1、第45卷第11期2023年11月铁道学报JOURNALOFTHECHINARAILWAY SOCIETYVol.45No.11November2023文章编号：10 0 1-8 36 0(2 0 2 3)11-0 0 7 0-0 8非饱和非对称二维随机共振系统的优化及在高速铁路轴承故障诊断中的应用刘小峰，黄洪升，柏林（重庆大学高端装备机械传动全国重点实验室，重庆40 0 0 44）摘要：针对传统双稳杜芬随机共振SR的输出饱和及噪声能量转换不足的问题，引人张角系数控制下的线性分段势阱函数，以抑制SR系统的输出饱和现象，采用非对称势阱函数扩大布朗粒子在单边势阱内的振荡范围，以增加SR输出幅值。结合
2、非线性SR系统最佳耦合方式，构建非饱和-非对称二维SR系统，该系统的4个三维势阱的动力学特性丰富，势阱宽且陡峭度低，布朗粒子的振荡范围较大。采用多尺度简化粒子群优化算法，对构建的非饱和-非对称的二维SR系统进行多参数同步优化，进一步提高粒子在势阱内迁移向上的运动能量。仿真试验与高速铁路轴箱轴承的故障试验结果表明：所提出的优化耦合SR系统，能够显著增强特征信号幅值，提高噪声的利用率，在轴承早期损伤检测中具有突出优势。关键词：杜芬随机共振；非饱和非对称势函数；非线性耦合；多尺度简化粒子群优化；高速铁路轴承故障诊断中图分类号：U260Optimization of Unsaturated-asymm
3、etric Two-dimensional StochasticResonance System and Its Applications in FaultDiagnosis of High-speed Railway Bearings文献标志码：Adoi:10.3969/j.issn.1001-8360.2023.11.009LIU Xiaofeng,HUANG Hongsheng,BO Lin(State Key Laboratory of Mechanical Transmission for Advancel Equipment,Chongqing University,Chongqi
4、ng 400044,China)Abstract:In response to the problems of traditional Duffing bistable stochastic resonance system in terms of output satu-ration and insufficient noise energy conversion,the opening angle coefficient was introduced to control the tangent of thepotential well outer wall,based on which
5、the linear piecewise well function was used to suppress the SR output satura-tion.The asymmetric coefficient was utilized to expand the oscillation range of Brownian particles in the unilateral poten-tial well so as to increase the SR output amplitude.The unsaturated potential function and the asymm
6、etric potential func-tion were optimally coupled to obtain four three-dimensional potential wells of the system with rich dynamic characteris-tics,wideness,low steepness,and a large range of Brownian particle oscillation.The multi-scale simplified particleswarm optimization algorithm was applied to
7、synchronously optimize the multiple parameters of the unsaturated-asymmetric two-dimensional stochastic resonance system,further improving the upward motion energy of the particles inthe potential well.The results of the simulation and the fault diagnosis of high-speed railway axle box bearings show
8、 thatthe proposed optimized two-dimensional stochastic resonance system not only increases the amplitude of resonance outputbut also improves the utilization of noise,which has outstanding advantages in early bearing damage detection.Key words:Duffing stochastic resonance;unsaturated-asymmetric pote
9、ntial well;nonlinear coupling;multi-scalesimplified particle swarm optimization;fault diagnosis of high-speed railway bearing随机共振（Stochastic Resonance，SR）系统，在各收稿日期：2 0 2 1-0 8-2 8；修回日期：2 0 2 1-10-13基金项目：国家自然科学基金（5197 50 6 7，52 17 50 7 7）作者简介：刘小峰（198 0 一），女，湖北荆州人，教授，博士。E-mail:项参数与输人信号及噪声强度相匹配的情况下，能将噪
10、声能量转换为信号能量，从而提高输出信噪比（Si g n a l t o No i s e R a t i o，SNR），达到微弱特征信号增强第11期的目的。传统SR系统在噪声协助下对周期弱信号进行增强的过程中，往往会出现输出幅值不增加的饱和现象2 1,不利于微弱特征信号的辨识与提取。针对这种饱和现象，文献3-4提出了分段非线性双稳随机共振模型，通过改变势函数的形状及参数优化，以保证粒子在迁移时有足够的能量继续向上。文献5针对经典双稳势函数的势阱壁进行线性等效，扩展了粒子运动路径。为进一步提升SR对微弱信号的检测效果,部分学者提出了具有更普适理论基础与使用价值的非对称SR系统。文献6 在研究非对
11、称施密特触发器中验证了逻辑随机共振,为非对称共振处理提供了理论支持。文献7等研究了周期信号及高斯白噪声环境中的非对称SR行为，阐释了不同噪声强度对 SR的诱导效果,表明在一定条件下非对称SR的信号增强效果优于对称SR。文献8 提出自适应非对称阱宽SR方法，并应用于滚动轴承早期轻微故障诊断。文献9 采用非对称因子的二维双稳SR对轴承故障信号进行了分析。由于耦合二维SR系统能够通过灵活的随机共振控制方法获得比单个SR系统更高的信噪比，文献10 将两个双稳系统进行了非线性耦合并通过调节耦合系数大小来增强SR输出的轴承故障特征信号；文献11提出了一种基于改进耦合增强随机共振的滚动轴承故障诊断方法；文献
12、12 将两个独立的传统双稳系统进行线性耦合，构建了新型随机共振系统并在轴承故障诊断中得到了成功应用。文献13研究了三值噪声环境,Duffing与Vanderpol耦合系统的随机共振现象,并进行了轴承故障检测。要指出的是，目前学者对于耦合SR系统的研究大多集中在传统双稳SR系统的耦合方面,没有将SR饱和现象考虑在内，对具有抗饱和能力的耦合SR研究还涉及不多。综上所述，目前学者们对SR的研究主多集中在对称的、非对称的、饱和的、非饱和的、系统耦合及参数优化等单个方面的改进，对全方位的SR系统改进与优化的研究还有待深入。因此，本文提出了一种非线性、非对称优化 SR系统,采用对称非饱和 SR与非对称SR
13、间的非线性耦合，构造出势阱更宽且势阱壁峭更低的三维势函数,以保证粒子在迁移时有足够的能量继续向上，并结合多尺度粒子群优化算法对耦合系统参数进行优化选择，最后通过数值仿真与高速铁路轴承故障诊断试验,验证了新的SR系统在微弱故障特征提取中的突出优势。1非饱和非对称二维耦合系统1.1非饱和 SR受强度为D的随机高斯白噪声n(t）和周期外力刘小峰等：非饱和非对称二维随机共振系统的优化及在高速铁路轴承故障诊断中的应用n(t)=/2D(t)V(x)=bx/4-ax2/2式中:V()为典型对称双势阱势函数;k为阻尼比;x为系统输出；（t）为均值为0,方差为1的高斯白噪声;和6 为非线性系统结构参数。这里简称
14、式（1）为 V(x)-SR系统。由于式（1）中V(）的陡峭阱壁限制了布朗粒子的运动路径,致使SR系统输出易陷入局部饱和状态，从而限制双稳态SR系统的多弱信号的增强性能。为了有效地避免SR输出饱和问题，本文构建了3个势函数，即B2+1BXZWBWV.(x)一BB(x-W)2-BBZ+1B(2W2Z式中：V()为分段线性势函数;Vz(）和Vs（)为分段非线性函数;B、W 均为系统参数,B=/4b,W=a/b；z为影响势函数的势阱外壁切线夹角大小的张角系数。取a=9,b=1,z=2时,得到V(）、V(x)、V,(x)与V()的结构见图l。由图1（a)可知,V(x）、V,（）V()是具有与式（2）中V
15、(x）相同势阱点和势垒点的对称双势阱函数,Vz（x）和V,（x）两侧的势阱壁相同,陡峭程度相比V(）有所下降。V(）的势阱外壁最为平缓，其产生随机共振所需要的能量最少。V,（）、V（x）与V（）振荡范围的单边增量xx 2x 明显大于在Vx）上振荡范围的单边增量x，布朗粒子在势阱外壁向上运动相同的高度时能够获得更71s（t）=A s in（2 f。t）激励的布朗粒子在经典 SR势阱中跃迁运动可以表述为dV(x)x+kx=-+Asin(2fot)+n(t)（1)dx(2）x-WZ-Wx0（3）B0 xWWB2+1BzWZB2WBZ+1BZ3-Wx00 x04入第45卷3.513.02.52.01.
16、51.0-2.0-30-10-8-6-4-2O_oV(x)V（平滑+Vx)平滑V（平滑+1.3SR的耦合方式非线性耦合双稳系统是将参数不同的控制双稳系统的传统与被控双稳系统以耦合系数c进行非线性耦合而得到的12。将以V（x)构造的非饱和系统作为被控双稳系统与以V（）构造的非对称系统为控制系统进行非线性耦合，得到如式（7）的耦合势函数V（x,y）,对应的多稳系统即为非饱和-非对称耦合随机共振系统,记为V(x,y)-SR。V(x,y)=V()+V(y)+xy2dV.(x)x+hx=-cxy2+s(t)+n(t)dxdV.(y)y+kcxydy调换式（8）中的被控系统与控制系统位置,即将V（x）-S
17、R 作为被控对象,将V（y)-SR 作为控制对象进行系统的非线性耦合，得到势函数V（x,y)为V,(x,y)=V.(x)+Vi(y)+一2对应系统称为非对称-非饱和耦合随机共振系统，这里记为Vs(x,y）-SR 系统。令系统参数=9,b=1,z=2，入=2,c=0.1,则图3描述了V(,y）V（x,y）在当前参数条件下随着和y变化的三维图。由图3可知,两个势函数的结构非常相似，都具有4个三维势与1个势垒点,其势阱变化丰富多样,经过非线性耦合后的 SR比单一SR系统具有更加丰富的动力学特性。500-1000205-20-30401050(a)V(x,y)结构图3非线性耦合SR势函数结构V（x,y
18、)-SR 和V,（x,y）-SR 输出的幅值随耦合系数变化的曲线见图4。从图4可知V（,y）-SR 输出V.()平滑-V0.55 10 15 20 25 30 35 4024.681012元X(a)势阱结构图2 非对称势函数C2.25-20-40-405050(b)V,(x,y)结构(b)输出幅值与2 的变化关系(7）（8）(9)-10-20-3010-4050550第11期的幅值在V（x)输出附近上下变化,波动较大，但基本都保持在Vs（x,y）-SR 输出的幅值上方。可见，V（）作为被控系统得到的V4（,y）-SR 的幅值增强能力比V,(x,y)-SR更加显著,但V(,y)-SR的增强效果受
19、耦合系数的影响较大，有必要对其参数做进一步优化。2.8e-V2.6*Vs(x)2.42.22.01.81.61.41.2000.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0图4不同耦合系数下的非线性耦合SR输出幅值2基于多尺度权重简化粒子优化的耦合系统2.1多尺度权重简化粒子在传统粒子群及其改进算法14-15中，处在同代的粒子往往采用同一惯性权重来进行位置更新，没有考虑同代粒子之间的差异性。因此，本文采用多尺度简化粒子群优化算法（MultiscaleSimplifiedParticleSwarmOptimization,MSPSO）对V（x,y）-SR 系统参数进行优化。MSPSO
20、的多尺度惯性权重；设置为=;(h+1)fo,(k)favg(k)w,(k+1)=lo(k+1)fu.(k)favg(k)式中：fu,为第i个粒子适应度值，i=1,2,N,N为粒子个数;k为当前迭代次数；favg为当代种群适应度值的平均值；，与”分别表示小尺度与大尺度惯性权重。从式（10）可以看出，较大的f，值表明，粒子越接近最优，那么在进行下次迭代时宜采用小尺度的惯性权重来进行粒子精细搜索。相反，较小的fu，值表示粒子位置不佳，则下次搜索时宜采用大尺度的惯性权重来进行全局搜索。第k+1次迭代的，与的表达式为fmax(hk)-fo,(k);(k+1)=min+fmax(k)-favg(k)fo,
21、(k)-fmn(hk)0(k+1)=maxfavg(k)-fmn(k)式中：fmax与fmin为当代粒子群中最大与最小适应度值。将式（10)中的惯性权重（k）添加到粒子群算刘小峰等：非饱和非对称二维随机共振系统的优化及在高速铁路轴承故障诊断中的应用X,(h)+C2T2G,X,(h)式中：iV2为0,1之间服的随机数,用来维持种群的多样性；P，为个体历史最优位置；G为群群体历史最优位置；ci、C为学习因子，这里取值均为2。2.2MSPSO对V(x,y）-SR 系统参数的优化MSPSO算法以favg为基准将粒子种群分为优劣两个子群进行不同尺度寻优，在优子群采用小尺度的惯性权重以增强该粒子的局部搜索
22、能力，在劣子群采用大尺度的惯性权重以增强粒子的全局搜索能力，便于粒子跳出局部最优。采用MSPSO对V（x,y）-SR 系统进行参数优化的实施过程如下：Step1随机初始化N个粒子。设置最大迭代次数Tmax及V（,y)-SR系统的参数（a,b,k,z，入,c)的寻优范围，并在设定范围内随机初始化N个粒子。Step2计算粒子适应度值。为表征系统对输人信号的增强和改善作用，并消除结果的随机性，引人平均信噪比增益MSNRI作为评价指标，其表达式为S(f.)/(P-S(fo)MSNRI=-n.-1si(fo)/Pin-sin(fo)式中：Pou与Pi分别为第i次试验中系统输入和输出总功率；增加次数n以尽
23、可能避免随机结果产生的误差，文中n=10。S（f）与S(f。）分别为第i次试验中系统输入和输出特征频率f。对应的功率幅值。S（f。）/P-S（f。）】表示输出特征频率相对于周(10)期噪声的强度,该值越大，表明SR系统对特征频率的增强效果越好。待检测弱周期信号通常淹没在强噪声中，导致其幅值往往低于噪声幅值，使得si(f)/Pis i(f)取值较小。式（14）中的MSNRI越大，说明SR系统对弱周期信号的改善作用越大，因此，MSNRI可作为MSPSO中寻优粒子的适应度评价指标。Step3将粒子位置代入式（7），采用4阶龙格库塔算法求解系统输出，并按照式（14)计算MSNRI最大化原则更新个体历史
24、最优解和群体历史最优解。Step4根据当代粒子群适应度值的平均值来进(max-min)(11)WmaxWmin)(12)73法的位置更新公式，即X,(k+1)=o(k)X,(k)+cirP,-行优劣子群的划分，按照式（10）、式（11）进行惯性权重的自适应设置。Step5种群位置的更新。根据式（12）、式（13）更新种群位置。Step6重复Step3Step5,当迭代次数达到Tmna时，算法停止并输出MSNRI最大值所对应的粒子即为V4(,y）-SR 系统的最优参数。(13)(14)743仿真分析令输人信号s(t)=0.1sin(20.01t）+2 D(t)，D=0.1,采样频率f.为10 H
25、z,采样点数N为2 0 48,信噪比为-2 8 dB,=b=k=l。s t)的频谱及各个不同SR系统输出信号频谱见图5。图5（a)中,原始信号中的特征频率0.0 1完全淹没在噪声干扰，经过经典SR系统，特征频率处存在很明显的谱峰，幅值增加了约10.945倍,所以可以判断系统处于阱间随机共振状态。0.250.200.100.0502.0(0.009 766,1.968)1.60.80.40.2(c)V(x)-SR输出频谱图5增强后的输出信号频谱取张角系数z为2 的 V,（）构造非饱和的SR系统，保持其他参数不变，得到的Vi（x）-SR 输出见图5（c），特征频率幅值增加了约19.98 2 倍。取
26、非对称系数入为2 的V（)作为势函数,得到的V（）-SR系统输出见图5（d），特征频率幅值增加了约14.2 58 倍。采用MSPSO对V（x，y）-SR 的参数进行优化，结果见图6。从图6(a)可以看到MSPSO算法只迭代了12 次之后就开始收敛,最后寻优到的参数为a=0.0025,b=0.001,k=0.037,z=6.203,入=8.9 6 7,c=0.406。图 6(b)给出了系统参数优化之后的输出频谱，其中特征频率得到了有效增强，这意味着系统处于阱间随机共振状态。比较图5(b)和图6(b)中特征频率处的幅值大小,可以计算出系统输出幅值是V（x）-SR 输出的49.34倍、V（x)-SR
27、 输出的2 7.0 3倍、V（x）-SR 输出的37.99倍。这主要是因为经MSPSO优化后的V（xy)-SR系统具有更宽右侧势阱与更平缓的势阱外壁，布朗粒子的振荡范围不断变大，能更有效地将噪声能量转换为高幅值特征信号输出，从而对特征信号具有更佳的增强效果。铁道学报10r(12,9.164)8AiNs642020406080100120选代次数T(a)寻优收敛曲线图6 基于MSPSO优化V（x,y）-SR 系统输出根据MSPSO优化结果，设置V（x,y）-SR 和V（，1.2y)-SR系统参数,不同噪声强度下V（x)-SR、V（）-(0.009.766,1.078)1.00.80.20.20.
28、40.60.81.0频率/Hz(a)输入信号频谱0.40.60.81.0频率/Hz第45卷55斤(0.0 0 9 7 6 6,53.195)50F402010F0.2(b)输出频谱SR、V(x,y)-SR 和V,（x,y)-SR 系统输出的MSNRI曲线见图7（a）,由图7（a）可知,随着D的增大,MSNRI先快速增大后逐渐减小，可见各SR系统均发生随机共振现象,但优化后的V（x,y)-SR 对信噪比的提升最0.20.40.60.8T.0频率/Hz(b)V(x)-SR输出频谱1.4(0.009 766,1.4)1.21.08V0.80.60.40.200.40.60.81.0频率/Hz为明显，
29、在相同条件下，非线性耦合方法输出的MSNRI整体高于其他SR方法。为验证MSPSO对V4（x,y）-SR 参数的优化效果，采用传统粒子群优化算法（ParticleSwarmOptimization，PSO）和线性递减惯性权重的粒子群优化算法【16（ParticleSwarmOptimizationwith Linearly Decreasing Inertia Weight,LDIW-PSO)分别对V4（x,y)-SR 参数进行优化，结果见图7（b）。30.20.40.60.81.0频率/Hz(d)V,(x.y)-SR输出频谱种PSO优化方法均能有效地提升系统信噪比，但采用MSPSO优化后的V
30、4（x,y）-SR 能得到更高的MSNRI,能将更多的噪声能量转移至特征信号，达到更优的检测效果。252010500.51.01.52.02.53.0D(a)4种SR系统图7 不同噪声强度下SR系统的MSNRI曲线4在高速铁路轴承故障诊断中的应用4.1整车重载试验平台整车重载试验过程在整车滚动综合性能试验台上完成,该试验平台可以容纳一节完整的列车,列车的前后装有反力装置，该装置可以让列车在试验过程中保持在相同的位置上，列车的侧面装有可以提供横向作用力的装置，该装置能够模拟侧向风力使列车车体偏移5mm。列车的质量会使车轮和驱动轮始终保持接25+Vi(x)+V.(x)+V4(x,)ANSW+Vs(
31、x,y)1510500.51.01.52.02.53.0D(b)3种PSO优化算法MSPSOLDIW-PSO20PSO第11期触状态并且不会打滑。图8（a）为列车底部试验台的结构示意,图8(b)给出了轴承的位置分布及对应的编号，轴承不同工况下的故障特征频率见表1，试验轴箱轴承的类型为双列圆锥滚子轴承CRI-2692。两个加速度传感器分别布置在轴箱竖直和水平方向的位置，使用NIInsightCM系统进行数据采集与管理，采样频率为2 0 kHz。通过驱动轮驱动列车车轮的转速分别至12 33、1539.5、18 47.5r/min，列车的速度将分别达到2 0 0、2 50.30 0 km/h，在不同
32、的速度下保持列车稳定运行。驱动轮动车车轮刹车装置数据存储分析PC(a)测试系统示意反力装置8号轴承6 号轴承二V4号轴承1号轴承7号轴承5号轴承3号轴承2 号轴承(b)轴承位置图8 试验台示意表1不同运行速度下的轴承故障特征频率车速/外圈故障(km:h-)轴的转频/Hz特征频率/Hz20020.5525025.6630030.794.2高速重载下振动信号的验证选用车速为2 50 km/h工况下的具有外圈故障的2号轴承为研究对象，对所提方法进行验证,取实测信号中8 192 个采样点进行分析，图9分别给出了对应的时域波形和频谱，从时域波形中几乎看不出故障冲击成分，且频谱中的频率成分十分杂乱。20r
33、1510/V-1520E0图9车速为2 50 km/h工况下2 号轴承的振动信号根据表1的外圈故障频率2 0 9.8 2 1Hz及图9 中信号幅值的大小，设置V4（，y）-SR 系统尺度系数为刘小峰等：非饱和非对称二维随机共振系统的优化及在高速铁路轴承故障诊断中的应用驱动电机测试轴箱信号调理器反力装置滚动体故障特征频率/Hz168.0471.28209.8288.99251.79106.811.0r0.80.40200.1020.3时间/s(a)时域波形755000,压缩系数为0.0 1。设置MSPS0的粒子群规模为30,迭代次数为12 0,参数、b、k 的寻优范围均为0.001，10,张角系
34、数和非对称系数的寻优范围为（1，10，耦合系数的寻优范围为0，1，按照式（14），以外圈理论故障频率来设置适应度函数。MSPSO对V4（x，y）-SR 的优化结果见图10。从图10（a）可知,MSPSO算法只迭代了34次之后就开始收敛最后寻优到的参数分别为a=0.025,b=0.001，k=0.047,z=6.381,入=7.8 34,c=0.406。图10(b)、图10（c）给出了参数优化之后系统输出信号频谱。可见,通过参数优化后的V（,y）-SR 系统达到阱内随机共振状态，将噪声能量成功转移到外圈故障频率处，从而有效地检测出了轴承外圈故障特征频率，故障频率处的幅值经过V（,y)-SR处理之
35、后增大了约10 倍。图10（d）给出了MSPSO优化后的V（x)-SR 的输出结果。比较图10（c）与图10（d)可知，经优化后的V（x,y)-SR 系统输出频率幅值是优化后传统V（x）-SR输出的3.8 31倍,V（x,y)-SR 对故障频率的增强效果远超过V(x)-SR。8(34,7.765)7653F2020406080100120选代次数T(a)优化收敛曲线1.4(210,1.428)1.23/V1.0F0.80.60.40.20400800120016002000频率/Hz(c)V(x)-SR输出频谱图10 MSPSO优化系统输出4.3方法鲁棒性验证为了进一步验证本节所提方法的鲁棒性
36、，以300km/h工况下的5号和7 号轴承为研究对象，其中5号和7 号轴承故障类型均为压痕，5号轴承故障位置位于A列滚子B列滚子和外圈滚道，7 号轴承故障位0.410003000500070009000频率/Hz(b)频谱5432-231-50(b)V(x.y)-SR输出时域波形:(210,0.372.7)0.350.30F00250.20F粤0.15斤0.10F0.05小0400800120016002000频率/Hz(d)V,(x)-SR输出频谱置位于A列滚子、B列外圈滚道。将MSPSO优化的V4（,y)-SR与同样优化后的V（）-SR输出频谱的5次独立检测的结果汇总于表2 中。由表2 可
37、知，MSPSO优化的V（x,y）-SR 系统的故障检测性能始终优于优化后的V（x）-SR 系统，其输出幅值均值更大，0.10.2时间/s0.30.476而且对噪声的利用率也更高，对比不同工况下的不同故障轴承具有较好鲁棒性。表2 3 0 0 km/h速度下5号和7 号轴承检测结果随机共振工况故障位置系统Vi(x)-SR外圈V4(x,y)-SR5号Vi()-SR滚动体VA(x,y)-SRVi(x)-SR外圈V4(x,y)-SR7号Vi(x)-SR滚动体V4(x,y)-SR5结论1)针对系统输出饱和的问题,对传统势函数的结构进行优化，引入张角系数z构建分段线性函数的势函数,分析了张角系数对非饱和SR
38、系统输出的影响，改善了系统输出饱和现象的能力。2)对于非对称 SR，通过正弦信号的检测结果表明,引人非对称系数入构建非对称势函数,分析非对称系数对非对称SR输出信号幅值的影响，通过增大非对称系数，可进一步提高SR系统对弱信号的增强功能。3采用最优的耦合方式对非饱和SR与非对称SR进行非线性耦合，引人MSPSO对耦合系统进行多参数优化，并采用仿真信号与高铁轴承故障信号验证优化后的耦合系统能够增大系统输出的幅值，提高噪声的利用率,对微弱故障的诊断更加敏感。参考文献：1俞莹丹,林敏,黄咏梅，等.四稳系统的双重随机共振特性J.物理学报,2 0 2 1,7 0(4:110-118.YU Yingdan,
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