1、第45卷第18 期2023年9月舰船科学技术SHIP SCIENCEAND TECHNOLOGYVol.45,No.18Sep.,2023非均匀采样潜艇耐压壳体测量数据处理方法邓为耀，彭飞，王中，孟庆旭，韩玉超，王雪妮(海军工程大学舰船与海洋学院，湖北武汉430 0 33)摘要：在役潜艇的建造和修理需要检测其耐压壳体的截面圆度，因现场条件限制或多设备融合测量，测量采样点经常呈现非均匀性，导致最小二乘圆拟合的结果与实际情况不符，研究旨在减小非均匀采样带来的影响，提高拟合圆的精度。基于非均匀采样定权提出一种非均匀采样加权总体最小二乘圆拟合方法，同时考虑观测向量和系数矩阵都有扰动，用于潜艇耐压壳体测
2、量数据的处理。通过对4种不同预设形状的采样分析数值实验表明，该方法能提高非均匀采样情况下圆拟合的精度，但当随机误差加大至1.5mm，该方法不能完全优于最小二乘法。非均匀采样加权总体最小二乘圆拟合法计算得到的圆心偏差及半径偏差都比最小二乘法的结果更小，具有较好的工程实用价值，可用于在役潜艇耐压壳体圆度测量非均匀采样时的圆拟合计算。关键词：潜艇；耐压壳体；圆拟合；非均匀采样；加权总体最小二乘法中图分类号：U662.2文章编号：16 7 2-7 6 49(2 0 2 3)18-0 0 51-0 7Measurement data processing method of submarine pres
3、sure hull with non-uniform samplingDENG Wei-yao,PENG Fei,WANG Zhong,MENG Qing-xu,HAN Yu-chao,WANG Xue-ni(Ship and Ocean College,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)Abstract:The maintenance and repair of in-service submarines need to detect the roundness of the section of the pres-sure
4、 hull.Due to site conditions or multi-equipment fusion measurement,the measurement sampling points often show non-uniformity,resulting in the result of least squares circle fitting and the actual situation.The research aims to reduce the influ-ence of non-uniform sampling and improve the accuracy of
5、 fitting circles.Based on non-uniform sampling weighting,a non-uniform sampling weighted overall least squares circle fitting method is proposed,which also considers the disturbance ofobservation vector and coefficient matrix,which is used for the processing of submarine pressure hull measurement da
6、ta.Nu-merical experiments of sampling analysis of four different preset shapes show that this method can improve the accuracy ofcircle fitting in the case of non-uniform sampling,but when the random error increases to 1.5 mm,this method cannot becompletely better than the least squares method.The ce
7、nter deviation and radius deviation calculated by the non-uniformsampling weighted overall least squares circle fitting method are smaller than the results of the least squares method,whichhas good engineering practical value,and can be used for the measurement of the roundness of the in-service sub
8、marine pres-sure hull.Circle fit calculation when uniformly sampled.Key words:submarine;pressure hull;circle fitting;non-uniform sampling;weighted total least squares0引言为了抵御深水压力，潜艇耐压壳体通常被设计为柱锥结构形式，其横截面为圆形，而耐压壳体在建造、装配以及焊接过程中都会导致该截面偏离纯圆-4。因此，潜艇耐压壳体圆度评定的研究对控制其建造精度及潜艇安全性都具有重大意义。目前这类大型结构收稿日期：2 0 2 2-0 8-
9、2 4基金项目：国家自然科学基金资助项目(516 0 92 53)作者简介：邓为耀（1997-），男，硕士研究生，研究方向为船舶设计制造维修工程。文献标识码：Adoi:10.3404/j.issn.1672-7649.2023.18.009的圆度检测常采用全站仪等现代测量仪器，采集各肋骨剖面圆周上16 或32 等分点坐标或到中心线的距离，然后利用最小二乘法进行圆拟合，来评定耐压壳体是否满足要求5-7 。近年来，圆曲线的最小二乘拟合理论不断完善与丰富，从18 世纪末19 世纪初提出的最小二乘法乘52（Le a s t Sq u a r e，LS）【8-10 1，到加权最小二乘法（We i g h
10、 t e d Le a s t Sq u a r e，WLS），能够同时考虑观测向量和系数矩阵的误差的总体最小二乘法-12 ，由总体最小二乘法扩展的加权总体最小二乘法（WeightedTotal Least Squares，WT LS）13-16 等，这些加权方法主要是应用于平面、曲面拟合及GPS高程拟合等。对于圆拟合，采样点的分布情况对拟合精度也有较大影响，在条件允许的情况下，应尽量在整个圆周上均匀采集离散点，才能得到最佳拟合效果17 ，如图1（a）所示。对于在役潜艇，在实际圆度评定过程中，经常会出现结构内部较为复杂的情形，特别是各种结构的遮挡，导致测量得到测点是非均匀的，如图1（b）所示。
11、同时，随着多设备融合测量技术发展18-19，复杂环境下，圆周上不同部位可能采用多台或不同的仪器设备进行数据采集，有的方法采集点密一些，有的方法采集点疏一些，这样也会导致整体采样的不均匀性，如图1（c）和图1（d）所示。上述几种情况会对经典最小二乘圆拟合结果产生较大的影响；本文提出一种基于非均匀采样的加权总体最小二乘法，从理论上同时考虑观测向量和系数矩阵的扰动，用于处理非均匀采样带来的影响；这里的加权是依据测点的分布来确定权重，以此来提高非均匀采样情况下最小二乘圆的拟合精确。(a)均匀采样重复采样(c)重复采样图1采样点分布图Fig.1 Sampling point distribution m
12、ap1加权总体最小二乘法的基本原理线性方程中AX=L，最小二乘的原理是在残差平舰船科学技术方和极小的情况下求出参数的最佳估计值。该方法的前提条件之一是假定系数矩阵A是由没有误差的精确值构成的，而只对观测值L矩阵进行改正，但实际上，观测向量L、系数矩阵A都有扰动。因此从理论上讲应该同时考虑L和A的扰动才严密，也就是说同时顾及观测向量L和系数矩阵A的误差15，建立EIV模型：(A+EA)X=L+eL,(1)且QA其中AERmxn,LeRm，X e Rn，r a n k(A)=n m。m 为条件方程个数；n为待估参数个数；eL为观测阵的误差；EA为系数阵的误差；vec表示将矩阵按列拉直，依次从左到右
13、；eA=vec(EA)。其中，QL和QA分别为eL和eA的对称非负定协因素阵，是未知的单位权方差，PL=QL-，PA=Q A-I，PL和PA分别为观测值L与A所对应的观测量之间的2 个权阵15。加权总体最小二乘的基本准则为：eLPLeL+e/PAeA=min,依据式(4)的模型，以及上述定义的各参数，定义QA=Q0Qx,Qo=Po-1,Qx=Px-1,PA=Po Px，称Po为系数矩阵A的列向量权阵，Px为系数矩阵A的行向量权阵115，“”为Kronecker积。建立目标函数：(eL,eA,X)=ePLeL+e(PoPx)eA+2aT(L+eL-AX-(xT In)eA)。(3)其中，向量入是
14、m1阶拉格朗日乘数，对求拉格朗日极值，求各参数的一阶偏导数并令其等于0，然后按照最小二乘各平差方法的推求原理15，进行迭代求解。(b)非均匀采样2非均匀采样加权总体最小二乘法2.1非均匀采样点权重的确定当潜艇耐压壳体肋骨面圆的圆周上采样m个测点沿圆周完全均匀分布时，其权重应相同，Wi=W2=.=wm=wo。当测点沿圆周不均匀分布时，通过赋值各点的权重，使得拟合圆心和半径尽可能接近真值，或者(d)局部加密采样接近测点均匀分布时的拟合结果。当同一位置某测点Si(xi,yi）（1i m）有k次重复测量数据时，每个重复采样数据的权重相同。步骤1中采用相同权重（可取所有测点权重均为1）进行最小二乘圆拟合
15、，得到初步拟合结果（拟合圆圆心位置和半径），然后计算每个采样点对应的第45卷(2)第45卷圆心角。如图2（a）所示，O为等权拟合圆圆心，A点为等权拟合圆上采样点2 和3之间的中点，B点为等权拟合圆上采样点3和4之间的中点，则乙AOB即为采样点3所对应的圆心角3，其他采样点所对应的圆心角计算方法类似。步骤2 中计算采样点权重，采用新的权重进行加权最小二乘圆拟合。权重计算公式为：mwi=i/Zai.当同一位置采集多次，或者多个采样点非常靠近时（圆弧距离小于10 0 mm一一参考对圆柱形耐压分段，当有测点无法测量时，如有可能，可将测点移到离肋骨腹板10 0 mm之内进行测量2 0 ），如图2（b）所
16、示，取其中更靠近弧线AB的中点的采样点参与角度计算，得到相应权重，然后再将权重按重复次数均分。只有当重复采样是个数达到3个时，此判定条件才会对结果有一定的影响，但影响有限。2.2加权总体最小二乘法在非均匀采样圆拟合中的应用分析潜艇耐压壳体的肋骨剖面一般为圆曲线形式，可设圆曲线的方程为：(xi-xo)2+(vi-yo)2=R2,其中，（xo,yo)为圆心坐标，R为半径。将式（5）展开得到：2(6)视x?+y/2、2 x i、2 y i 为新的观测值，xo、y o、R2-xo-yo为待估参数2 1。运用加权总体最小二乘的思想，将式（6）写成矩阵形式为：2x12y11x2?+y2?2x22y221R
17、2 xo2-o22+ym2xm2Xmx12+y1222X2+y2其中，L=xm+ym222X=yo R?-xo?-yo?2对于协因素阵的确定，认为x，是等精度的独立观测量，且观测向量与系数阵行向量相关。令x=y，l=(x i+y:2)，则根据协因素传播律有QL=2(xz2+邓为耀，等：非均匀采样潜艇耐压壳体测量数据处理方法30(a)采样点权重图2 采样点权重示意图(4)Fig.2 Schematic diagram of sampling point weightsyi2)Qx，其中Px=Qx-1，根据系数矩阵A的形式可知：Qo=diag(2,2,0)(8)认为观测向量之间等权，则对于权阵Px
18、可由非均匀的权重确定：Px=W=diag(wi,w2,.,wm)。3非均匀采样圆拟合数值实验潜艇建造中耐压体肋骨剖面实际形状通常为近似椭圆形状，为能既符合工程实际，又有标准拟合结果可参照比较，数值实验时选取近似圆形的标准圆进行数值采样。因圆心位置对拟合结果没有影响，将圆心直接设置在坐标原点位置，圆的半径为50 0 0 mm。(5)模拟在役潜艇耐压壳体的实际圆度情况，在标准圆的坐标值上，添加各种函数，如5sin20、（0-元)2/2、椭1o2圆、5(0-j元/3）（j=1，3，5）等（0 0 2 元），作为预设的形状，如图3所示。用基于全站仪的激光圆度测量分析系统7 对潜艇耐压壳体进行测量时，考
19、虑测量过程中存在的测量误差（极端复杂情况下测量误差为1.5mm），在采样数据上添加服从正态分布的随机数XO来模拟测量误差，然后分别对均匀采样、部分测点重yo复采样、局部加密采样、非均匀采样4种情形进行圆拟合数值实验。以拟合圆的圆心坐标偏差、半径偏差2ym12x12x2A=2xm5312B05(b)重复采样权重(9)(7)作为评定标准，圆心和半径偏差指非均匀采样圆拟合2y112y212ym1的值与真值偏差的绝对值。3.1均匀采样在同精度、均匀采集的前提下，文献8 研究表明圆拟合过程中均匀采集152 0 个离散点即可。因此，此处以均匀等分角在圆上采样32 个点坐标，分别采用最小二乘圆拟合方法、加权
20、最小二乘法及非均匀采样加权总体最小二乘圆拟合法进行圆拟合，比较3种方法在循环计算10 0 0 0 次求平均值时，各项偏差的大小，计算结果如图4所示。可知，均匀采样情况下，3种方法的拟合效果基本一致，不同的预设形状对均54舰船科学技术6000-o圆心偏差LS-O-圆心偏差WLS圆心偏差WTLS4000半径偏差LS米采样点米米20000-2.000-4000-60006000-4000-2000(a)R上加5sin20的预设形状60004.00020000-2.000-4.0006 0006 000-4000-2000(b)R上加(0 元)/2 的预设形状5000*米-0*米-50006000-4
21、000-2000(c)椭圆的预设形状6 000米400020000-2.000-4000-6 00060004000-2000(d)R上加5(0-j元/3)的预设形状图3预设形状图Fig.3Preset shape diagram第45卷0.4-半径偏差WLS。圆心/原点半径偏差WTLS预设形状wu/0.3一标准圆0.2米0.1米0020004.0006 000轴坐标米*采样点。原点*米预设形状一标准圆米米米*米0200040006000 x轴坐标米*采样点。原点预设形状一标准圆-米一米*米米020004.0006000轴坐标米采样点原点预设形状米一标准圆米米米0200040006000轴坐标
22、320.51.0随机误差/mm1.5(a)在R上加5sin20的预设形状一-圆心偏差LSo-圆心偏差WLS圆心偏差WTLS半径偏差LS0.4-*-半径偏差WLS半径偏差WTLSuu/U0.310.20.100.41-半径偏差WLS半径偏差WTLSuu/美0.30.20.10圆心偏差LS0.51。-圆心偏差WLSO-圆心偏差WTLS半径偏差LS0.4-半径偏菱WLS半径偏差WTLSuuu/0.30.20.10(d)在R上加5(0-j元/3)2 的预设形状图4均匀采样拟合效果图Fig.4 The effect of uniform sampling fitting320.51.0随机误差/mm1.
23、5(b)在R上加(0 一元)/2 的预设形状一圆心偏差LS。-圆心偏差WLS圆心偏差WTLS半径偏差LS0.51.0随机误差/mm1.5(c)椭圆的预设形状0.51.0随机误差/mm1.5322第45卷匀采样影响较小；整体的圆心偏差值大于半径偏差值，且随着加入的测量误差增大，各项偏差值也增大，符合一般的误差规律。3.2部分测点重复采样在部分相同位置点重复采样，会导致测点分布的不均匀性，这是实际工程测量中通过相互校验，提高测量可靠性时经常会出现的一种情况。为了验证3种算法对这种情况圆拟合的影响，随机选取1/4区域的测点进行重复采样，循环计算10 0 0 0 次后求平均值，计算结果如图5所示。可知
24、，对于4种预设形状，当存在部分测点重复采样时，整体的圆心偏差值大于半径偏差值；随着加人的测量误差增大，整体的各项偏差值也增大，对于不同的预设形状圆心偏差趋势不同，半径偏差的变化趋势基本一致；对于圆心偏差和半径偏差，WTLS与WLS的拟合结果基本一致，WTLS的拟合结果比LS的拟合结果更好，偏差值更小。3.3局部加密采样因测量方法的不同和融合测量技术的发展，局部加密采样也是工程实际中经常会遇到的情况之一，也会导致采样不均匀，为验证算法对局部加密采样拟合结果的影响，随机选取1/4区域的测点进行加密采样，然后进行圆拟合的10 0 0 0 次循环计算并求平均值，计算结果如图6 所示。可知，对于加密采样
25、，这4种预设形状，WTLS与WLS的拟合结果基本一致，WTLS的拟合结果比LS的拟合结果更好，偏差值都更小；随着加入的测量误差的增大，各项偏差值也增大，且整体的圆心偏差值大于半径偏差值，对于不同预设形状圆心偏差的趋势不同，半径偏差的变化趋势基本一致。3.4非均匀采样因等分测点被结构遮挡，或局部空间狭窄个别测点无法测量等现场条件限制，非均匀采样是工程实际中最常遇到的情况。非均匀随机采样，即先根据采样数量均匀等分，得到采样点的圆心角，然后在圆心角上叠加均值=0，标准差=2 元/m正态分布量，得到非均匀随机的点坐标。循环计算10 0 0 0 次后求平均值，计算结果如图7 所示。可知，对于这4种预设形
26、状，随着加入的测量误差增大，整体的各项偏差值都增大，对于不同的预设形状圆心偏差的趋势不同，半径偏差的变化趋势基本一致，整体的圆心偏差值大于半径偏差值；对于非均匀采样的情况，各项的偏差值，WTLS与WLS的拟合结果基本一致；由图7(b)可知，该预设形状下，随着误差的增大3种方法的结果基本一致，考虑此预设形状，权重对于随机非均匀采邓为耀，等：非均匀采样潜艇耐压壳体测量数据处理方法-圆心偏差LS-圆心偏差WLS圆心偏差WTLS半径偏差LS0.8-半径偏差WLS0.7半径偏差WTLS0.60.40.30.210.100随机误差/mm(a)在R上加5sin20的预设形状圆心偏差LS-圆心偏差WLS圆心偏
27、差WTLS-半径偏差LS0.51-半径偏差WLS半径偏差WTLS0.40.20.100随机误差/mm(b)在R上加(0-元)/2 的预设形状圆心偏差LS。-圆心偏差WLS0.8-圆心偏差WTLS半径偏差LS0.7-半径偏差WLS0.6半径偏差WTLS0.50.410.30.20.11000.5随机误差/mm1.01.3(c)椭圆的预设形状-圆心偏差LS-圆心偏差WLS圆心偏差WTLS半径偏差LS-半径偏差WLS半径偏差WTLS0.50.40.20.100随机误差/mm(d)在R上加5(0-j元/3)2 的预设形状图5部分测点重复采样拟合效果图Fig.5 Fitting effect diagr
28、am of repeated sampling ofsomemeasuringpoints55.+2.0F1.81.61.4+1.20.51.00.51.00.51.01.51.01.8F1.41.5-1.0+2.01.51.0+2.0+1.5K-1.01.556Fig.6 Local encryption repeated sampling fitting results舰船科学技术圆心偏差LS-O-圆心偏差WLS圆心偏差LS-圆心偏差WTLS圆心WTLS。圆心偏差WLS-*-半接福鑫WLS0.8*半径偏差WTLS0.70.6wuu/0.50.40.30.20.100随机误差/mm(a)在R
29、上加5sin20的预设形状圆心偏差LS-。-圆心偏鑫WLS圆心偏差WTLS半鑫德鑫LS0.4*-平径偏差WTLS-*-半蕉鑫WLS0.3Wu/0.20.100随机误差/mm1.0(b)在R上加(0 元)2/2 的预设形状一圆心偏差LS-。圆心偏差WLS圆心偏差WTLS径德LS-*-接鑫WLS0.8半径偏差WTLS0.70.60.40.30.20.110(c)椭圆的预设形状-圆心偏差LS-。-圆心德鑫WLS圆心偏鑫WTLS半径偏LS-*半接信鑫WLS0.5半径偏差WTLS0.4wuu/0.30.20.10随机误差/mm(d)在R上加5(0-j元/3)2 的预设形状图6 局部加密重复采样拟合结果图
30、第45卷*福鑫WLS-*半径偏差WTLS0.60.52.0uu/0.40.31.5K0.20.10.501.0-1.01.52.0F1.50.50.5随机误差/mm0.31.0+2.0+1.500.5随机误差/mm(a)在R上加5sin20的预设形状-圆心偏差LS-圆心德鑫WLS-圆心差WTLS0.5-*半接偏差WLS*半径偏差WTLS0.40.3L/0.20.101.5-1.0+2.0F1.5K1.011.01.52.0F1.5K1.3-1.01.000.5随机误差/mm(b)在R上加(0 元)2/2 的预设形状-圆心偏差LS-.-圆心德鑫WLS-o圆心偏差WTLS0.6半径偏差LS-*-半
31、莅福鑫WLS0.5-半径偏差WTLSu/0.40.30.20.100随机误差/mm1.0(c)椭圆的预设形状-圆心偏差LS-.圆心德WLS-O圆心偏差WTLS-*-半接德鑫WLS*半径偏差WTLS.0.50.4u/U0.30.20.100随机误差/mm(d)在R上加5(0-j元/3)2 的预设形状图7 非均匀采样拟合结果图Fig.7 Non-uniform sampling fitting results1.3+1.0+2.01.51.01.50.50.51.02.01.51.51.02.01.51.01.51.0第45卷样影响较小；由图7(a)图7(c)图7(d)可知，WTLS的拟合结果比L
32、S的拟合结果更好，偏差值都更小。3.5小结对于4种预设形状下的各种不均匀情况圆拟合计算结果，由图4图7 可知，整体的圆心偏差值大于半径偏差值，且随着加人的测量误差增大，整体的各项偏差值都增大；对于均匀采样，3种拟合方法的计算结果一致；对于部分测点重复采样、局部加密采样和非均匀采样，WTLS的拟合结果都比LS的好；WTLS与WLS的拟合结果基本一致，但在理论上WTLS比WLS更完备。4结语本文提出一种基于非均匀采样加权的加权总体最小二乘法用于潜艇耐压壳体测量数据的处理。研究表明，本文所提的非均匀采样加权总体最小二乘法，对4种预设形状下各种非均匀情况的圆拟合问题，可得到比经典最小二圆拟合法更好的精
33、度，且与加权二乘法相比理论更加完备。该方法可用于在役潜艇耐压壳体肋骨剖面圆度评估，尤其是在役潜艇修理时复杂环境下的非均匀采样数据圆拟合。参考文献：1 IMRAN M,SHI D Y,TONG L L.Multi-objective design opti-mization of composite submerged cylindrical pressure hull forminimum buoyancy and maximum buckling load capacity.Defence Technology,2021,17(4):1190-1206.2王晓天,梁学先.崔洪斌。潜艇耐压液舱
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