不同于厄米系统的独特性质12,86,92.近期随着非厄米领域的不断发展,人们开始将非厄米理论应用于对开放系统的研究中63,93101.本节根据理解相关实验的需要,简要介绍一些实验中所涉及的非厄米理论的基本
9、数学知识以及非厄米系统所特有的新奇现象.2.1 非厄米理论的数学基础2.1.1非厄米矩阵及双正交基H=H非厄米系统通常可以用非厄米矩阵 H(相当于传统量子力学中系统的哈密顿量)来描述,其非厄米性表现为 .对于可对角化的非厄米矩阵而言(不可对角化的情况随后介绍),其本征值分解如下102:S1HS=,(1)En|(r)nS1(l)n|其中,L 为对角矩阵,其对角项 为本征值(相当于传统量子力学中系统的本征能量),可以为任意复数;S 为相似矩阵,其中的列向量被称为 H 的右本征矢,记作 ,而 中的行向量被称为 H 的左本征矢,记作 .将(1)式写成本征方程的形式:H|(r)n=En|(r)n,H|(
10、l)n=En|(l)n,(2)表示非厄米系统的定态薛定谔方程.由相似矩阵的性质可知,左右本征矢之间满足双正交归一关系:(l)m|(r)n=mn,(3)从而具有如下完备性:n|(r)n(l)n|=1.(4)因此,左右矢可构成非厄米矩阵的双正交基(biorthogonalbasis)76.H=HS1=S|(l)n=|(r)nEn(r)m|(r)n=0(m=n)特别地,对于厄米矩阵()而言,其本征值分解中的相似矩阵变为酉矩阵(),即左右矢之间满足 的关系,因此双正交基退化为大家所熟知的正交基,相应的本征值 也变为实数.不同于厄米矩阵的本征矢,非厄米矩阵对应不同本征值的右本征矢通常不正交(左本征矢类似
11、),即 .2.1.2缺陷矩阵及 EP当非厄米矩阵不可对角化(被称为缺陷矩阵)时,无法对其进行本征值分解,取而代之的是更一般的约当分解(Jordandecomposition)12,103:S1HS=J.(5)其中,S 仍为相似矩阵,物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-2J=.0Js(E)0.(6)Js(E)Js(E)Js(E)(1,0,)Tps(E)=dimJs(E)1(E)是在相似变换下最接近完全对角化的块对角矩阵,其对角块 具有如下形式:对角元均为 E,上次对角元均为 1,其他为 0.具有这样形式的 J 被称为 H 的约当标准型(
12、Jordancanonicalform),其中 为第 s 个约当块(Jordanblock).每个约当块 都有且仅有一个本征矢 ,E 为相应的本征值.因此,当存在约当块的维度 时,H 即为缺陷矩阵.具有相同本征值 E 的约当块的个数 即为缺陷矩阵 H 在 E 处的简并度.特别地,当所有约当块的维度均为 1 时,约当分解则退化为本征值分解,即H 不再是缺陷矩阵.p(E)=(E)s=1ps(E)ps(E)如果调节系统参数,使描述非厄米系统的非厄米矩阵恰好为缺陷矩阵,此参数即为非厄米系统的 EP75.不同于厄米矩阵的简并点,在 EP 处不仅本征值重合,本征矢也会部分或全部合并(coal-esce),
13、即 H 的左右本征矢无法提供完备的双正交基,此时需要用广义本征矢(generalizedeigen-vector)来补足.通常大家定义在本征值 E 处的EP 阶数为 ,但此定义只适合对 EP 的粗糙描述,并不能反映在此系统参数下是否发生了本征矢合并以及合并的细节.只有给出本征值 E 对应的每一个约当块的维度信息 ,才能更好地表征 EP 的性质.为了度量系统参数离 EP 的远近程度,可以定义平均的相刚度(phaserigidity)104:r(z)=1NNn=1(l)n(z)|(r)n(z)(l)n(z)|(l)n(z)(r)n(z)|(r)n(z),(7)H(z)|(l/r)n(z)z0r(z
14、 z0)0r(z)=1其中,N 为可对角化矩阵 的维度,为其在参数 z 处的第 n 个左/右本征矢.当系统参数接近 EP 值 时,相刚度 ;对于厄米矩阵,左右本征矢互为复共轭,所以相刚度,即厄米矩阵不存在 EP.2.2 非厄米系统中的新奇现象2.2.1PT 对称破缺及赝厄米在传统的量子力学中,系统的哈密顿量为厄米算符(对应于厄米矩阵),其本征谱全为实数,反映系统能量为实数的物理事实.1998 年,Bender 和Boettcher52,53发现,PT对称的非厄米哈密顿量(对应于非厄米矩阵)同样可以具有全实能谱.这里的 P 和 T 分别表示空间反演和时间反演.当非厄米强度(比如增益/损耗强度)g
15、 比较弱时,系统的所有本征态均具有 PT对称性,从而具有全实的能谱,此时系统处于 PT对称相,任何量子态在此系统下均具有稳定的动力学.当非厄米强度很强时,系统的部分或全部本征态不再具有 PT 对称性,其能谱也出现复数,此时系统处于 PT 对称破缺相,量子态在其中的演化通常会发散或消逝.因此,在PT 对称的非厄米系统里,存在能谱由全实到复数的转变,被称为 PT 转变(PTtransition),如图 1所示.在转变点处部分或全部本征态会发生自发性 PT 对称破缺.此转变点即为前面所提到的 EP.PT 转变是厄米系统所没有的.PT对称相PT对称破缺相图1能量 E 的实部(实线)和虚部(虚线)随非厄
16、米强度g 的变化.点线处为 PT 转变点,其左侧为 PT 对称相(白色区域),右侧为 PT 对称破缺相(灰色区域)Fig.1.Thereal(solidlines)andimaginary(dashedlines)partsoftheenergyEversusthestrengthgofthenon-Her-miticity.ThedottedlineindicatesthePTtransitionpoint,totheleftsideofwhichisthePTsymmetricphase(whiteregion)and to the right side of which is the P
17、T-brokenphase(grayregion).H=H1其实,不只有 PT 对称的非厄米系统可以存在全实能谱.Mostafazadeh105在 2002 年的研究发现,每一个具有全实能谱的哈密顿量都是赝厄米的(pseudo-Hermitian),而 PT 对称只是赝厄米的一种特殊形式.如果存在一个厄米的可逆算符 h,使得系统的哈密顿量 H 满足 ,则称H 是赝厄米的12,105.如果 h 可以取单位算符,则H 退化为厄米的.赝厄米哈密顿量的能谱一定具备以下性质之一:1)全实能谱;2)能谱以复共轭的形式成对出现,且互为复共轭的能谱的简并度相同.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,
18、No.20(2023)200301200301-3=OO如果存在 h,它可以进一步写成 的形式,其中 O 为线性可逆算符,则赝厄米哈密顿量H 一定具有全实能谱12,106.这是非厄米哈密顿量具有全实能谱的充分必要条件.而 PT 对称仅能保证非厄米哈密顿量具有产生全实能谱的可能性,既不是其具有全实能谱的充分条件,也不是必要条件.2.2.2传统体边对应关系的失效及非厄米趋肤效应体边对应关系是被体能隙保护的厄米拓扑系统遵循的一个基本原则,它描述了系统的体态拓扑不变量与拓扑边缘态之间的关联.然而,此原则在某些非厄米系统中并不成立,表现为开边界条件下的能谱和体态与周期边界下有很大的不同57,58,如图
19、2(a)所示.这是因为此类非厄米系统对边界的选择表现出很强的敏感性,开边界与周期边界的同一系统在热力学极限下并不等价57,58,107.非厄米趋肤效应恰是这种边界敏感性的体现.它具体表现为非厄米系统的体态在开边界条件下呈指数型地聚集在某一边界,如图 2(c)所示.非厄米趋肤效应使具有体周期性的非厄米系统的体态丢失了布洛赫态的特性,与厄米系统中体态弥散在全域的情形完全不同.H(k)H()=reikr=1r 1基于对非厄米趋肤效应的观察,Yao 等60在一维非厄米 SSH 模型中建立起非布洛赫理论(non-Blochtheory),成功重塑了此非厄米系统中的体边对应关系,引起了后续的广泛研究808
20、8.在非布洛赫理论中,对于热力学极限下的非厄米系统,周期边界下的哈密顿量 被开边界下的 所取代.这里,原先定义在布里渊区上的晶格动量 k 被扩展为一个复变量 ,它在复平面的集合被称为广义布里渊区(generalizedBrillouinzone).广义布里渊区通常为一个闭合路径,如图 2(b)所示,其与原点的距离 r 反映系统在开边界条件下体态的趋肤性质:代表布洛赫态,即没有非厄米趋肤效应;和 分别对应趋向于不同边界的体趋肤态60,81.类比厄米情形108,可以用非布洛赫态在广义布里渊区中定义非布洛赫的拓扑不变量,从而重构非厄米拓扑系统的体边对应关系,即非布洛赫拓扑不变量与非厄米拓扑边缘态之间
21、的关联:拓扑不变量为 0 表示不存在拓扑边缘态的拓扑平庸相,非 0 表示存在拓扑边缘态的非厄米拓扑相.例如,对于具有手征对称性的一维非厄米系统,其非布洛赫缠绕数可定义为59w=12iIGBZtrq1()dq(),(8)q()H()其中,矩阵 由哈密顿量 的 Q-矩阵来定义:Q()=nN|u(r)n()u(l)n()|u(r)n()u(l)n()|=(0q()q1()0).(9)H(),=0H()|u(r,l)n()En(),En()N+N由于系统具有手征对称性 (G 为相应的手征算符),导致能谱关于零点对称,因此可以将 的本征态 (n 为能带指标)按本征能量 划分成两个子空间 和 .以手征算符
22、 G 的本征态为基,手征对称的Q-矩阵便可写成(9)式中第 2 行的反对角形式.110001(c)ReReIm|2(a)Im(b)|i|2图2(a)非厄米 SSH 模型59分别在开边界(粉色)和周期边界(灰色)条件下的能谱 E 在复平面的示意图;(b)与(a)中能谱相对应的布里渊区(灰色)和广义布里渊区(粉色)的示意图,其中 b 的定义见正文;(c)开边界条件下拓扑边缘态(红色)和趋肤态(灰色)的在实空间的几率分布 示意图,i 为格点标记|i|2Fig.2.(a)The sketch of the energy spectra in complexplaneforthenon-Hermitia
23、nSSHmodelinRef.59respective-lyunderopen(pink)andperiodic(gray)boundarycondi-tions;(b)thesketchoftheBrillouinzone(black)andthegeneralizedBrillouinzone(pink)correspondingtothespec-trawiththesamecolorsin(a),wherethedefinitionofbcanbereferredtointhemaintext;(c)thesketchofproba-bilitydistribution oftheto
24、pologicalendstate(red)andtheskinbulkstates(gray)inrealspaceunderopenboundaryconditions,whereiisthesiteindex.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-4又如,二维非厄米系统的非布洛赫陈数可定义为60,109C=12IGBZtrFxy()dxdy,(10)=x,y/其中(),Fxy()=xAy()yAx()iAx(),Ay(),(11)Anm()=iu(l)n()|u(r)m()(12)分别为非布洛赫贝里曲率(Berrycurvatur
25、e)和贝里联络(Berryconnection).以上用非布洛赫本征态定义的拓扑不变量,虽然能很好地反映非厄米系统在开边界条件下的拓扑相变,包括能隙的关闭以及拓扑边缘态的产生,但并没有体现出非厄米趋肤态本身的拓扑性质.借助于非厄米系统的能谱一般为复数的特性,可以定义能量缠绕数12,67:wC,Eb=12iICddzlndetH(z)Ebdz,(13)EbwBZ,EbwBZ,Eb=0其中,C 为积分回路,可以是布里渊区(BZ)或广义布里渊区(GBZ),也可以是其他周期参数空间;是能量复平面内的基准能量.对于一维单带非厄米系统,周期边界下的能量缠绕数 可以反映相应开边界下趋肤态的性质:表明存在非厄
26、米趋肤效应,其正负反映趋肤态的趋肤方向67.这种周期边界下能谱的拓扑性质与开边界下非厄米趋肤态的对应关系是非厄米拓扑系统所独有的.2.2.3EP 诱导的高灵敏度及分数级数展开 z1/p z与传统的简并点(此处仅是能量重合而态并不合并)不同,EP 能使非厄米系统的能量对微扰产生更灵敏的响应.对于一个 p 阶 EP,能谱对微扰z 的响应 e 在一定条件下最大可以达到 的量级,而传统的简并点仅为 110,如图 3 所示.基于这一特性,EP 可以用于制造高灵敏度的传感器,其最早方案由 Wiersig111于 2014 年提出.H(z)z Cz=0E0Eh(z)(h=0,p 1)z=0p 1z=0EP
27、产生高灵敏度的原因可以通过数学上的皮瑟级数(Puiseuxseries)来理解.已知非厄米系统(参数 )在 处有一个能量为 的p 阶 EP.当系统偏离 EP 时,假设能量完全劈裂为p 支不同的能量函数 且它们恰好构成以 为 阶支点的 p 叶黎曼面(即这 p 支能量函数之间在 附近是连续解析的,且函数值绕 p 圈才能回到初始值),则能量函数在 EP 附近展开有如下皮瑟级数92,112:Eh(z)=E0+n=1nei2nh/pzn/p,(14)n|z|1z1/pp 1其中 是展开系数.因为 ,所以能量在EP 附近的劈裂由领头项 主导.皮瑟级数是分数级数,当 EP 阶数 时,能量劈裂对参数偏离的响应
28、比传统的简并点(对应于泰勒级数)要大.这就是 EP 能导致高灵敏度的来源.p 1ps 1s=1ps=pps值得注意的是,展开式(14)假设了 p 阶 EP恰好是其附近能量函数的 阶支点,但这些能量函数也可以形成 a 个各自连续解析的函数族,每族函数以 p 阶 EP 作为其 阶支点(满足).此时,每一族能量函数的展开式都具有(14)式的形式,只是将 p 换成 ,这会导致能量对参数偏离的响应相对较弱103.因此,能谱对微扰的响应并非只由 EP 的阶数决定,还跟具体的微扰形式有关.3经典电路模拟的理论基础3.1 经典电路对格点模型的映射利用经典电路模拟物理现象的基本逻辑为,基于电路的基尔霍夫定律,通
29、过合理近似,建立起电路中描述某物理量的运动方程与模拟对象所遵循的运动方程之间的映射关系,以达到通过观测此物理量在电路中的行为从而获知模拟对象相关性质的目的.由于基尔霍夫方程的离散属性,经典电路主要用于模拟量子力学中的紧束缚模型(即格点模ReIm(a)(b)z1/2 z图3(a)能谱 e 随微扰 z 在二阶 EP 附近劈裂的示意图,具有 的形式110;(b)能谱 e 随微扰 z 在传统的二重简并点附近劈裂的示意图,具有 的形式110 z1/2 zFig.3.(a)Thesketchofenergyspectraeversustheper-turbationzaroundatwo-orderEP,
30、satisfying 110;(b)thesketchofenergyspectraeversustheperturbationzaround a traditional two-fold degenerate point,satisfying 110.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-5型).所以,本节主要介绍用于映射格点模型薛定谔方程的 3 种电路理论:拉普拉斯形式(Laplacianformalism)35、刘维尔形式(Liouvillianformalism)113以及耦合模理论(coupledmodetheory)1141
31、16.3.1.1拉普拉斯形式RijLijCijIi(t)Vi(t)对于任意线性电路构成的网络,元件从节点i 到节点 j(有方向性)的特性可以通过线性的等效电阻 、等效电感 和等效电容 来描述.如果元件的等效值依赖于节点 i与 j 之间的方向,则称此元件为非互易的(nonreciprocal).定义节点的外部输入电流 和对地电压 ,根据基尔霍夫定律可得矩阵形式的线性微分方程117:ddtI(t)=CCd2dt2V(t)+CRddtV(t)+CLV(t),(15)I(t)V(t)Ii(t)Vi(t)其中,和 分别为 和 的矢量形式,系数矩阵:(CC)ii=Cig+k=iCik,(CC)ij=Cij
32、(i=j),(CR)ii=R1ig+l=iR1ik,(CR)ij=R1ij(i=j),(CL)ii=L1ig+k=iL1ik,(CL)ij=L1ij(i=j),(16)分别具有 电容、电阻 1和 电感 1的量纲,g 表示对地.RI(t)=IeitV(t)=VeitIV对电路注入驱动频率为 的交变电流,电路节点将具有稳定的电压响应,其电流幅 和电压幅 之间满足如下关系:I=(iCC+CR iCL/)V J()V.(17)J()JijG=J1VI式中 具有 导纳 的量纲,被称为导纳矩阵(admittancematrix)或电路拉普拉斯量(circuitLaplacian)35.它是驱动频率 w 的
33、函数,其矩阵元 表示节点 i 到 j 的导纳.其逆矩阵 被称为电路格林函数(circuitGreenfunction),具有 阻抗 的量纲,反映了节点电压 对节点输入电流 的响应.有时为了方便起见,也可将导纳矩阵分解为三部分:J=A+D+W,(18)ADW其中,代表导纳矩阵的非对角部分,和 分别代表对角部分中的节点间耦合部分和对地部分,其矩阵元分别为Aij=(1 ij)iCij R1ij(iLij)1,Dij=ijk=iiCik+R1ik+(iLik)1,Wij=ijiCig+R1ig+(iLig)1,(19)ij其中 为 Kronecker 函数.JJ如果将导纳矩阵 看作格点模型的哈密顿量,
34、则电路节点对应格点的位置,的对角元和非对角元分别对应格点上的在位势能和格点间的跃迁振幅,而导纳矩阵的本征方程,Jv(r)n=jnv(r)n,Jv(l)n=jnv(l)n,(20)jnJv(l,r)njnEnv(l,r)n|(l,r)n便可用于模拟格点模型的定态薛定谔方程(2)式.这里的 表示导纳矩阵 的第 n 个本征值,为相应的左右本征矢.因此,对应格点模型的本征能量 ,而 对应格点模型的本征态 .需要注意的是,在此对应关系中,驱动频率 w 是作为模拟参数而存在的,并非直接对应于格点模型的本征能量.I=0J()V=0特别地,当无外界输入电流(即 )时,(17)式变为本征方程 ,其存在非平庸解的
35、条件为detJ(e)=njn(e)=0,(21)e V(e)e e jn(e)=0J()jn()j=0e v(r)n(e)其中使条件成立的 即为电路的本征频率,非平庸解 为本征频率 所对应的电路的本征电压.条件(21)式说明本征频率 至少使一个导纳矩阵的本征值为零,即存在 n 使 .换而言之,导纳矩阵 的本征值 作为 w 的连续函数族,与 的交点所对应的频率即为电路的本征频率 ,而相应的右本征矢 即为电路的本征电压.注意以上结论并不限于本征频率是实数,对于复本征频率同样适用.JJJ=JiJ由(17)式可知,当电路中仅含有被动(passive)电阻时(即纯耗散电路),是厄米的,而仅含有被动电容和
36、电感时(即纯振荡电路),是反厄米的,即 .因此,通常用 建立与格点模型哈密顿量 H 的映射,用仅含有被动电容和电感的电路模拟厄米格点模型33,35,45,而通过引入被动电阻以及主动(active)元件来模拟非厄米格点模型41,74,118129.只要对电路元件及排布进行合理的物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-6设计并采取合适的驱动频率,原则上可以用导纳矩阵模拟任意格点模型的稳态性质,包括本征能和本征态以及由它们定义的各种物理量.3.1.2刘维尔形式it|(t)=H|(t)=1I(t)=0如果要模拟格点模型的动力学,需要将描述电路动力
37、学的(15)式与描述格点模型动力学的含时薛定谔方程 ()相联系.由于含时薛定谔方程是齐次方程,所以这里考虑无外界电流输入的情况,即 .此时,(15)式变为关于时间的二阶齐次微分方程而含时薛定谔方程是一阶的,因此,需要通过变量替换将(15)式降为一阶:ddtV(t)W(t),ddtW(t)=C1CCRW(t)C1CCLV(t).(22)(t)=V(t),W(t)T定义新变量 ,(22)式可改写为如下刘维尔方程的形式113:ddt(t)=L(t),L=(0EC1CCLC1CCR).(23)LE这里的 被称为电路刘维尔量(circuitLiouvilli-an),为单位矩阵.刘维尔方程将微分方程(1
38、5)从二阶降为一阶,但变量的个数扩大为原来的2 倍.iL(t)=eie tiLe En(t)显然,电路的刘维尔方程类似含时薛定谔方程,具有哈密顿量的地位.此方程具有形为 的稳态解,其中 的本征值 即为电路的本征频率,模拟格点模型的本征能 122,130;矢量 反映电路中电压随时间的演化情况,模拟格点模型中量子态的动力学131.3.1.3耦合模理论因为格点模型直接来源于凝聚态物理中的紧束缚近似(即将不同的原子轨道弱耦合在一起),所以同样可以用电路重构类似的近似过程:将多个具有独自振荡频率的 RLC 电路,通过某种形式的弱耦合连接起来,从而模拟格点模型.这种近似方法被称为耦合模理论114116.为
39、了清楚地展示耦合模理论的近似过程,这里选取通过电感元件间的互感 M 耦合的两个 RLC回路作为例子115,如图 4 所示.根据基尔霍夫电压定律,可得i(LIl,r+MIr,l)+Rl,rIl,r+Il,riC=0,(24)Rl,r=RR,L,C,M0=1/LC=RC/L=M/L其中,电阻 (关于负电阻的实现可参见3.2 节),且设参数 均为正数.定义特征量 ,和 ,则(24)式可改写为1 202+i01 202 i0(IlIr)=0.(25)当考虑弱耦合的情况时,即 1,1,00 1,(26)(25)式可化为 0+i020202 0 i02(IlIr)=0.(27)Il,r(t)=Il,rei
40、t此方程等价于振荡电流 所满足的耦合模方程:iddt(Il(t)Ir(t)=H(Il(t)Ir(t),(28)其中,H=0(1+i/2/2/21 i/2).(29)显然,(28)式与含时薛定谔方程形式一致,可以用来模拟相应的动力学以及稳态性质.值得注意的是,电路的耦合模方程(28)与刘维尔方程(23)的形式相同,但却没有增加变量的个数,这是因为耦合模理论在弱耦合近似下将(25)式中 w 的平方项降成了(27)式中的线性项,等价于将基尔霍夫方程(15)中关于时间的二阶导数降到了一阶.这便是耦合模理论能直接模拟含时1rR图4二聚体电路示意图132.由电感耦合的两个 RLC 回路构成,其中 M 为互
41、感,代表负电阻RFig.4.Thesketchofthedimercircuitconsistingoftwoin-ductivelycoupledRLCtanks132,whereMisthemutualin-ductanceand representsannegativeresistance.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-7薛定谔方程的原因.由于弱耦合近似(26)式的限制,耦合模理论适用范围较窄.目前在电路系统中主要用于高灵敏 EP 传感器的设计114116,130.3.2 非厄米在经典电路中的引入为了用经典电路模拟非厄米格
42、点模型,需要在以上电路理论中引入等效的非厄米项,主要包括格点上的复在位势和格点间的非互易跃迁,分别对应于哈密顿量矩阵中的复对角元和不满足复共轭关系的非对角元,它们均可以使描述系统的矩阵失去厄米性.3.2.1损耗和增益iJ=(iJ)RngiJRnm由于电阻天然的耗散属性,在电路中引入非厄米最自然且最简单的方式就是加入电阻.根据电路的拉普拉斯形式,在电路中添加电阻或等效的负电阻可以模拟非厄米格点模型中的损耗或增益,使得.具体地,由(16)式和(17)式可知,节点对地的电阻 使 的对角元产生虚部,可以模拟格点的复在位势;节点间的电阻 则会在对角元和非对角元上同时引入虚部,额外模拟格点间的复跃迁118
43、.由此可知,电阻的引入产生损耗,但如要产生增益,需引入等效的负电阻.文献 133 给出了利用运算放大器(简称运放)实现一般负阻抗(负电阻是其特殊情况)的方案,如图 5(a)所示,其中包括对地端口(上)和两端口间(下)的负阻抗方案,其阻抗值可由基尔霍夫电流定律分别求得ZigViIi=Z,ZijVi VjIi=Z=Zji,(30)其中,Z 为需要变负值的目标阻抗.图中运放的等效增益函数可用简单的加法器和乘法器实现.应用负电阻的典型实例是对 PT 对称破缺的电路模拟113,134,135.3.2.2非互易跃迁相比于增益/损耗,非互易跃迁的实现更具有挑战性.在交流源的驱动下,被动元件(如电阻、电容和电
44、感)的阻抗/导纳值都与测量方向无关,即被动元件是互易的(reciprocal).为了使电路元件具有非互易性,从而实现对格点间非互易跃迁的模拟,必须引入主动元件打破其互易性.实验上常见的方案是使用电流型负阻抗变换器(negative impedance converter with currentinversion,INIC)136,它由运放和若干线性元件组成,其原理如图 5(b)所示.由基尔霍夫定律易得(IiIj)=Z1(11)(ViVj),(31)=Z/Z+=1Yij Z1ij=Ii/(Vi Vj)=Z1=YjiYXYij=YX Z1Yji=YX+Z1其中 .当 时,不同端口测量的导纳反号,
45、即 .将此 INIC 与被动元件 X(设导纳为 )并联后再置于节点间,便实现非互易跃迁的效果,即 和 .在用经典电路模拟格点模型方面,INIC 最早用于打破时间反演对称性137,之后被应用到模拟具有非互易跃迁的非厄米格点模型的实验中,观测到了与非厄米趋肤效应相关的现象41,119,121,123,125,128,138.当 INIC 对地连接时,其效果与负电阻类似,也常被用作模拟具有复在位势能的非厄米模型74,114,122.V0VjYij=Ii/(Vi Vj)=Z1Ij 0Yji=Ij/(Vj Vi)0Yij=Yji此外,电压跟随器(voltagefollower)136也可以用来实现非互易
46、跃迁,如图 5(c)所示.根据理想运放正负两输入端口的电压相同的特点,当负输入端口与输出端口相连时,输出端口的电压 则与正输入端口的电压 相同,从而实现电压跟随.由此可得,.又由于理想运放的输入阻抗趋于无穷大,导致 ,所以 .显然,.将电压跟随器与被动元件并联同样能实现非互易跃迁的效果124,139,尤其是对单向跃迁(unidirectionalhopping)的实现129,相比 INIC 更为简单.(a)(b)(c)T图5(a)负阻抗的电路原理图133,上下图分别表示对地端口和自由双端口的情况;(b)INIC 的电路原理图137;(c)电压跟随器的电路原理图136.以上所用运放的等效增益函数
47、可用加法器和乘法器实现Fig.5.(a)Theschematiccircuitfornegativeimpedance133,where the upper and lower panels represent the one-portandtwo-portcases,respectively;(b)theschematiccircuitforINIC136;(c)theschematiccircuitforavoltagefollower136.Theequivalentgainfunctionsoftheoperationalamplifiersusedabovecanbeimplemen
48、tedusingaddersandmultipli-ers.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.20(2023)200301200301-83.3 经典电路中物理量的测量与表征建立好经典电路对非厄米格点模型的映射后,则需要考虑如何通过电路测量反映模型中的物理性质.在非厄米系统中,大家主要关心的是复能谱和本征态以及由它们所构造的各种物理量等静态性质,或者是量子态演化等动力学性质.因此,本节将概述经典电路实验中常用的测量方法与物理量之间的对应.3.3.1导纳矩阵jnEnVIGJ=G1根据电路的拉普拉斯形式,测量出导纳谱 便可得到相应格点模型能谱 的信息.但导纳谱通常无法被直接测量
49、,因为根据导纳矩阵的定义(17)式,节点电压 对节点输入电流 的响应直接反映的是电路格林函数 .所以,可以先测出电路格林函数,再根据 得到导纳矩阵,进而将其对角化得到导纳谱.IjeitV=GI下面介绍如何测量电路格林函数.假设电路有 N 个节点,如果仅在第 j 节点注入频率为 w 的交变电流 ,由 可得稳态响应电压的幅矢量为V=G0.Ij.0=G1j.GNjIj.(32)ViGij=Vi/IjN2N2/NcNcJjnv(l,r)n detJ(e)=0于是通过测量每个节点的稳态电压幅 ,便可得到电路格林函数第 j 列的矩阵元 .当以相同的频率对电路中所有节点遍历上述电流驱动,利用频谱分析仪测量每
50、次驱动下所有节点的稳态电压幅,即可完全重构电路格林函数,进而得到导纳矩阵38.这个过程所需要的总的测量次数为 .而对于具有平移不变性的周期性电路而言,仅需遍历一个电路原胞即可,测量次数可以减少到,其中 表示原胞数41.将得到的导纳矩阵 对角化,便可得到本征值 和左右本征矢 以及由它们所构成的其他静态物理量;本征频率 也可以通过 得到.在实验中更高效的方法是,利用矢量网络分析仪(vectornetworkanalyzer,VNA)对电路各节点的散射信号进行扫描,再将包含散射信息的 S 参数矩阵(S-parametermatrix)变换到导纳矩阵,便可计算出电路的导纳谱和本征频率谱114,115,
