1、Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(10),2803-2814 Published Online October 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.1310288 文章引用文章引用:李然,连铁艳,党筱楠.分形集上调和(p,s)-凸函数的 Jensen 和 Jensen-Mercer 不等式及其应用J.理论数学,2023,13(10):2803-2814.DOI:10.12677/pm.2023.1310288 分形集上调和分形集上调和(p,
2、s)-凸函数的凸函数的Jensen和和Jensen-Mercer不等式及其应用不等式及其应用 李李 然，连铁艳，党筱楠然，连铁艳，党筱楠 陕西科技大学数学与数据科学学院，陕西 西安 收稿日期：2023年9月3日；录用日期：2023年10月3日；发布日期：2023年10月11日 摘摘 要要 首次提出分形集上调和首次提出分形集上调和(p,s)-凸函数的定义，建立了该函数的广义凸函数的定义，建立了该函数的广义Jensen不等式和广义不等式和广义Jensen-Mercer不等式。引入局部分数阶积分，利用构建的不等式。引入局部分数阶积分，利用构建的Jensen不等式和不等式和Jensen-Mercer不
3、等式，得到了广义调和不等式，得到了广义调和(p,s)-凸函数的凸函数的Hermite-Hadamard不等式。最后，讨论了部分结果在概率中的一些应用不等式。最后，讨论了部分结果在概率中的一些应用。关键词关键词 广义调和广义调和(p,s)-凸函数凸函数，Jensen-Mercer不等式不等式，Hermite-Hadamard不等式不等式 Jensen and Jensen-Mercer Inequalities for Harmonic(p,s)-Convex Functions on Fractal Sets and Their Applications Ran Li,Tieyan Lian,
4、Xiaonan Dang School of Mathematics and Data Science,Shaanxi University of Science and Technology,Xian Shaanxi Received:Sep.3rd,2023;accepted:Oct.3rd,2023;published:Oct.11th,2023 Abstract For the first time,the definition of harmonic(p,s)-convex functions on fractal sets is proposed.The generalized J
5、ensen inequality and the generalized Jensen-Mercer inequality for the functions are established.By introducing local fractional order integrals and the constructed Jensen and Jensen-Mercer inequalities,the Hermite-Hadamard inequality for generalized harmonic(p,s)-convex functions is derived.Finally,
6、applications of some results in probability are discussed.李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2804 理论数学 Keywords Generalized Harmonic(p,s)-Convex Function,Jensen-Mercer Inequality,Hermite-Hadamard Inequality Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Co
7、mmons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 众所周知，在纯数学和应用数学的不同领域中，函数的凸性得到了广泛的应用。但实际中，很多问题并不满足凸性条件，故对凸函数概念的推广，具有重要的实际和理论意义。İcan 1研究了一类新的广义凸函数，称为调和凸函数。之后，İcan 进一步推广了调和凸函数的概念，提出了调和 s-凸函数2。在3中，Baloch 和 İcan 又引入了调和 p-凸函数和调和(p,s)-凸函数的概念。定义定义 1 3令 0I ，
8、:fI 。如果对于任意,x yI，0,1t，满足()()()()111sspppxyft f xtfyt xty+(1)则称 f 为区间 I 上的调和(p,s)-凸函数，其中 0p，(0,1s。自函数凸性被推广以来，引入由凸函数延伸出来的函数类并对其相关的各种不等式研究越来越受到关注，得到了许多有意义的结果，可参考文献4 5 6 7。Jensen 不等式就是最著名的结果之一，它在不等式理论中起着至关重要的作用，在数学、统计学和信息论中得到了广泛的应用。定理定理 1 8 Jensen 不等式不等式 若 f 在区间 I 上是凸函数，则对于任意ixI，满足()11nniiiiiifw xw f x=
9、(2)其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。2003 年，Mercer 9给出 Jensen 不等式的推广形式。定理定理 2 9 Jensen-Mercer 不等式不等式 若 f 在区间,a bI上是凸函数，则对于任意,ixa b，满足()()()11nniiiiiifabw xf af bw f x=+(3)其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。为了处理处处连续但不可微的函数，Yang 系统地阐述了分形集理论(详见10 11)，并引入了局部分数微积分的定义。随着分形理论的不断完善和发展，许多学者又将函数凸性推广到了分形空间。2014 年，Mo等人12在分形空间上定义了
10、广义凸函数。Butt 等人13在分形空间中，建立了广义凸函数的 Jensen-Mercer不等式。2017 年，Sun 14给出了广义调和凸函数的定义并且研究了该函数的 Hermite-Hadamard 型积分不等式。另外，有关广义调和凸函数的 Jensen 不等式和 Jensen-Mercer 不等式被 Butt 等人15证得。Open AccessOpen Access李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2805 理论数学 本文的主要目的是在分形空间中给出广义调和(p,s)-凸函数的定义，在更弱的函数条件下建立相关Jensen 不等式和 Jensen-Mer
11、cer 不等式。此外，通过对 Jensen-Mercer 型不等式的改进，利用分数阶积分在分形空间上建立广义调和(p,s)-凸函数的 Hermite-Hadamard 型积分不等式。2.预备知识预备知识 设()01是维数为的分形集，参考文献10 11，则下面运算律成立：若,abc，则 1)ab+，a b；2)()()abbaabba+=+=+=+，()()a bb aabba=；3)()()abcabc+=+，()()ab ca bc=；4)()abca ba c+=+；5)00aaa+=+=，11aa=。利用 Yang 的方法可定义局部分数阶导数和局部分数阶积分，参见文献9 10。记()()
12、,f xCa b表示()f x在区间,a b上局部分数阶连续；(),f xDa b表示()f x在区间,a b上阶局部分数阶可导；()()abIf x表示()f x在区间,a b上阶局部分数阶积分。这里，需要注意()()0aaIf x=，并且当ab且111pq+=，则()()()()()()()()()()11111ddd111pqbbbpqaaaf x g xxf xxg xx +。定义定义 2 14令 0I ，:fI。如果对任意,x yI，0,1t，函数 f 满足()()()()11xyft fytf xtxt y+，则称 f 为 I 上的广义调和凸函数。定理定理 3 15广义调和凸函数的
13、广义调和凸函数的 Jensen不等式不等式 若 f 为,a b上的广义调和凸函数，则对任意,ixa b，满足 李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2806 理论数学 ()111nniiiiiiwfw f xx=(4)其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。定理定理 4 15广义调和凸函数的广义调和凸函数的 Jensen-Mercer 不等式不等式 若 f 为,a b上的广义调和凸函数，则对任意,ixa b，满足()()()11111nniiiiiiwff af bw f xabx=+(5)其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。3.主要结论主
14、要结论 利用分形集理论，首先给出广义调和(p,s)-凸函数的定义。定义定义 3 令 0I ，:fI。如果对任意,x yI，0,1t，函数 f 满足()()()111pssppttftf xtfyxy+(6)则称 f 为 I 上的广义调和(p,s)-凸函数，其中 0p，(0,1s。注注 1 在式(6)中，当1ps=时，f 则为广义凸函数；当1ps=时，f 则为凸函数；当1ps=时，f 则为广义调和凸函数；当1ps=时，f 则为调和凸函数；当1s=时，f 则为调和 p-凸函数；当1=时，f 则为调和(p,s)-凸函数。特别地，当1s=时，则可定义 f 为广义调和 p-凸函数。定理定理 5 广义调和
15、广义调和(p,s)-凸函数的凸函数的 Jensen 不等式不等式 令 0I ，:fI。如果 f 为 I 上的广义调和(p,s)-凸函数，则对任意ixI，满足()111nnpsiiipiiiwfwf xx=(7)其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。证明证明 采用数学归纳法进行证明。当2n=时，由定义 3，不等式显然成立。假设当nk=时不等式也是成立的，即当12,kx xxI，0iw，1,2,ik=，11kiiw=，有()111kkpsiiipiiiwfwf xx=。设121,kkx xxxI+，0ir，1,2,1ik k=+，111kiir+=，取11iikrwr+=，则对所有的1
16、,2,ik=，iw满足11kiiw=。李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2807 理论数学 因此()()()()11211121111+11121211111211211111pkpppkpikkkppikikpkpppsskkkkkskprrrrxxxrffrrxxrrrxxxrfrf xrwwrfxx+=+=+=+()111pskkkppkwrf xx+()()()()()()()()()()()11122111211211111+1111111ssssskkkkkssssskkkkkkkkksiiirwf xwf xwf xrf xrrrrf xf xf
17、 xrf xrrrrf x+=+=+=证毕。注注 2 利用定理 5 和注 1，若取1ps=，可得到文献12中的定理 4.1；若取1ps=，可得到文献15中的定理 5；若取1ps=，可得到定理 1。推论推论 1 广义调和广义调和 p-凸函数的凸函数的 Jensen 不等式不等式 假设定理 5 中的条件成立，取1s=，f 为 I 上的广义调和 p-凸函数，则对任意ixI，满足()111nnpiiipiiiwfw f xx=(8)其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。定理定理 6 令 0I ，:,fa bI。如果 f 为 I 上的广义调和(p,s)-凸函数，则对任意,xa b，满足()(
18、)()()11111psspppfttf af bf xabx+，其中0,1t。证明证明 取111pppttxab=+，0,1t，则 李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2808 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()1111111111ppsspppppssssssttfftf atf babxabttf af btf btf attf af bf x+=+=+注注 3 利用定理 6 和注 1，若取1ps=，可得到文献16中的引理 3.1；若取1ps=，可得到文献15中的引理 3。推论推论 2 假设定理 6 中的条件成立，取1s=，f
19、为 I 上的广义调和 p-凸函数，则对任意,xa b，有()()()1111ppppff af bf xabx+(9)定理定理 7 广义调和广义调和(p,s)-凸函数凸函数 Jensen-Mercer 不等式不等式 令 0I ，:,fa bI。如果 f 为 I上的广义调和(p,s)-凸函数，则对任意,ixa b，满足()()()()()1111111nnnpssssiiiipppiiiiwfwttf af bwf xabx=+，其中()0,11,2,iwin=且11niiw=。证明证明 由定理 5、定理 6 以及 f 在,a b上的广义调和(p,s)-凸性，有()()()()()()()()(
20、)()()()11111111111111nnppsiippppppiiiinsssiiinnssssiiiiiwfwfabxabxwttf af bf xwttf af bwf x=+=+注注 4 利用定理 7 和注 1，若取1ps=，可得到文献16中的定理 3.1；若取1ps=，可得到定理3；若取1ps=，可得到定理 2。推论推论 3 广义调和广义调和 p-凸函数凸函数 Jensen-Mercer 不等式不等式 假设定理 7 中的条件成立，取1s=，f 为 I 上的广义调和 p-凸函数，则对任意,ixa b，满足()()()11111nnpiiipppiiiwff af bw f xabx
21、=+(10)为建立涉及局部分数阶微积分的Hermite-Hadamard型不等式，需对广义Jensen-Mercer不等式进行变形与细化。定理定理 8 令 0I ，:,fa bI。如果 f 为I 上的广义调和(p,s)-凸函数，则对任意,iaa b，满足 李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2809 理论数学 ()()()()()()()11111111111111pnpsipppppppiinnnsssssssiiiiiiittfwfabaabaawttwttf af bwf a=+(11)其中0,1iw 且11niiw=，111nippiiwaa=。证明证明
22、 利用定理 5 并结合111nippiiwaa=，有 11111111111111pnpipppppppiipnsippppiittffwabaabaattwfabaa=+=+(12)另一方面，由广义调和(p,s)-凸函数的定义、定理 6 以及定理 7，有()()111111111111111111111111pnsippppiipnsippppppiinppsssippppppiittwfabaawfttabaabawtftfabaaba=+=+()()()()()()11111nnnsssssssiiiiiiiwttwttf af bwf a=+(13)由式(12)和(13)，可得到式(1
23、1)成立。注注 5 在定理 8 中，若取1ps=，可得到文献17中的定理 2.3；若取1ps=，可得到文献18中的定理 2.1；若取1ps=，可得到文献15中的定理 7。推论推论 4 假设定理 8 中的条件成立，取1s=，f 为 I 上的广义调和 p-凸函数，则对任意,iaa b，满足()()()1111111111pnnpiiipppppppiiittfw ff af bw f aabaabaa=+，其中0,1iw 且11niiw=，111nippiiwaa=。定理定理 9 假设定理 8 中的条件成立且()(),xf xIa b，则有关于广义调和(p,s)-凸函数的 Hermite-Hada
24、mard 型不等式 李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2810 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()111111111111111111112111B1,112111ppppppppisnpippppiabappabainnssiiiiwpf xfIabaxaaswwssssf af b+=+=+()()()111nsiiiwf as=+(14)其中()B,x y为分型空间中的 Beta 函数19，即()()()()()()11101B,1d1yxx yttt=+，0 x，0y。证明证明 式(11)的每一项对 t 在0,1上进
25、行局部分数阶积分，可得式(14)。事实上，利用引理 2，有()()()()()()()()()()()()1011122011110111111111d111d1111d1nnssssssiiiinnnsssssiiiiiinnnsssssssiiiiiinnnsssiiiiiiwttwtttwwtw ttwwttwtttwww=+=+=+()()()()12B1,1121ssss+和()()()()()()()()11001111dd1111ssstttts+=+。利用变量代换()11111111pppppppiuttabaaba=+，有()()()()()()()()11101101111
26、1111111d111111111d11111pppipppppppppipppppppiabapabappittftabaaftttabaabaf upuaa+=+=+()()()()1111111111d11pppppppppipabappabaiuf xpIxaa+=李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2811 理论数学 推论推论 5 在定理 9 中，取1s=，则有关于广义调和 p-凸函数的 Hermite-Hadamard 型不等式()()()()()()()()()11111111111211111112112ppppppppinpippppiabap
27、pabainiiiwpf xfIabaxaaf af bw f a+=+=+(15)注注 6 在推论 9 中，若取1p=，可得到文献17中的推论 2.4；若取1p=，可得到文献18中的推论 2.1。推论推论 6 20 在定理 9 中，取1ps=，1212ww=，1aa=，1bb=，则有关于广义凸函数的 Hermite-Hadamard 不等式()()()()()()()()212112ababfIf xbaf af b+考虑推论 5，给出有关广义调和 p-凸函数更精确的结果，即推论 7。推论推论 7 令 0I ，:,fa bI。如果 f 为 I 上的广义调和 p-凸函数，则对任意,iaa b，
28、满足()()()()()()()()()1111111111111211111111121112112ppppppppipnpipppppppiiniipabappabainiiifw fabaabaaw pf xIxaaf af bw f a=+=+其中0,1iw 且11niiw=，111nippiiwaa=。证明证明 利用广义调和 p-凸函数的 Jensen 不等式，有 11111111111112111112pnpipppppppiipnippppiiffwabaabaaw fabaa=+=+(16)又由函数 f 的广义调和 p-凸性，可得 李然 等 DOI:10.12677/pm.20
29、23.1310288 2812 理论数学 1111111121111111122111112pppppipppppppppiippppppifabaattttfabaaabaattffabaaa+=+111ppppittbaa+(17)式(16)两边同时对 t 在0,1上进行局部分数阶积分，有()()111111111111112nippipppppppiwffabaabaa=+.(18)式(17)两边同乘1niiw=并对 t 在0,1上进行局部分数阶积分，有()()()()()11 11111011111111111112111d111ppppppppinipippppinipippppin
30、iipabappabaiwfabaawttftabaaw pf xIxaa=+=()1 (19)由式(18)，(19)以及式(15)的第二个不等式，定理得证。注注 7 在推论 7 中，若取1p=，可得到文献17中的定理 2.6；若取1p=，可得到文献18中的定理 2.2。4.概率方面的应用概率方面的应用 设是一个随机变量，的广义概率密度函数为:,0,1fa b且 f 为广义调和 p-凸函数。在分形空间中，为研究概率问题，可给出如下定义15：广义分布函数()()()()()1d1zaPzFzf tt=+；广义期望()()()1d1baEt f tt=+；广义 p-矩()()()1d1bppaEt
31、f tt=+，0p。李然 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310288 2813 理论数学 命题命题 1 在推论 3 中取2n=，1212ww=，11x=，22x=，有()()()()121121212112pppppppPPPPaPbab+.(20)例例 1 设有广义概率密度函数()()()()()()()11 11,10,ppppxaxbf xpba+=+其它，显然 f 为广义调和 p-凸函数，则有不等式()()()()+111111212121122ppppppppppppbaab+.(21)证明证明 由题意可得 f 的广义分布函数为()()()()1111pppF xx
32、ba+=。利用式(20)，经简单计算可得式(21)成立。命题命题 2 在推论 5 中取2n=，1212ww=，1aa=，2ab=，有()()()()()()()()()112111211112ppppppppppppaba bPEpbababPaPb+5.总结总结 本文在分形集上定义了调和(p,s)-凸函数，结果表明，适当选择参数 p、s 和，可得到众多凸函数延伸类，如调和 p-凸函数、调和 s-凸函数、调和(p,s)-凸函数和广义调和凸函数。故证明的有关广义调和(p,s)-凸函数的 Jensen 不等式、Jensen-Mercer 不等式和 Hermite-Hadamard 型不等式具有更广
33、泛的意义。最后把相关结论用在了概率密度函数的讨论上。在未来的研究中，可以考虑引入强调和(p,s)-凸函数的定义，推广文中的相关结论。基金项目基金项目 国家自然科学基金项目(11801342)；陕西省自然科学基础研究计划项目(2023JCYB043)。参考文献参考文献 1 İcan,İ.(2014)Hermite-Hadamard Type Inequalities for Harmonically Convex Functions.Hacettepe Journal of Ma-thematics and Statistics,43,935-942.https:/doi.org/10.1567
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