1、物流科技 2023 年第 21 期 11 月上收稿日期：2023-02-27基金项目：国家自然科学基金资助项目（52178430）作者简介：刘泽昊（1997），男，江西吉安人，上海工程技术大学城市轨道交通学院硕士研究生，研究方向：交通运输；金辉（1991），女，山东泰安人，苏州大学轨道交通学院，讲师，博士，研究方向：交通规划研究与交通行为的数据分析。引文格式：刘泽昊，金辉，李再帏,等.分维标度选择与城市轨道交通网分形特征J.物流科技，2023,46(21):60-64.誗交通运输誗文章编号：1002-3100 渊2023冤 21-0060-05物流科技 2023 年第 21 期 11 月上Lo
2、gistics Sci-Tech November,2023（the first half）摘要：为综合评价轨道网与客流分布的发展情况，针对城市轨道交通设施与客流分布及其协调关系的非线性特征，基于不同的环带宽度，采用回转半径法，分析轨道交通站点分维、线路长度与其分枝分维和进/出站客流与其分枝分维。为比选最佳的环带宽度，采用波谱分析法，计算自仿射记录维数。以苏州市轨道交通为例，发现中心车站 8km 外的设施与客流分布密度显著低于中心区域。采用波谱分析方法逐一求解不同环带宽度下的自仿射记录维数，发现其在 1km 环带宽度的轨道交通网络结构各向异性程度最小，故推荐采用 1km 环带宽度作为城市轨道交
3、通分形的量测基准。研究成果可为轨道交通的建设与运营提供阶段性和针对性的理论指导。关键词：轨道交通；分形特征；环带宽度；客流分布；自仿射分形中图分类号：F570文献标志码：ADOI：10.13714/ki.1002-3100.2023.21.017Abstract:In order to comprehensively evaluate the development of rail network and passenger flow distribution,in view of thenonlinear characteristics of urban rail transit facil
4、ities and passenger flow distribution and their coordination relationship,based ondifferent ring widths,the radius of gyration method is adopted to analyze the fractal dimension of rail transit stations,line lengthand its branch dimension,and inbound/outbound passenger flow and its branch dimension.
5、In order to select the best bandwidth,the spectral analysis method is used to calculate the self-affine recording dimension.Taking Suzhou rail transit as an ex原ample,it is found that the distribution density of facilities and passenger flow 8 km away from the central station is significantlylower th
6、an that in the central area.The self-affine recording dimensions under different ring widths are solved one by one byusing the spectral analysis method.It is found that the degree of anisotropy of the rail transit network structure with 1 km ringwidth is the smallest.Therefore,it is recommended to u
7、se 1 km ring width as the measurement benchmark of urban rail transitfractal.The research results can provide phased and targeted theoretical guidance for the construction and operation of rail tran原sit.Key words:rail transit;fractal characteristics;band width;passenger flow distribution;self-affine
8、 fractal轨道交通是城市客运的走廊。自 1863 年在伦敦建成第一条线以来，城市轨道已在数百个城市快速发展，从而应对大规模的出行需求1。随着城市轨道网逐渐成熟，如何客观评价轨道网的合理性、定位其发展水平，并制定轨道网的优化与发展策略，是城市轨道交通系统建设与完善的关键环节2。总结轨道交通的分形研究，发现较少全面涉及轨道交通的多种分维属性及一致性，并且未分析不同环带宽度对各属性分维的影响，亦未确立最佳的环带宽度及其选择标准。为此，本研究基于回转半径法，采用不同的环带宽度，全面分析城市轨道交通的设施与客流分形特征，并探究设施与客流相关分形维数之间的一致性。针对以往研究未深入讨论城市轨道交通环
9、带宽度设定原则的问题，并基于波谱分析法，对比不同环带宽度下城市轨道交通各向异性和自仿射水平。以苏州轨道交通为例，讨论其在不同环带宽度下的设施与客流分形特征及其一致性，并梳理其上述特征与已有文献的相似与差异，基于各向异性水平，确立分维分析的推荐环带宽度，为处于不同发展阶段的轨道交通建设与运营提供理论指导。分维标度选择与城市轨道交通网分形特征Fractal Dimension Scale Selection and Fractal Characteristics of Urban Rail Transit Network刘泽昊1，金辉2，李再帏1，何越磊1LIU Zehao1,JIN Hui2,L
10、I Zaiwei1,HE Yuelei1（1.上海工程技术大学 城市轨道交通学院，上海 201600；2.苏州大学 轨道交通学院，江苏 苏州 215100）（1.School of Urban Rail Transit,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201600,China;2.School of Rail Transit,Soochow University,Suzhou 215100,China）60物流科技 2023 年第 21 期 11 月上分维标度选择与城市轨道交通网分形特征1轨道交通线网与客流分形特征为研究轨
11、道交通线网与客流的变化趋势，需首先明确分形方法的测度范围与测算中心。本研究以轨道交通网中单个站点到其他站点的距离总和为依据，选取与其他站点距离之和最小的轨道站点，作为测算中心。考虑轨道交通网络与站点的凝聚特征3，采用回转半径法求解分形维数。参考轨道站点在中心城区的服务范围，设计不同的分析半径，如 0.5km 和 1km 等4。由此共获得到以下数量的环带：k=R/r 骎（1）其中：r 是回转半径，R 是轨道交通分布范围的半径，k 是环带数量，R/k 骎对 R/k 向上取整。1.1分维特征站点分维 DS与线路长度分维 DL的计算公式为：Si=S0 riDS（2）Li=L0 riDL（3）其中：ri
12、是第 i 个环带的外围半径，Si是半径 ri内站点数，Li是半径 ri内的路线长度，S0和 L0是常数系数。对式（2）和式（3）两边取对数得到：lnSi=DSlnri+lnS0（4）lnLi=DLlnri+lnL0（5）对数据点 lnri,lnSi蓸蔀和 lnri,lnLi蓸蔀进行最小二乘线性回归，得到的斜率即对应范围内站点与线路长度分维 DS和 DL。分枝分维是分形维数中的另一种测度，可描述轨道交通网络的连通性及其复杂性。线路分枝分维的计算公式为：Ni=N0 riDN（6）其中：Ni是半径 ri内线路分枝数，N0是常数系数。对式（6）两边取对数得：lnNi=DNlnri+lnN0（7）对数据
13、点 lnri,lnNi蓸蔀进行最小二乘线性回归，得到的斜率即为相应范围内的线路分枝分维 DN。进出站客流分维 DSin、DSout的计算公式为：Siin=S0in riDSin（8）Siout=S0out riDSout（9）其中：Siin和 Siout分别是 ri内的进站与出站客流量，S0in与 S0out是常数系数。对式（8）和式（9）两边取对数得：lnSiin=DSinlnri+lnS0in（10）lnSiout=DSoutlnri+lnS0out（11）对数据点lnri,lnSiin蓸蔀、lnri,lnSiout蓸蔀进行最小二乘线性回归，得到其斜率即为对应范围的进出站客流分维 DSin
14、和 DSout。客流分枝分维 DF的计算公式为：Fi=F0 riDF（12）其中：Fi是半径 ri内总截面客流，F0是常数系数。Fi的计算方法为：Fi=移m=1ifm=移m=1i移n=1Snfln（13）其中：fm是第 m 个环带内的总截面客流，Sn是第 m 个环带内的轨道交通网络总分枝数，fln是第 n 个分枝的截面客流。对式（12）两边取对数得：lnFi=DFlnri+lnF0（14）对数据点 lnri,lnFi蓸蔀进行最小二乘线性回归，得到其斜率即为对应范围的客流分枝分维 DF。1.2自仿射分形若城市轨道交通在不同环带宽度下，分维结果不同，即城市轨道交通存在各向异性，则说明其具有自仿射分
15、形特征5。图1（a）示意了水平方向的分形生长速率快于垂直方向的自仿射分形特征；图 1（b）则表明轨道交通站点数径向增长速率不一致导致不同环带宽度的分维不同。可采用波谱分析法，分析轨道交通网络的自仿射特性6-7。自仿射记录维数的计算公式为：DA=52-琢（15）61物流科技 2023 年第 21 期 11 月上其中：琢 为波谱标度指数，计算公式为：F*k蓸蔀=F1*k-琢（16）其中：F*k蓸蔀是波谱密度等价的化简重定义，F1*是常数系数，k 为波数。F*k蓸蔀的计算方法为：F*k蓸蔀=F k蓸蔀2Z蓸蔀12（17）其中：F k蓸蔀是波谱密度；Z是数据长度，与圆环个数相等。F k蓸蔀的计算方法为
16、：籽 r蓸蔀FFTF k蓸蔀（18）其中：FFT 为快速傅里叶变换，籽 r蓸蔀是环带 r 的平均空间要素密度，计算方法为：籽 r蓸蔀=驻M ri蓸 蔀驻A ri蓸 蔀=M ri蓸 蔀-M ri-1蓸蔀仔ri2-仔ri-12（19）其中：驻M ri蓸 蔀是第 i 个环带的交通总空间要素和，驻A ri蓸 蔀为第 i 个环带的面积。M ri蓸 蔀是 i 个环带的交通空间要素和。根据 FFT，式（17）中的数据长度 Z 为 2 的整数次幂（若不满足可在数据开头或末尾删除数据，也可在数据末尾补零），即：Z=2n+1坌n=0,1,2（20）并且波数 k 的计算方法为：k=jZ坌j=0,1,2,Z-1（21
17、）对式（16）两边取对数得：lnF*k蓸蔀=-琢lnk+lnF1*（22）根据式（22），对数据点lnk,lnF*k蓸蔀蓸蔀进行最小二乘线性回归，得到其斜率即为波谱标度指数 琢，而根据式（15），求得自仿射记录维数 DA。2实例研究本节以苏州轨道交通为实证对象。基于中心点法，将南门站作为测算中心，则其服务范围的半径 R=19km。采用 0.5km、1km 和 2km 的环带宽度，根据式（1），分别将苏州轨道交通网划分为 38 个、19 个和 10 个环带。采用 GIS 分析平台，绘制圆环如图 2 所示。考虑到 2020 年 1 月以来新冠疫情对轨道客流的影响，基于 2019 年 12 月 31
18、 日（周二）苏州轨道交通客流的分布数据，展开客流分形特征的讨论。xy（a）自仿射分形特征xy环带宽度 a环带宽度 bDa=2.00站点分维 aDb=1.52站点分维b（b）不同环带宽度下分维不同图 1各向异性的自仿射分形（a）0.5km 环带宽度（b）1km 环带宽度（c）2km 环带宽度图 2苏州轨道交通环带宽度分维标度选择与城市轨道交通网分形特征62物流科技 2023 年第 21 期 11 月上2.1分维特征分析站点分维对应的双对数点如图 3（a）所示：数据点呈线性分布，并在 lnri=2.08（即距离中心站点 8km）处斜率显著降低。即苏州轨道交通的站点具备分形和分形异化的特征。比较分形
19、异化前后的分维，发现无论环带宽度为 0.5km、1km 或 2km，中心站 8km 范围内的站点分维均接近 1.60；而外围的站点分维则仅接近 0.7。线路长度的分维特征与站点分维相似，如图 3（b）所示，在市中心 8km 范围内，不同环带宽度的线路长度分维分别为 1.77、1.90 和 1.84，而外围区域仅接近 0.68。-10123456-1.5-1.0-0.500.51.01.52.02.53.03.5lnrir=0.5kmr=1kmr=2kmri=8kmri臆8km:y=1.61x+0.94,R2=0.98y=1.56x+1.04,R2=0.99y=1.65x+0.84,R2=1.0
20、0ri8km:y=0.73x+2.76,R2=0.98y=0.71x+2.80,R2=0.98y=0.64x+2.96,R2=0.96（a）站点分维-10123456-1.0-0.500.51.01.52.02.53.03.5lnrir=0.5kmr=1kmr=2kmri=8kmri臆8km:y=1.77x+0.82,R2=0.98y=1.84x+0.72,R2=0.99y=1.90 x+0.59,R2=0.99ri8km:y=0.71x+3.01,R2=0.97y=0.61x+3.26 R2=0.95y=0.69x+3.06,R2=0.97（b）线路长度分维图 3苏州轨道交通部分特征分维图
21、4 总结了苏州轨道交通不同范围、不同环带宽度下的站点与线路和客流分维水平。如图 4所示，环带宽度为 0.5km、1km和 2km 时，在市中心 8km 范围内，线路分枝分维分别是 1.52、1.34 和 1.49；而外围的线路分枝分维则退化至零，即不具备分维特性。对于客流分枝分维，发现其在中心站 8km 范围内，环带宽度分别 0.5km、1km 和 2km 时，客流分枝分维分别为 1.25、1.10和 1.22，而外围的客流分枝分维则均退化为零。从图 4 中可以看出，无论环带宽度是多少，苏州轨道交通的站点数、线路长度和进站与出站客流均表现出明显的分形和分形异化特征。说明苏州轨道交通存在一定的自
22、相似性，而且外围区域相较于中心区域，设施与客流的分布密度显著降低。此外，参照文献中提出的最佳分维值 1.708，发现苏州轨道交通除了中心城区 8km 范围内的线路长度外，其他分维均显著低于最佳值。说明苏州轨道交通尚存在较大的完善空间，特别是线路长度分枝分维和客流分枝分维远远低于理想值，更在外围区域完全退化为零，说明其网络连通性亟待强化。2.2自仿射分形结果与分维半径选择图 5 是不同环带宽度下，线路长度、站点分布密度的波谱标度双对数图，基本呈线性分布，其他属性指数如图 6 所示。由此推算了在不同环带宽度下，上述属性的自仿射记录维数。环带宽度为 0.5km、1km 和 2km 时，站点密度自仿射
23、记录维数 DA为 2.03、1.68 和 1.76，线路长度的 DA为 1.77、1.66 和 1.99，进站客流 DA为 1.96、1.52 和 1.88，出站客流 DA为 2.13、1.52 和1.88。从图 6 中可以看出，各属性的自仿射记录维数在 1km 环带宽度下最小，即轨道交通网络结构的各向异性程度最小，最接近自相似分形。因此，推荐采取 1km 环带宽度作为城市轨道交通分形的量测基准，从而规避轨道交通各向异性的影响，在轨道交通较高的自相似性下研究其分布特征。实际上，现有文献中最常用的环带宽度即为 1km，但也存在其他环带宽度。上述方法与结论可为科学选择环带宽度提供理论依据。大部分城
24、市均选取 1km 环带宽度分析轨道交通的分形特征。例如，巴黎轨道交通采用 1km 的环带宽度，发现线路长度分维始终为 1.47，但站点分维在 6km 范围处从 2.00 异化至 0.479。但也有部分研究采用其他环带宽度。例如，北京将第一个环带宽度设定为 2km、其他环带宽度为 3km，发现市中心 14km 范围内的线路长度、站点数、线路分枝、进站客流、出站客流线路长度分维站点分维出站客流分维进站客流分维客流分枝分维线路分枝分维ri臆8km,r=0.5kmri臆8km,r=1kmri臆8km,r=2kmri8km,r=0.5kmri8km,r=1kmri8km,r=2km1.611.561.6
25、50.730.710.641.771.841.900.710.690.611.681.551.400.450.460.391.681.561.410.440.450.381.521.341.490.000.000.001.251.101.220.000.000.001.702.01.81.61.41.21.00.80.60.40.20图 4苏州轨道交通不同范围、不同环带宽度的分维水平分维标度选择与城市轨道交通网分形特征63物流科技 2023 年第 21 期 11 月上和客流分枝的分维各为 1.60、1.46、1.44、1.39、1.37 和 1.2010。3结论与展望（1）基于轨道交通的站点、
26、线路与客流分维，分析不同环带宽度下，城市轨道交通的线网特征。以苏州轨道交通为例，从多个角度验证其具有分形特征，各项分维属性表明其网络结构尚存在较大的完善空间。线路长度分枝分维和客流分枝分维远远低于理想值，更在外围区域完全退化为零，说明其网络连通性亟待强化。（2）采用波谱分析方法研究城市轨道交通网络在不同环带宽度下的各向异性水平。研究发现苏州轨道交通各属性的自仿射记录维数在 1km 环带宽度下最小。推荐采取 1km 环带宽度作为城市轨道交通分形的量测基准，可规避轨道交通各向异性的影响，在轨道交通网络较高的自相似性下研究其分布特征。（3）随着城市轨道建设的推进，其站点与线路分维将逐渐提高，并引发客
27、流的变化。研究计划将考虑轨道交通客流时空不确定的特点，探究轨道交通建设过程中客流分维的短时与长期变化特征，为进一步解析与优化轨道交通的利用效率与服务能力奠定基础。参考文献：1王洋.我国城市轨道交通发展规模影响因素的实证分析D.北京：北京交通大学，2008.2MANDL C E.Evaluation and optimization of urban public transportation networksJ.European Journal of Operational Re原search,1980,5(6):396-404.3张晓勇，王仲君.基于分形几何的半径维数加权模型研究及应用J.武
28、汉理工大学学报（信息与管理工程版），2014,36(6):768-772.4BAUM-SNOW N,KAHN M E.The effects of new public projects to expand urban rail transitJ.Journal of Public Eco原nomics,2000,77(2):241-263.5陈彦光.城市地理研究中的单分形、多分形和自仿射分形J.地理科学进展，2019,38(1):38-49.6CHEN Y,LONG Y.Spatial signal analysis based on wave-spectral fractal scalin
29、g:A case of urban street networksJ.Ap原plied Sciences,2020,11(1):87.7CHEN Y.Exploring the fractal parameters of urban growth and form with wave-spectrum analysisJ.Discrete Dynamics inNature and Society,2010,2010:974917.8刘妙龙，黄蓓佩.上海大都市交通网络分形的时空特征演变研究J.地理科学，2004,24(2):144-149.9BENGUIGUI L,DAOUD M.Is the
30、 suburban railway system a fractal?J.Geographical Analysis,1991,23(4):362-368.10LI X,CHEN P,CHEN F,et al.Passenger flow analysis of Beijing urban rail transit network using fractal approachJ.Modern Physics Letters B,2018,32(10):1850001.图 5轨道交通线网的波谱标度指数（双对数图）-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.500.5lnkr=0
31、.5kmr=1kmr=2km（a）站点分布-0.5-1.0-1.5-2.0-2.5-3.0-3.5y=-0.47x-2.60,R2=0.44y=-0.82x-3.74,R2=0.77y=-0.74x-2.72,R2=0.98-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50lnkr=0.5kmr=1kmr=2km（b）线路长度-0.5-1.0-1.5-2.0-2.5-3.0-3.5y=-0.73x-3.56,R2=0.65y=-0.84x-3.48,R2=0.92y=-0.51x-3.03,R2=0.96-4.00图 6轨道交通线网的自仿射记录维数r=0.5kmr=1kmr=2km线路长度站点出站客流进站客流2.52.01.51.00.502.031.681.761.771.661.991.961.521.882.131.521.88分维标度选择与城市轨道交通网分形特征64
