1、分形理论在矿物加工中的应用基础及研究进展刘欣然1,2，周伟光1,2，谢广元1,2，彭耀丽1,2，梁龙1,2，李懿江1,2(1.中国矿业大学煤炭加工与高效洁净利用教育部重点实验室,江苏徐州221116；2.中国矿业大学化工学院,江苏徐州221116)摘要：随着我国矿产资源的开发利用，矿产资源开发难度增大、矿山固废处理困难等严重制约了矿物加工工程绿色、经济、高效和可持续发展。为促进矿物加工学科深入发展，部分研究者立足行业发展需要，尝试借鉴其他学科领域理论和方法开展研究工作，以期实现矿物加工学科理论及工程技术的升级与创新，并最终服务于工业实践。作为一门非线性科学，分形理论广泛应用于自然界中各类无规则
2、现象研究。在矿物加工领域，研究者基于分形理论研究了诸多工艺环节(包括矿石拣选、矿石碎磨、调浆、矿物浮选、沉降、过滤等)中的多种分形现象，相关研究成果为解耦矿物加工工艺环节过程、阐明相关机理、实现选别过程调控与参数优化奠定了重要基础。但总体而言，目前分形理论在矿物加工领域部分工艺环节中的应用多停留在理论研究和试验阶段，大部分研究成果尚未应用于生产实践，且研究者们对分形理论及其在矿物加工领域的应用途径和前景仍缺乏全面深刻的认识，阻碍了矿物加工领域分形理论研究的发展。因此，分形理论在矿物加工领域相关研究的广度及深度仍有较大发展空间。从分形理论的基本定义出发，针对矿物加工工艺中部分具有自相似性等分形特
3、征的单元环节，根据环境干湿程度、矿石颗粒粒度以及是否涉及微细矿物颗粒混凝过程等条件，将各单元环节分为“矿石拣选、碎磨及过滤”、“调浆浮选与絮体沉降”2 部分进行研究，在介绍不同工艺环节中各类分形现象及其变化规律的同时，总结其中分形理论应用基础研究发展动态，重点分析了基于分形理论的矿浆混凝行为研究的相关问题，并根据现有研究，展望了分形理论未来在矿浆混凝理论研究以及选矿数字化、智能化生产过程中的发展方向。关键词：分形理论；矿物加工；分形维数；矿浆混凝；浮选中图分类号：TD91文献标志码：A文章编号：02539993(2023)09357316Application basis and resear
4、ch progress of fractal theory in mineral processingLIUXinran1,2,ZHOUWeiguang1,2,XIEGuangyuan1,2,PENGYaoli1,2,LIANGLong1,2,LIYijiang1,2(1.Key Laboratory of Coal Processing and Efficient Utilization,Ministry of Education,China University of Mining and Technology,Xuzhou221116,China;2.School of Chemical
5、 Engineering and Technology,China University of Mining and Technology,Xuzhou221116,China)Abstract:Withtheexploitationofmineralresources,someproblems,suchasthedifficultyofmineralresourcesdevelop-mentandthedifficultyofminesolidwastetreatment,haveseriouslyrestrictedthegreen,economic,efficientandsustain
6、-abledevelopmentofmineralprocessing.Inordertopromotethein-depthdevelopmentofmineralprocessing,somere-searcherstrytodrawlessonsintheoriesandmethodologiesfromotherdisciplinesintheirmineralprocessingrelatedstud-ies.Withtheaimofmeetingthedevelopmentneedsofmineralprocessingindustry,theseexplorationsandat
7、temptsareex-pectedtobenefittheupgradationandinnovationofthetheoryandresearchmethodsinmineralprocessing,whichisthere-收稿日期：20220726修回日期：20221015责任编辑：张晓宁DOI：10.13225/ki.jccs.2022.1107基金项目：国家自然科学基金资助项目（52104280）；中央高校基本科研专项基金资助项目(2021QN1043)作者简介：刘欣然(1999)，女，山东潍坊人，博士研究生。E-mail:通讯作者：周伟光(1989)，男，湖北随州人，讲师，博士
8、。E-mail:引用格式：刘欣然，周伟光，谢广元，等.分形理论在矿物加工中的应用基础及研究进展J.煤炭学报，2023，48(9)：35733588.LIUXinran，ZHOUWeiguang，XIEGuangyuan，etal.Applicationbasisandresearchprogressoffractalthe-oryinmineralprocessingJ.JournalofChinaCoalSociety，2023，48(9)：35733588.第48卷第9期煤炭学报Vol.48No.92023年9月JOURNALOFCHINACOALSOCIETYSep.2023foreco
9、nductivetotheindustrialpractices.Fractaltheory,atypicalnonlinearscience,iswidelyusedinthestudyofvari-ousirregularphenomenainnature.Inmineralprocessingfield,someresearcheshavestudiedvariousfractalphenomenainmanytechnologicallinksthroughoutthewholeprocess(includingtheoresorting,crushingandgrinding,pul
10、pcondition-ingandflotation,sedimentation,filtration,etc.).Relevantresearchresultshavelaidanimportantfoundationfordecoup-lingsometechnologicalprocessesinmineralprocessing,clarifyingtheunderlyingmechanisms,andrealizingtheregula-tionandoptimizationofbeneficiationprocesses.Ingeneral,theapplicationoffrac
11、taltheoryinsometechnologicallinksinthemineralprocessingfieldisstillatthetheoreticalresearchandexperimentalstage,mostoftheresearchresultshavenotbeenappliedtoproductionpractice.Someresearchers,meanwhile,lackacomprehensiveandprofoundunderstandingoffractaltheoryanditsapplicationapproachesandprospectsint
12、hemineralprocessing,whichhinderstheresearchandde-velopmentoffractaltheoryinmineralprocessing.Therefore,thereisstillmuchroomforthedevelopmentoffractalthe-oryinthebreadthanddepthofrelatedresearchinthemineralprocessingfield.Fromtheperspectiveofthebasicdefini-tionoffractaltheory,thisreviewfocusesonsomeu
13、nitlinkswithfractalcharacteristics,suchasself-similarityinmineralprocessingtechnology.Itdivideseachunitlinkinto“oresorting,grindingandfiltering”and“slurrymixingflotationandflocsedimentation”forresearchaccordingtotheconditions,suchasthedegreeofdrynessandhumidityoftheenviron-ment,thesizeoforeparticles
14、andwhetherthecoagulationprocessoffinemineralparticlesisinvolved.Whileintroducingvariousfractalphenomenaandtheirchanginglawsindifferentprocesslinks,thedevelopmenttrendsofbasicresearchontheapplicationoffractaltheoryaredeeplysummarized,focusingontherelevantproblemsofslurrycoagulationbehaviorresearchbas
15、edonfractaltheory.Accordingtotheexistingresearch,thedevelopmentdirectionoffractaltheoryinthefu-tureofslurrycoagulationtheoryresearch,aswellasinthedigitalandintelligentproductionprocessofmineralprocessingisprospected.Key words:fractaltheory；mineralprocessing；fractaldimension；pulpcoagulation；flotation
16、矿产资源是国民经济和社会发展的物质基础，矿物加工技术是矿产资源高效提取利用的技术基础。近年来，随着矿产资源的开采、开发，我国矿产资源禀赋逐渐变差，矿物加工理论和工艺技术的升级与创新成为保障矿产资源绿色高效获取的现实需求。鉴于此，学者们借鉴其他学科研究技术，通过多学科交叉、融合的方式开展研究，以期实现矿物加工过程环节优化及综合指标提升。其中，分形理论因具有包容性强、运行方式灵活、应用范围广等特点，为矿物加工过程部分基础问题的解决提供了良好的思路和借鉴。分形理论是一门非线性学科，具有自相似性等基本特征，可用于描述自然界中各类非规则现象。发展之初，分形理论研究对象主要涉及河流道路轨迹及高分子链空间结
17、构等，后逐渐应用于水处理领域，以表征悬浊液中絮体结构特性1。需要说明的是，矿物加工领域同样涉及众多非规则现象，分形理论的应用亦有助于解耦相关过程、阐明其机理。目前，矿物加工领域涉及分形理论的研究方向主要有：基于自然界矿石中有用矿物的分形分布规律，预测矿石机械拣选技术指标和经济效益2；基于不同碎磨条件下矿石的粒度分形分布规律及形状分形特征，优化工艺参数，研发新型破碎磨矿设备3；基于不同外界条件下矿浆悬浊液中絮体结构的分形特征，研究颗粒聚集/分散行为，提升浮选综合指标，调控絮体沉降速率4；基于不同过滤条件下滤饼孔隙结构的分形特征，探索提高过滤效率的方法5等。另一方面，与其他应用领域相比，分形理论在
18、矿物加工中的应用仍处于发展阶段，相关研究工作较少且不够深入，大部分相关研究成果尚未投入实际生产。考虑到分形理论广阔的潜在应用前景(尤其是选矿过程智能化和高效化发展方向)，有必要对前人研究成果进行总结、归纳，并在此基础上理清、拓宽研究思路，明确未来研究方向。其中，在矿石拣选、矿石碎磨以及过滤(高浓度矿浆经过滤机加压形成滤饼)过程中，分形研究对象为矿石碎块、粒度较大的矿石颗粒以及含水量相对较低的滤饼，且各工艺环节通常处于干燥或矿浆浓度相对较高的环境中，一般不涉及微细矿物颗粒的混凝；在调浆、矿物浮选、沉降(包括过滤操作前矿浆悬浊液中矿物颗粒絮体沉降阶段)过程中，分形研究对象为微细矿物颗粒及由微细矿物
19、颗粒形成的絮体，且各工艺环节操作均处于液相环境中，涉及微细矿物颗粒的聚集/分散以及复杂混凝过程。因此，笔者将矿物加工过程中涉及分形现象的工艺环节分为“矿石拣选、碎磨及过滤”、“调浆浮选与絮体沉降”2 部分，并分别对其中的分形现象进行分析，拟对分形理论在矿物加工领域的研究做出全面综述。3574煤炭学报2023年第48卷笔者在概述分形理论相关概念基础上，针对部分具有自相似性等分形特征的矿物加工工艺环节(包括矿石拣选、矿石碎磨、调浆、矿物浮选、沉降、过滤等)，归纳总结分形理论在以上工艺环节中的研究现状，并基于各研究现状分析、展望分形理论在矿物加工领域的发展方向，旨在基于多学科交叉以实现矿物加工学科的
20、深入和可持续发展,为剖析某些复杂过程提供方法支持和技术借鉴。1分形理论MANDELBROT 于1975 年提出了分形理论概念1，认为分形体具有自相似性(局部为整体的缩影)、无标度性及自放射性三大基本特征，这不仅表现在事物的图形外观上，还可体现在能量、时空、性质等方面。分形现象在自然界中普遍存在(图 1)，并广泛应用于众多学科的基础研究。(a)分形几何图形之Koch曲线(b)自然分形物体之植物宝塔蚕(c)自然分形现象之河流图1常见分形现象Fig.1Commonfractalphenomena欧氏几何中维数仅能用整数表示，而对于复杂且不规则的分形体则需采用分形维数概念。分形维数是分形的度量指标，被
21、用于描述分形体不规则程度及其在空间中的填充程度，可与诸多自然特性相关联，具有极高的包容性。通常，二维分形维数适用于描述平面图形几何轮廓性质；三维分形维数能够揭示分形体三维空间几何特性；若颗粒群粒度分布具有分形特征，则可通过分布分形维数表征3。依据研究对象特性差异，研究者提出了不同的分形维数定义方法，其中最常用的方法为相似维数。相似维数的本质是把研究对象看作一个可被划分为N(F,r)个子集的集合 F，每个子集以相似比 r 与原集合相似，如果存在一个数 Df，使得当 r0 时有N(F,r)rDf(1)则称 Df为研究对象的相似维数，即分形维数。该定义方法计算简单、高效，广泛适用于各类具有自相似性质
22、的研究对象，但仅能对研究对象作整体性描述，无法精确描述其局部分维特性1。分形维数计算过程模型如图 2 所示。矿物加工领域存在诸多分形现象，该模型能广泛匹配各类分形现象的分形维数求解过程。例如，通过计算矿石中有用矿物分布分形维数，可揭示其中有用矿物分布规律6；通过计算碎磨过程中矿石粒度分布分形维数，可揭示不同碎磨条件下矿石粒度变化规律7；通过分析矿浆混凝过程中矿物颗粒絮体分形维数，可反映不同变量条件下絮体结构及颗粒动态变化规律等8。不同测量方法取对数MATLAB编程最小二乘法线性拟合斜率DfN(F,ri)lg ri lg N(F,ri)ri图2分形维数计算过程模型Fig.2Fractaldime
23、nsioncalculationprocessmodel2分形理论在矿石拣选、碎磨及过滤中的应用2.1分形理论在矿石拣选中的应用现代矿石拣选过程通常利用传感器，基于有用矿物与脉石矿物元素种类及含量等性质差异实现 2 者的分离。拣选工艺主要包括矿块拣选和矿石批量拣选 2 种类型，其基本流程包括给料、传感器检测、信号处理以及物料分离 4 个部分9。拣选工艺在矿石采选领域有广阔的应用前景，但原有矿石批量拣选技术存在试样矿物分布规律缺乏代表性、预期拣选技术指标与实际拣选效果差异大等缺陷，影响应用可行性。自然成矿过程具有自相似性(图 3)10，矿石品位第9期刘欣然等：分形理论在矿物加工中的应用基础及研究
24、进展3575与质量存在分形关系(式(2)6，通常采用人工检测的方法获取矿石样品的品位和质量数据，再通过分形维数定义计算矿物在矿石中的分布分形维数。C(M)MDr3(2)式中，C(M)为富集部分矿石品位；M 为富集部分矿石质量；Dr为矿物在矿石中的分布分形维数，Dr越大，矿物分布越不均匀。LI 等2发现将分形规律引入矿石批量拣选领域，并开展以下研究：首先，基于不同矿体中矿物分布规律的分形结构特性差异，在原有研究基础上提出矿石批量拣选(BOS)模型(式(3)，并根据 BOS 模型，建立矿石批量拣选技术指标(如给矿品位、精矿品位、精矿产率和金属回收率)及经济效益指标的预测模型。c=GmDr3(3)式
25、中，c 为品位阈值；m 为高于品位阈值累积矿石质量分数；G 为分形量度，G 越大，矿物越分布在较高品位下，可由对矿石样品的品位和质量数据分析得到。LI 等11以不同地区的 3 种铜矿样品为研究对象，对模型的准确性进行验证，整体上准确度较高。总体而言，将分形理论引入矿石拣选过程建模中，可通过矿石性质有效预测拣选效果。虽然该研究仍停留在理论层面，尚未应用于实际生产，其后续深入研究却对推动矿石批量拣选工业的快速发展大有裨益。2.2分形理论在矿石碎磨中的应用矿石碎磨过程中，单一矿石的每次碎裂都将分裂成更小的矿石颗粒，矿石碎裂具有自相似性(图 4)12，0(原始脉体)(质量，品位)n富集M02n,Cn1
26、n贫乏M02n,Cn23贫乏M08,C323富集M08,C312富集M04,C211富集M02,C111贫乏M02,C12M0,C02贫乏M04,C22图3具有分形特征的成矿模型Fig.3Metallogenicmodelwithfractalcharacteristics 大于目标粒度的碎石小于目标粒度的碎石1级2级3级4级图4具有分形特征的矿石颗粒破碎模型Fig.4Fractalmodeloforeparticlecrushing3576煤炭学报2023年第48卷因此该过程中矿石的粒度、形状和能量消耗等性质变化均具有分形特征。2.2.1颗粒粒度分布分形规律颗粒粒度是矿石碎磨过程中最重要的性
27、能评价指标，其分布存在分形特征(式(4)13。通常采用粒度分布法研究矿石颗粒粒度分布分形维数，较为常见的粒度检测方法有筛析法、沉降法和激光粒度测定法等：对于粒度较大的矿石颗粒，多采用筛析法；对于微细粒粉体，多采用激光粒度测定法。Yn(d)dDg(4)其中，d 为颗粒粒度；n 为系统颗粒总数；Yn(d)为粒度小于 d 的颗粒数；Dg为粒度分布分形维数。Dg越大，细粒级所占比例越高，颗粒分布越不均匀，且颗粒表面越粗糙。当 Dg接近 2 时，矿石主要发生表面磨损；当 Dg接近 3 时，矿石主要发生整体碎裂7。研究表明，矿石碎磨过程中颗粒粒度分布分形规律与碎磨工艺参数有着密切的关联。例如，高锋等12破
28、碎磁铁矿时发现，随着破碎级数增加，矿石粒度分布分形维数逐渐增大，增大速率则逐渐减小并最终趋于稳定。ZHANG 和 YANG 等14-15研究矸石和低阶煤粉碎时发现，矿石粒度分布分形维数随粉碎压力(能量输入)的增大呈先增大后趋于稳定的趋势。杨志远等16利用行星磨制备超细煤粉时发现，通过改变磨矿时间、添加助磨剂、优化球配比等调节颗粒粒度分布分形维数，能够实现矿物磨矿过程及磨矿效率的有效控制。可见，基于颗粒粒度变化的分形特征研究，有助于实现对矿石碎磨工艺的过程优化与智能控制。2.2.2颗粒形状、碎磨能耗分形规律矿石碎磨过程中，随着颗粒不规则程度的增加，仅通过粒度分布评价矿石碎磨性能存在一定的局限性，
29、于是研究者提出采用颗粒质量(三维)、投影面积(二维)、表面积分形维数描述颗粒特性。其中，质量分形维数采用质量粒径法计算(式(5)，投影面积、表面积分形维数则分别通过图像分析法测量，即通过光学显微镜、透射电镜或扫描电镜拍摄颗粒图像，随后利用 ImageJ 等图像分析软件测量颗粒投影面积和边界长度，进而计算分形维数(式(6)、(7)17。M(d)dDm(5)A(L)LDa(6)P()1Dp(7)其中，M(d)为颗粒质量；A(L)为颗粒投影面积；L 为投影特征长度；为码尺长度；P()为投影周长；Dm为质量分形维数；Da为面积分形维数；Dp为边界分形维数。表面积分形维数 Ds=Dp+1，Ds越大，颗粒
30、表面越不光滑。颗粒形状分形维数不仅取决于碎磨工艺参数，还可与其他特征参数相联系。焦红蕾等18研究煤炭粉磨过程时发现，颗粒表面积和质量分形维数可用于磨矿能耗和产品成浆浓度的计算，并通过过程调控实现了磨机工作效率的提升。WANG 等19建立了矿石破碎中比表面积及裂纹面积的分形模型，进而推导出矿石材料的表面能计算方程，为破碎方法的选取及破碎过程的能量控制提供了理论基础。胡松等20发现煤块在单轴压力载荷下，随着应力增加，煤表面分形维数呈先缓慢增大后急剧增大的非线性关系，从微观层面解释了煤表面结构在不同应力应变下的变化规律。矿石颗粒的碎裂通常是逐级变化的，其中每级破碎都伴随着能量的消耗。目前，如何节能降
31、耗仍是矿石碎磨领域的核心问题，对此部分研究者进行了碎磨过程能耗模型的探索。胡振中等21发现，传统 Bond能耗公式虽能较准确预测辊式破碎机和锤式破碎机在煤破碎过程中的能耗规律，但对颗粒入料及产物的细度模数有较高要求，随后新建了基于能耗分形维数的能耗公式，经检验发现其对细度模数的选取要求不高，且能耗预测值与实际值拟合程度更高，可有效解决原煤破碎能耗预测难的问题。蔡改贫等22基于分形理论通过构建破碎能耗、矿石粒度分布、设备结构参数、破碎工作参数间耦合关联，建立了低频振动挤压破碎能耗预测模型，其预测值与实际值拟合较好，可应用于新型板辊式低频振动破碎机的研发，以计算矿石破碎所需要能量，从而选择最优工作
32、参数。目前，矿石碎磨领域分形规律的部分研究成果已应用于实际生产，但多数研究仍停留在对分形维数与碎磨生产工艺参数间的定性分析方面，定量关系的相关研究较少，因此该领域仍有较大的研究、探索空间。总体而言，矿石颗粒形状及碎磨能耗分形规律的研究有助于进一步优化生产工艺参数，其相关成果对未来工程应用亦具有重要指导意义。2.3分形理论在过滤中的应用过滤是固液分离过程的重要环节，其操作过程可分为 2 个阶段：第 1 个阶段是过滤操作前矿浆悬浊液中矿物颗粒絮体沉降阶段，第 2 个阶段是高浓度矿浆经过滤机加压形成滤饼阶段。在第 2 个阶段，除矿浆性质外，滤饼性质也可影响最终过滤效果。滤饼孔隙在平面的投影可看作是形
33、状不规则的多边形。因此，可采用图像分析法测量滤饼截面孔隙周长和面积，计算分形维数表征孔隙边界复杂程度23。第9期刘欣然等：分形理论在矿物加工中的应用基础及研究进展3577P(A)ADp2(8)式中，P(A)为滤饼截面孔隙周长；A 为滤饼截面孔隙面积；Dp为滤饼截面孔隙分形维数，Dp越大，孔隙形状越不规则，过滤效果越差。滤饼分形结构与宏观过滤行为密切相关，基于滤饼分形结构特性的调节有助于实现改善宏观过滤效果的目标。来庆腾24发现，煤泥滤饼的上层孔隙率大、平均孔径小、分形维数大，而下层滤饼孔隙率小、平均孔径大、分形维数小，助滤剂的添加可针对性降低滤饼某些位置的分形维数，增大孔隙率，从而提高过滤效率
34、。陈茹霞25研究颗粒性质对煤浆过滤效果的影响时发现，煤颗粒粒度越小，滤饼的分形维数越大，而颗粒粒度不均匀时，滤饼的分形维数从底层到表面逐渐增大，并由此提出为实现较好的过滤效果，应严格控制物料粒度组成并优化滤饼上层结构的思路。综上，探索不同条件下滤饼孔隙分形结构的变化规律，建立过滤操作与滤饼微观分形结构之间的关系，有助于从微观本质上解释固液分离机理、实现矿物宏观过滤行为的精准调控，并为难滤矿物过滤脱水设备的开发提供理论指导。3分形理论在调浆浮选与絮体沉降中应用调浆是浮选作业前的预处理作业，浮选是使目的矿物与脉石矿物分离的有效方法；沉降是过滤操作前的必要环节。在矿浆悬浊液体系中，微细矿物颗粒通过混
35、凝的方式聚集形成絮体。若不考虑絮体的破碎情况，混凝过程可看作是微小颗粒结合成为小絮体，小絮体结合成大絮体，大絮体再聚集形成大絮团的过程，这在一定程度上满足自相似性和标度不变性的分形特征(图 5)26。实践表明，絮体分形维数相关研究有助于充分揭示矿浆混凝过程机理，对指导矿物加工工程实践具有重大现实意义。初始矿物颗粒小絮体大絮体大絮团图5具有分形特征的絮体生长过程模型Fig.5Flocgrowthprocessmodelwithfractalcharacteristics3.1矿物颗粒絮体分形维数测量方法絮体粒度分布分形维数可准确反映絮体群粒度分布，二维和三维分形维数可反映絮体结构密实程度。根据矿
36、浆环境及絮体性质差异，学者们设计了不同分形维数测量方法。表 1 为矿物加工领域常见絮体分形维数测量方法及其适用范围和优缺点。由于不同测量方法的机理不同，分形维数差异可能较大，故对于同一体系内絮体间分维特性的表征宜统一测量手段。3.2基于分形理论的矿浆混凝行为基于分形理论的混凝行为研究兴起于水处理领域。由于矿浆悬浊液与废水悬浊液某些性质相近，通常借鉴分形理论在水处理领域中涉及的部分研究方法与结论开展矿物加工领域矿浆悬浊液性质研究。3.2.1典型混凝机理下絮体的分维特性悬浮浆料体系中，多数微细颗粒可通过混凝的方式聚集，形成尺寸较大、结构较为复杂的絮体。凝聚和絮凝是混凝的 2 种主要作用形式，压缩双
37、电层、电中和、网捕卷扫、吸附架桥等是诱导混凝发生的基本作用机制。表 2 为不同种类悬浊液在典型混凝机制下形成絮体的分维信息。相较于压缩双电层/电中和诱导形成的絮体，网捕卷扫作用下颗粒易被药剂水解产物包裹，使形成的絮体空隙较少、结构密实，从而絮体三维分形维数较大；而吸附架桥作用下形成的絮体分支多，结构更加开放，其三维分形维数最小。网捕卷扫、吸附架桥作用下形成的絮体普遍具有网链状结构，故对应二维分形维数通常较电中和诱导机制下絮体二维分形维数更小。3.2.2分形理论在混凝动力学中的应用随着矿浆混凝研究的深入，絮体形成、生长及其结构动态变化的规律愈发引人关注。由于分形理论3578煤炭学报2023年第4
38、8卷表 1 矿物颗粒絮体分形维数测量方法Table 1 Measurement of fractal dimension of mineral flocs测量方法计算方法公式含义适用范围测量手段优点局限性应用拓展粒度分布法8式(4)Dg为絮体粒度分布分形维数无限制采用聚焦光束反射测量仪(FBRM)等测量絮体粒度(弦长)分布，计算Dg27与传统线性粒度分布模型相比，能真实反映絮体离散性分布特征对粒度测量方法精确度要求较高，需采集并分析大量数据图像分析法28A1(L)LD2(9)D2为絮体二维分形维数；A1(L)为絮体投影面积无限制可直接观察絮体形态不能对絮体动态变化过程进行连续监测；需采集处理大
39、量图像数据，确保取样具有良好代表性，且取样过程中应尽量避免样品破坏基于GIS的三维重构技术可将SEM图像的二维分形维数转化为三维分形维数29；基于统计学分析的二维、三维分形维数耦合关联模型可通过图像的二维分形维数获取三维分形信息30光散射法31I(Q)QD3(10)D3为絮体三维分形维数；I(Q)为光散射强度；Q为光强矢量激光散射法适用于纳米亚微米聚集体，小角度X射线和中子散射法适用于粒度1200nm胶体，要求颗粒具有较小的初始粒度及单峰尺寸分布；悬浊液应保持较低浓度(为减弱测量过程颗粒可能发生的多重散射对测量结果的干扰)采用光散射仪，光束穿过絮体，所散射的光束被收集后通过计算机分析处理，计算
40、D3可连续原位监测，操作简便、省时省力原理复杂，不能直观观察絮体形态且数据处理环节繁琐；大颗粒引起的多重散射和干扰沉降可能导致试验结果失真在特定条件下测定絮体分形维数时初始颗粒粒度范围可适当放宽32-33沉降法34v(d1)d1D31速率粒径法：(11)(d)为絮体沉降速率；d1为絮体当量直径仅适用于毫米级絮体，且絮体密实不易破碎取适量絮体使其在沉降柱中自由沉降，测量粒径及沉降速率，计算D3；记录絮体个数及粒径，并将沉降后的絮体收集干燥后用微天平称重，计算D3对实验设备要求不高，操作简便；对絮体初始粒度不敏感，且对悬浊液环境包容度较高测量过程耗时较长，需确保取样代表性，测量结果准确度较低，且无
41、法实现原位连续观测M(d1)d1D3质量粒径法：(12)M(d1)为絮体质量计算机模拟法35N(R)RD3回转半径法：(13)N(R)为絮体内颗粒数；R为絮体回转半径(即计算模拟过程中絮体所能形成的最大半径)用于计算机模拟絮体生长过程研究，要求絮体有明显几何中心，且非几何多重分形，内部颗粒粒径分布与整体颗粒分布一致基于不同絮体分形结构生长模型在MATLAB平台上通过计算机模拟，改变初始颗粒数及黏附概率等条件获得虚拟絮体，计算分形维数C(r)raDa密度相关函数法(14)Da为絮体二维或三维分形维数；C(r)为密度相关函数；a为空间维度；r为两颗粒间距第9期刘欣然等：分形理论在矿物加工中的应用基
42、础及研究进展3579广泛的适用性及其对絮体结构表征的直观性，越来越多学者尝试将分形理论引入颗粒混凝动力学研究过程中，以期更加深刻地揭示混凝过程中絮体空间结构及物理性质的转变规律。(1)絮体分形结构生长模型。为探究絮体生长过程对混凝工艺的影响，研究者们提出了 3 类反映絮体生长特征的分形结构模型(每种模型包含单体凝聚和集团凝聚 2 个亚类)。表 3 为不同分形结构模型下絮体分形维数和结构特点。虽然不同凝聚类型下的絮体性质各异，但其分形维数间存在着一般规律：由于单颗粒比微絮体更易进入到絮体的内部，并使絮体密实度增加，故单体凝聚比集团凝聚形成的絮体具有更高的分形维数；由于各种模拟方法假设的黏结概率不
43、同，反应控制模型考虑了颗粒间的相互作用，为了克服颗粒或微絮体间的斥力，需要更高的碰撞频率才能形成絮体，故反应控制诱导的絮体分形维数区间较扩散控制诱导的絮体分形维更大。(2)基于分形理论的混凝动力学模型。混凝动力学模型旨在通过数学建模揭示混凝过程中颗粒性质随时间动态变化规律，较为经典的有 Smoluchow-ski 模型、群体平衡模型(PBM)等。通常情况下，流体中颗粒间碰撞机制主要有 3 种：由分子热运动引起的布朗运动、由水力和机械搅拌引起的流体剪切以及由颗粒尺寸和密度不同引起的差速沉降等，这 3 种机制所形成的混凝模式均可影响颗粒碰撞函数。传统混凝动力学模型中综合碰撞函数的计算仅是 3 种碰
44、撞函数间的加和，并没有考虑 3 者间潜在关联性。而实际混凝过程中，絮体重组会使絮体粒径、分形维数等性质发生变化，进而引起 3 种碰撞函数及综合碰撞函数的交互改变。将絮体分形维数引入颗粒碰撞函数，即可得到分形理论耦合的混凝动力学模型55-56。表 4对比了 2 种经典混凝动力学模型引入分形维数前后的差异。混凝动力学研究过程中分形理论的引入能够有效弥补传统混凝动力学模型的不足(如忽略颗粒形状、孔隙结构、不考虑絮体破碎重组等)，有助于深化对各操作变量引起的颗粒絮凝行为变化的内在机理的认识，对解耦颗粒混凝过程具有重大的理论意义。3.2.3分形理论在混凝形态学中的应用矿物加工调浆浮选、沉降过程中，因作业
45、目标差异，不同环节理想絮体结构也存在差异，如在尾矿沉降环节，为加强固液分离效率，理想絮体应粒度适宜，并具有一定抗剪切破坏能力；在浮选预调浆阶段，为表 2 典型混凝机理下絮体分维特性Table 2 Fractal dimension characteristics of flocs under typical coagulation mechanism研究对象药剂混凝机理D2(图像分析法)D3(光散射法)高岭土硫酸铝+聚丙烯酰胺36电中和1.301.632.552.76网捕卷扫2.582.91吸附架桥2.402.60聚二烯丙基二甲基氯化铵+聚丙烯酰胺37电中和1.920.06(1.832.09)
46、0.01吸附架桥1.850.07(1.771.79)0.01聚合氯化铝38电中和高吸附架桥低聚合氯化铝39电中和1.68网捕卷扫1.60高岭土腐殖酸聚合氯化铁40电中和高网捕卷扫低明矾41电中和1.531.84网捕卷扫1.482.20硫酸铝+聚丙烯酰胺42电中和1.550.07网捕卷扫1.260.07吸附架桥1.590.09含磷废水铝土矿赤泥矿物复合混凝剂43电中和高吸附架桥低煤泥聚合氯化铝+聚丙烯酰胺44压缩双电层+电中和1.79吸附架桥1.863580煤炭学报2023年第48卷使目的矿物与脉石矿物充分分散并选择性聚集，脉石矿物絮体强度应小于目的矿物絮体强度等。絮体其他结构特性与分形维数紧密
47、相关，因此建立絮体不同结构参数之间的关系对矿物加工不同环节过程调控及指标优化具有现实意义。(1)絮体密度。不同于单一颗粒，絮体内部往往存在大量空隙，在矿浆环境中空隙被液体占据而使絮体表观密度降低。对于分形维数与絮体密度(孔隙率)之间的函数关系，一般认为絮体密度、粒径与其分形维数满足：e dD3p(9)其中，e为絮体有效密度(在水中的密度)；dp为粒径；D3=2.21.762。故一般认为，絮体孔隙率越大，其密度越小，结构越松散，分形维数也越小。(2)絮体粒度。絮体粒度与其分形维数间的关系可从单个絮体和絮体群 2 方面分析。对于单一絮体，普遍认为絮体越大，其内部包含基本粒子数越多，对应分形维数越小
48、63。对于絮体群，CHELLAM 等64研究不同分形维数絮体的粒度分布曲线时发现：当Df=3 时，絮体粒度分布范围较窄，但随着分形维数的降低，絮体粒度分布逐渐变宽且平均粒度向增加的方向移动。故一般认为，絮体粒度分布分形维数和平均粒径呈负相关，且当粒级范围相同时，细粒级所占比例越大，对应粒度分布分形维数越大。(3)絮体强度。絮体强度是其抗破坏能力的表征，其大小取决于组成絮体颗粒间结合键强弱、数量以及絮体大小、密实度等性质。实际上，针对絮体强度与絮体分维特性间关联关系，YANG 等65将絮体视为黏性较高的流体，把强度、分形维数与非牛顿流体的宾汉切应力结合建立了关系式，最终得出了絮体分形维数越高，体
49、系的宾汉切应力越大，絮体强度越大的结论。总之，分形维数越大的絮体，其内部结构越致密，组成絮体的颗粒间排斥作用越小，其强度也越高。3.3影响矿物颗粒絮体分维特性的因素3.3.1药剂化学药剂被广泛应用于矿物加工过程不同工艺环节。考虑到絮体性质与矿物颗粒的聚集/分散状态紧密相关，因此常见的影响颗粒聚集/分散状态的药剂，包括捕收剂、分散剂和混凝剂等，是相关研究的重点。其中，浮选捕收剂、部分混凝剂能够通过强化矿物颗粒疏水，诱导颗粒通过聚团的形式形成具有不同分维特性的絮体。分散剂则能够通过增强矿物颗粒间排斥作用或空间位阻效应，实现不同矿物颗粒间的分散(絮体的破坏)66。表 5 为常见药剂作用下不同种类絮体
50、的形成机理及其分维特性。一般而言，单一电解质如 AlCl3、CaCl2等主要诱导颗粒间发生压缩双电层作用，絮体分形维数随药剂用量的变化不明显；有机高分子混凝剂主要诱导颗粒发生吸附架桥作用，其超过表 3 不同分形结构模型模拟形成的絮体分形维数及其特点Table 3 Fractal dimension and characteristics of flocs simulated by different fractal structure models分形结构模型凝聚类型模型结构特点D2D3(回转半径法)弹射凝聚模型(BA模型)单体凝聚(Vold模型)是由初始颗粒、絮体、絮体聚集而成的絮团组成的3
