1、第49卷第5期2023年10 月文章编号：16 7 3-5196（2 0 2 3)0 5-0 16 3-0 4兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of TechnologyVol.49No.5Oct.2023非奇异M-矩阵的性质钟琴（四川大学锦江学院数学教学部，四川眉山6 2 0 8 6 0）摘要：利用非负矩阵与非奇异M-矩阵的关系，给出非奇异M-矩阵及非奇异M-矩阵最小特征值的相关性质。进一步结合Gerschgorin圆盘定理和Holder不等式给出非奇异M-矩阵最小特征值的下界估计式，数值例子验证了这种方法的有效性，关键词：不可约；非奇异M-矩阵；最
2、小特征值；特征向量ZHONG Qin中图分类号：0 151.2 1(Division of Mathematics,Sichuan University Jinjiang College,Meishan 620860,China)Abstract:The relevant properties of nonsingular M-matrices and their minimum eigenvalues are given,based on the relationship between nonnegative matrices and M-matrices.Further,the lowe
3、r bound for theminimum eigenvalues of nonsingular M-matrices is given by combining the famous Gerschgorin theoremand Holder inequality.Numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the discussed method.Key words:irreducible;nonsingular M-matrix;minimum eigenvalue;eigenvector记zx=(A=
4、(a;)ERxaj0,1i,j1记号n,ij).M-矩阵是计算数学及相关领域具有广泛应用定义2 3老若AEZx，且A-10,则称A为背景的重要矩阵类.M-矩阵起源于解某类微分方程非奇异M-矩阵.的数值解（例如偏微分方程中的有限元方法）.经济定义33设A为非奇异M-矩阵，则(A)=价值模型矩阵和反网络分析的系数矩阵也和M-矩1是A的一个特征值，称为A的按模最小特阵密切相关，许多学者对M-矩阵进行了广泛地研0(A-1)究，Plemmons列出了40 个和M-矩阵等价的条征值，简称最小特征值。件，Berman等2 进一步扩充为50 条，另外还有许多定义4L3设A=(aj)ERx，如果存在一个关于M-
5、矩阵及其应用的研究3-11.本文在现有结果排列方阵PERx使得PAPT=的基础上，对非奇异M-矩阵的性质做进一步的研究.首先给出相关概念和定义.记N=(1,2,n),R(C)表示n阶实（复）矩阵的集合.定义11设A=(ai)ER，若矩阵A的所有元素i0，则称矩阵A为非负矩阵，记为AO，用（A)表示非负矩阵A的谱半径.收稿日期：2 0 2 2-0 5-2 4基金项目：四川省教育厅自然科学研究项目（18 ZB0364)通讯作者：钟琴（198 2-)，女，四川自贡人，副教授.Email:bbs3_文献标志码：AOn the properties of nonsingular M-matrices(A
6、11A12)，其中0A2A11和A22是两个低阶方阵，则称A是可分的（或可约的）；否则称A是不可分的(或不可约的).定义53若A是不可约非负矩阵（或不可约M-矩阵)，则存在正向量u，使得Au=(A)u（或Au=q(A)u)，其中u称为A的右Perron特征向量2主要结果下面给出相关引理。引理 16 设A=(j）E R Xn 为非负不可约.164矩阵,并且有 n 维正向量x,使得 Axx对某一ER成立,则(A).引理2 7 设A=(a;）E R 为非负矩阵,则A不可约的充要条件是（A)为A的单重特征值，且A与AT相应于(A)的特征向量皆正.引理 37(Gerschgorin圆盘定理）设 A=（a
7、 i;）ECix，则A 的所有特征值包含在如下n 个圆盘的并之中：U(:lz-aallalxEc)j=1,ji引理 47(Holder不等式）设y=(yi,y,)TER,z=(z1,zn)TER为非负向量,0 1,则2yi2(2.)(2)2i=1引理 59 设A=(a;）E R x 为非奇异M-矩阵,则q(A)ai,iEN.下面给出本文关于非奇异M-矩阵及非奇异M-矩阵最小特征值的相关性质.定理1设A=（a i）E R x 为非奇异M-矩阵，n维非负非零向量x满足Axx对某一ER成立,则q(A)p(B),B=sI-A0,p(B)=s一q(A),令 0,构造矩阵B(e)=(b;+e)nxn，则B
8、(e)0,BT(e)0,故BT(e)有正向量y(e),使得BT(e)y(e)=p(BT(e)y(e)注意到p(BT(e)=p(B(e)，则有yT(e)B(e)=p(B(e)yT(e)又由AxBx-(s-)x0所以B(e)x-(s-)x0上式两边同时左乘T（e），再结合式(1)得yT(e)(B(e)x-(s一)x)=Lo(B(e)-(s-)JyT(e)x0注意到yT（e)x 0，可知对任意e0有p(B(e)-(s-)0进一步得lim L(B(e)一(s一)=p(B)一(s一)0一另一方面,p(B)=s-q(A)，因此q(A),推论1设A=（a;）E R X 为非奇异M-矩阵，n维非负非零向量x满
9、足Axx对某一ER成立,则q(A).兰州理工大学学报定理2 设A=（a i)E R x 为非奇异M-矩阵，n维非负非零向量x满足xAxx对某，ER成立,则q(A)p(B),B=sI-A0,由A不可约可知B也不可约，根据引理2 得q(A)=s一p(B)为A的单重特征值，且B与BT相应于(B)的特征向量皆正，由A与B的关系可知A与AT相应于q(A)的特征向量也皆正.定理4设A=（i;）E R Xn 为不可约非奇异M-矩阵，则A不能有两个线性无关的非负特征向i-1量。证明因为A是不可约的M-矩阵，故设x=(1,2,n)T0 是A对应于q(A)的特征向量，此外假设y=（y 1,y 2,y,）0 且y0
10、是A对应于的特征向量，且x与y线性无关.由定理3知，q(A)为A的单重特征值，故q（A).进一步记z=(21,22,)T 为AT相应于q(AT)=q(A)的正特征向量,于是有q(A)(y,z)=(y,q(A)z)=(y,ATz)=zTAy=(Ay,z)=(y,z)=(y,z)注意到q（A），故必有（y，z）=0，这与y0,z0且0 时(y,z)0矛盾，这就证明了是不存在的,故A不能有两个线性无关的非负特征向量.(1)注1当A为可约非奇异M-矩阵时定理4未必成立。例如，考虑如下的可约M-矩阵200A=0201非负向量x=（1,0,0)T 及y=(0,1,0)T均为特征值2 的特征向量，并且x和y
11、线性无关.定理5设A=（a i）E R X 为非奇异M-矩阵，向量v=(1,Un)T0,01.记P,(A)=j=1.jiQ;(A)=j=1,j+i则q(A)min(ai-P(A)Q;a(A)证明当=0和=1时，由Gerschgorin圆盘定理易得结论成立故设0 0,所第49卷alui第5期以V可逆.记A-V-AV=(a,)=aj0i显然A为非奇异M-矩阵且q(A)=q(A).令q(A)=入，则入对应的特征向量x=（i,c,)T0 且x0.根据Ax=入x得I(-at),l=71atUkk=1,k羊tl由引理5知入0,t E N,利用Holderk=1,k+t不等式(au-a)3,2k=1,kta
12、tkk=1,k+tatk-1.ktaik=1,k丰tnP(A)=1,ktatkUk考虑到P,(A)=0,tEN,上式等k=1,kt价于at一入P(A)所以au一入(P(A)式(2)两边同时对t求和得tatk文kt=1k=1,kt假设对满足,0的所有t都有钟琴：非奇异M-矩阵的性质(aiii=iatUkk=1,kttENtENa快UkakatkUkXkatkUkatkk-1,k丰tatktk=1,ktZQ:(A)kk=1(3)165.at工一入1一(P(A)则与式(3)矛盾.因此，至少有一满足,0 的t使得at(P(A)也即at-入0.记=(-Ri(A),一R(A),一R,(A)T，利用定理5即
13、可得结论成立。例1考虑非奇异M-矩阵A=（a;）=(2)3一1一13-1)，其中q(A)0.38 2 0.由文献一108中q(A)minai可得q(A)0.记A-1=(;),利用文献8 中q(A)可得3maxC派K=1Q,(A)Q,(A)I(a R,(A)aia-R,(A)a-R,(A)13k=1(4)iEN1.166q(A)0.3333.根据文献7 ：4(a(2a)3k=1.k半i可得q(A)0.2679,利用本文推论2 可得q(A)0.333 3(=1),例2考虑非奇异M-矩阵B=（b;）=4一1一1，其中q(B)0.58 58.由文献110-1一148中q(B)minbi 可得q(B)0
14、.记B-1=k=1可得(;)，利用文献8 中q(B)3maxk-1q(B)0.5000.根据文献7 q(B)min2(bi+bii-(bi-bi,)+34(2b(2b）)3k-1,k+ik-1,k丰j可得q(B)0.4384,利用本文推论2 可得q(B)0.500 0(=1).和文献8 的估计结果相比，虽然非奇异M-矩阵最小特征值的下界没有得到改进，但是从计算量上看，文献8 的估计式需要计算非奇异M-矩阵的逆矩阵，计算量较大，本文推论2 的结果只需根据非奇异M-矩阵自身的元素即可计算出最小特征值的下界。3结论本文利用非负矩阵与M-矩阵的关系，给出了M-矩阵的特征向量和最小特征值以及非奇异M-矩
15、阵的相关性质，并且结合Gerschgorin圆盘定理和Holder不等式给出了非奇异M-矩阵最小特征值的兰州理工大学学报下界估计式。1致谢：本文得到四川大学锦江学院教改项目应用型大学线性代数课程教学设计的研究与实践（2 0 2 3JG 0 13)的资助，在此表示感谢。k=1,k牛j参考文献：1 PLEMMONS R J.M-matrix characterizations I-nonsingularM-matrices JJ.Linear Algebra and its Applications,1977,18(2):175-188.2BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnega
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