1、振动与冲击第42 卷第14期JOURNAL OFVIBRATIONAND SHOCKVol.42 No.14 2023附加自由阻尼板高频振动响应的能量流模型江旭东，韩月东，滕晓艳（1.哈尔滨理工大学机械动力工程学院，哈尔滨150 0 8 0；2.哈尔滨工程大学机电工程学院，哈尔滨150 0 0 1）摘要：为了预示自由阻尼结构(free layer damping，FLD）的高频振动响应，将复刚度法与能量流分析（energy flowanalysis,EFA)理论相结合，推导了大阻尼条件下高频振动自由阻尼板的能量密度方程。分析了阻尼交界面处的能量传递关系，利用耦合结构的能量流分析方法推导了局部附
2、加阻尼处理的薄板结构的能量密度方程。基于上述能量密度方程，构建了完全/局部自由阻尼板的能量有限元法（energyfinite elementmethod,EFEM）模型，求解了阻尼层合结构的高频能量流响应。通过对比模态解析解与能量有限元模型的数值解，验证了所建立的自由阻尼板高频振动能量流模型的有效性。关键词：能量流分析；自由阻尼结构；能量有限元法（EFEM）；高频振动中图分类号：TB123Energy flow model for a high-frequency vibrating plate with free-layer damping treatment(1.School of Mec
3、hanical and Power Engineering,Harbin Science and Technology University,Harbin 150080,China;2.College of Mechanical and Electrical Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)Abstract:To predict the high-frequency vibrational responses of a plate with free layer damping(FLD)treatmen
4、t,the energy density equation considering high damping effect was derived by using the energy flow analysis(EFA)methodcombined with the complex stiffness method.The wave transmission analysis was performed for clarifying the powertransfer relation at discontinuous interfaces of the FLD.Then the ener
5、gy density equation of a plate with partial FLDtreatment was also established based on the EFA of coupled plates.The energy finite element method(EFEM)wasemployed to solve the derived energy density equations of the plates with full or partial FLD treatment.The simulatedresults obtained by the EFEM
6、were compared with those obtained by the modal superposition method.The resultsdemonstrate that the proposed EFA model can predict the energy density of the high-frequency vibrating plate with FLDtreatment with reasonable accuracy.Key words:energy flow analysis;free damping structure;energy finite e
7、lement method;high-frequency vibration文献标志码：AJIANG Xudong,HAN Yuedong,TENG Xiaoyan?2D0I:10.13465/ki.jvs.2023.14.038高速飞行器通常工作于高频、高声压级的极端噪声环境中,诱发的结构振动将影响舱室内精密仪器的正常运行,甚至造成关键电子设备的损伤或失效1-3。阻尼减振技术通过敷设于大尺寸薄壁构件的黏弹性材料层,可以实现振动与噪声的有效控制,因而应用于高速飞行器舱壁结构的减振降噪中4-5。由此，在概念设计阶段对附加阻尼薄壁结构动力学特性的预测分析,实现基于结构声振性能的优化设计,具有重要的
8、理论与工程价值。在空天结构领域，板壳结构广泛应用于高速飞行基金项目：国家自然科学基金（52 17 550 2；5150 50 96）；黑龙江省自然科学基金联合引导项目（LH2020E064）收稿日期：2 0 2 2-0 5-11修改稿收到日期：2 0 2 2-0 9-2 1第一作者江旭东男，博士，副教授,197 7 年生器的机身和舱室等轻质薄壁结构的动力学建模分析。夏小均等6 基于波函数法理论,推导了自由阻尼薄板振动分析模型以及包含自由阻尼结构与声腔的三维耦合模型的建模方法。Liu 等7 考虑了边界的弹性与阻尼特性,研究了任意边界条件下的薄板弯曲振动问题。高速飞行器一般工作于气动流和外界噪声作
9、用的高频声振环境,力学行为上表现为短波高频振动特性。上述以位移为基本变量的确定性分析方法由于计算量以及参数敏感性等原因难以适用于高频动力学分析8 空天结构的高频振动分析一般采用以子系统平均声振能量为基本变量的统计能量法（statistical energymethod,SEM)。Pa v a n 等9分析了湍流激励下飞机舱室内的高频声场分布。Raef等10 预测了锥壳封闭声腔的声传递损失。Poblet-Puigl将谱单元方法与统计能量法相结合，建立了L型折板的传递损失分析模型；322陈强等12-13研究了热环境下长宽比对L型折板统计能量分析参数的影响。胡婉璐等14耦合梁结构间的耦合损耗因子。G
10、ao 等15基于FE-SEA 混合建模技术，提出了板梁耦合结构中频振动问题的设计优化方法。张婧等16 基于瞬态SEA方法,预测了线耦合平板的高频振动响应。但是，统计能量法仅能给出子系统的平均振动响应，无法预测子系统内部任意空间位置的精确响应,因而统计能量法难以精准地预示附加阻尼结构的高频振动响应。与SEA不同,能量流分析方法以能量密度为基本变量,可以精确地预测振动能量的空间分布。Zhang等17 和Wang等18 考虑了热应力和材料参数的温度相关性,建立了均匀温度场下梁和板结构的能量流模型。上述研究19忽略了热应力对势能密度的影响，无法精确预示预应力结构的高频振动响应。Yan20首次利用能量有
11、限元法（energy finite element method，振动与冲击1完全自由阻尼薄板的能量流模型1.1自由阻尼板的等效处理如图1所示为简谐激励作用下的自由阻尼板，板长和板宽分别为l和l阻尼层厚度为h2，基板厚度为hi简谐点激励作用于板（xo，y o）处。依据Kirchhoff 经典薄板理论，横向弯曲振动自由阻尼板在,y,z方向的位移场表示为u(x,y,z)=-(z-zo)awo(x,y)/axv(x,y,z)=-(z-zo)awo(x,y)/ayw(x,y)=wo(x,y)式中,z。为物理中面的坐标。自由阻尼层、22023年第42 卷(1)(2)(3)h2FoeJo(Xo.o)hlE
12、FEM)研究了复合材料层合板结构的高频振动数值预报方法。Liu等2 1-2 建立了功能梯度梁结构的能量流模型，分析了热梯度环境下功能梯度梁的高频振动响应。Kim等2 3基于等效流体模型,提出了压缩波在高频振动多孔介质结构中传播的能量流分析方法。Cho24研究了应力波在结构连接处的波型转化与传递特性,建立了组合结构的能量有限元模型。Liu等2 5利用耦合损耗因子描述混响波场在耦合结构间的功率耦合关系，提出了改进的耦合结构问题的能量有限元法。Park26构建了耦合Mindlin板面内、面外振动的能量流模型。Liu等2 7 融合能量有限元法和水平集法，提出了板梁耦合结构的低噪声拓扑优化方法。Yeo等
13、2 8 建立了压力波在高频振动三维弹性体中传播的能量流模型。Zeng等2 9预测了机械激励与轨道噪声激励联合作用下的高速列车车内噪声水平。陈兆林等30 和Zhao等31混合能量有限元法和虚拟模态综合法，提出了高频冲击载荷作用下结构瞬态响应预报方法。Chen等32 研究了超声速气流环境下薄板结构的高频振动问题。上述研究成果均基于结构的小阻尼假设，在能量密度控制方程的推导中对波数实施了一阶近似估计,对于预测具有大阻尼损耗因子结构的高频振动响应将产生显著的误差，Han 等33-35已通过一维大阻尼系统的能量流分析验证了上述观点。自由阻尼板结构属于具有大阻尼特征的层合板结构,基于小阻尼假设的能量流分析
14、方法不再适用于高频振动响应的预测。本文将复刚度理论与能量流分析理论相结合，推导大阻尼层合板结构的能量密度方程，建立完全/局部自由阻尼板的能量有限元模型。以模态解析解作为基准解，验证所提出的理论模型对于预测附加自由阻尼结构高频振动响应的有效性。XZ3基板图1简谐激励作用的自由阻尼板Fig.1A plate with full free layer damping treatmentunder a concentrated harmonic load由式（1）式（3），自由阻尼板的应变场表示为8=(z-Zo)K式中,=kKKyT 为曲率矩阵，其中 K=-w/ax*,k,=-a*w/ay2,y=-2
15、aw/axay。假设自由阻尼板中基板和阻尼层的应力矩阵为g=o 0（h=1为基板，h=2为自由阻尼层），则小变形条件下结构的应力应变的关系为d=Q10Q=三10，三00(1-vk)/2式中：E，分别为各层的弹性模量和泊松比;Q为各层的弹性矩阵。自由阻尼板的弯曲应变能等于基板和附加自由阻尼层的弯曲应变能之和,即eD.=22三(z-zo)dzzk+12zkD(1-v)三(z-zo)dzeqvJzk+1式中:De和Deqy分别为自由阻尼板的等效弯曲刚度和等效扭曲刚度;h，和h分别为基板和阻尼层的厚度。层合阻尼板的物理中面坐标可以由x轴方向的力物理中面E2(6)2xydS(7)(8)z(9)(4)(5
16、)第14期平衡得到三2(z-zo)dz+三l由此，自由阻尼板中面的位置zo为三?h2+2三 hhi+三 hiZo=2三2 h2+2三hl为了反映自由阻尼板的刚度的阻尼特性,将式(8)的等效复刚度表示为D=+三*(1+jmi)(z-zo)dzk=1式中，为各层板的材料阻尼因子。根据式（12），自由阻尼板的等效阻尼损耗因子为2Im(De)meq=Re(Dt)另外，依据式（7），自由阻尼板的等效泊松比为U=1Deq1.2能量密度控制方程通过哈密尔顿原理，自由阻尼板的弯曲振动控制方程为DaVw+m.aw=F。(x -x o,y -y o)e j o l (15)at?式中:me=pih,+pzhz(p
17、1,p2分别为基板和自由阻尼层的密度）为自由阻尼板的等效表面质量;F。，=2 f（f 为激振频率）为简谐激励的幅值和激振圆频率，(-o)(-x）为二维狄拉克函数。自由阻尼板振动控制方程式（15）的稳态振动解为W(x,y,t)=Ae-i(k+ky),ejol(16)式中,k,k,分别为板在x,y方向上的波数分量，其中k=kicos,ky=krsin,kr为弯曲总波数,为弯曲波的散射角。将式（16）代入控制方程式（15）中,得到结构的频散方程(17)由式（17）,弯曲波数表示为44m.medeq0kf=Deq根据波动理论，式（18）中的前两项对应于空间振荡的远场波，后两项对应于指数衰减的近场波。在
18、高频振动状态下，弯曲波的波长远小于板的面内尺寸，因而能量流分析中一般忽略近场波带来的影响。在小阻尼假设下（neg1),弯曲波数的一阶近似为4meqkr=Re(De)在混响波场假设下，弯曲波在各个可能的方向上江旭东等：附加自由阻尼板高频振动响应的能量流模型(z-zo)dz=0(10)1krcos odp(11)12TJkrsin do根据式（18）、式（2 0）和式（2 1），式（16）重新表示为Z(12)wr(x,y,t)=(Afe-ix-iy+Bejkx-jk,y+z:+1*=(z-z0)dz2=(z-zo)dz+k=12Deqy2=022323传播,因而总波数、波数分量在散射角0，2 内需
19、要均值化处理,则有(20)(21)(22)式中,Ar,Br,Cr,D,为各远场行波的幅值。(13)另外，一般金属结构的阻尼因子均较小,因而现有的能量流理论基于小阻尼假设，通过波数对于阻尼因子的一阶近似,推导结构的能量密度方程。然而，黏弹阻尼层的敷设导致附加阻尼结构的损耗因子一般远大(14)于基板的阻尼,对波数进行小阻尼近似将带来显著的系统误差。因此,为了精确预示自由阻尼板结构的高频振动响应,应该对现有的传统能量流理论进行大阻尼修正,通过精确的波数表达式（18）进行结构能量密度控制方程的推导。薄板结构在一个振动周期内时域平均的能量密度e）由动能能量密度 ek和弯曲变形势能能量密度组成。e)=ek
20、)+ep)薄板结构时域平均的动能能量密度、弯曲变形势能能量密度分别表示为mee4dWaw2+2axdw(w)dw+2(1y式中：（）*为共轭运算;Re（）为复数取实部函数。类似于与能量密度，时域平均的能量强度 I.和2I,分别表示为(18)1.)=ReD-Q2根据薄板弯曲振动理论，可以得到弯矩M,M,，扭矩My，剪力Qx，Q y。将式（2 2）给出的远场解分别代人式(2 3）式(2 7）,经过一个波长范围内的局部空间平均以消除行波之间干涉项引起的功率流，可以获得时neq(19)(23)w(24)att2ved.x（）axdy)(25)ww+M.+Mdxdtdyt+Mw+Mw1(27)yxdyd
21、tdxdt间空间平均处理后的能量密度（J/m）与能量强度(J/s)。W+2(26)324振动与冲击ReiDaRit+2uhi,+hgi+=2mmih+2h2,+kgkk.22023年第42 卷2(1-ag)k,k,k k,/入2(1-g)h,k;h,+mg).+)(2 8)采用无限导纳计算平均输人功率元），则有12wRelDi+kig+his+vegkgh:+(1-ve)h,k,k,J1-+-+)(29)1wRelDnn+hh,+vaii,+2hgh,+(1-e)k,k,k1.-+)式中:)=A)-*B)+*C)-+D)+,其中系数 A）*满足式（31）,其他系数类同。k.k,A)=x2Fy2
22、式中,kx,，和k,分别为k和k,的虚部。对比式（2 8）与式（2 9）和式（30），描述能量密度与能量强度关系的能量传递方程为ae)xoL+h+Rk+3k:+2(1-0(33)B：ky,;入入=k,1+20ghg+hg+2(1-0g)hkhky+meqa/De(35)根据能量守恒定律，输入功率一部分以能量强度梯度的形式存储于结构内部,另一部分被耗散掉,因此功率平衡方程可以表示为=+V.i)式中:V.i）=a /a x+/a y 为函数的散度运算；元），元s）分别为平均输入与耗散功率。薄板结构的平均耗散功率与频率、结构阻尼因子和势能密度相关,即能量耗散方程为=2m0(e,式中：n为结构损耗因子
23、；e为结构总变形势能密度。在小阻尼假设下,势能密度与动能密度相等，能量耗散方程为变为=no(e)将式（2 5）和式（2 8）代人式（37），自由阻尼板的平均耗散功率表示为=e)(40)元）=2Re8meq对于尺寸有限的结构，其确切的阻抗取决于边界条件和加载的位置，因此很难直接计算，除非通过有限元法、解析法或其他传统方法求解运动方程。然而，具有(30)无限维度的结构的阻抗在高频下非常接近有限结构的阻抗3-3,因此，在EFA和EFEM中，总是应用无限结构的阻抗来逼近有限结构的精确阻抗。由此，将式（31）、式（37）和式（39）代人式（35），自由阻尼板的能量密度控制方程为e)e+(e)=8(-0,
24、y-yo)(42)dy式（42）为大阻尼条件下附加自由阻尼版高频振动的能量密度控制方程，与传统的薄板结构的能量密度控制方程相比，考虑了附加阻尼层对薄板振动的影响，采用了精确的波数表达式，无需小阻尼假设，因此能更3e)ay(41)(32)好的预示附加阻尼板结构的高频振动响应。采用有限元法求解自由阻尼板的能量密度控制方程，则有Ke=Fe+Q2-2-1-22K=-ab6a-111-1-221-1-21Ba166-1-22一2-112(36)Fe式中：K为单元刚度矩阵;F为单元输入功率矩阵;N为4节点双线性四边形单元的形函数矩阵；Q为单元边界能量通量矩阵;e为单元节点能量密度矩阵;,b(37)为单元边
25、长尺寸的一半。2局部自由阻尼薄板的能量流模型工程实际中，附加阻尼层往往敷设于振动剧烈区(38)域。因此,本章构建局部自由阻尼板的能量流响应模型。如图2 所示为局部自由阻尼板结构，沿阻尼边界将整个自由阻尼板分成子域和子域。当弯曲波人(39)射于附加阻尼层交界面处时，不同的波数将引起弯曲(43)171-12-222-2-1yab2421(44)+1912422124-Nin)o(x-xo,y-yo)do(45)2eQ=f.NTqdre212(46)(56)第14期波的反射和透射现象。因此，可以将局部自由阻尼板等效为具有不同物理参数的耦合板结构。自由阻尼层基板IFoeio(xoyo)X图2 简谐激励
26、作用的局部自由阻尼板Fig.2A plate with partial free layer damping treatmentunder a concentrated harmonic load图3为局部自由阻尼板的能量传递模型，g*，q(i=1,2）表示板中传递的弯曲波能量强度,其中+为右向行波，号为左向行波，Tfmm（m，n=1,2)表示子域m中弯曲波人射于阻尼边界处向子域n中传播的能量透射系数，Tfmm表示阻尼边界处的能量反射系数。根据能量守恒关系,则有-=Tmgl)+Tm1)-+=Tm2+Tm22-Tm21(）4一Tm1l阻尼边界图3局部自由阻尼板的能量传递模型Fig.3Power
27、transmission relation between subdomains withand without free layer damping treatment子域和子域中行波的净能量强度表示为=+-qr)-=+-q)-子域和子域中各向行波与能量密度满足如下关系*=Cgn*di)*=Cgi2*式中：cgi为弯曲波在子域i中传递的群速度;e为子域i中的能量密度。群速度表征远场弹性波能量的传递速度，通过频散方程式（17）对于波数应用隐函数求导法则获取。则有Cgfi子域和子域中行波的净能量密度表示为=+el+)(54)江旭东等：附加自由阻尼板高频振动响应的能量流模型h2h(47)(48)T
28、em22(）Tf12(49)(50)(51)(52)(53)kmeqiw325=+et)(55)联立式（46）式(54）,阻尼边界处的能量强度与能量强度的关系为Trm12qf2Tf11由此，将式(56)代人式（46）即可阻尼边界处单元的边界能量通量矩阵。能量透射系数与反射系数可通过耦合边界处的位移连续性条件与平衡条件计算获得,实施方法可参考Cho的研究。3模型验证与讨论为了检验所建立的能量密度控制方程的有效性，分别以四边简支的完全自由阻尼板和局部自由阻尼板为基准算例,对比分析能量有限元的数值解与模态解析解的一致性。以此为基础,研究自由阻尼层的阻尼因子与厚度对阻尼复合薄板结构高频振动响应的影响。
29、另外,对比小阻尼假设下的能量流响应,验证所提方法的有效性。3.1完全自由阻尼板如图1所示，完全自由阻尼板的几何尺寸：l.l，=1m1m,金属基板厚度hl=0.003m,阻尼层厚度为hz=0.0010.005m；阻尼层的材料特性：弹性模量E,=0.33CPa,泊松比u2z=0.44,密度p2=980kg/m,阻尼因子n2=01。金属基板的材料特性：弹性模量E,=72 CPa,泊松比 u=0.33,密度 p1=2 700 kg/m,阻尼因子m1=0.05。外部简谐点激励作用于中心位置,激振频率f=310 k H z,边界条件为四边简支。图4为完全自由阻尼板的能量密度分布（f=3kHz,m2=0.8
30、,h=0.002m），图中的能量密度按照20lg（e)/e）（参考值e,=10-12J/m）计算。考虑到结构、外部激励和边界条件的对称性,仅给出x=0.5m处的能量密度分布情况。EFEM预测的能量密度在空间上分布光滑，模态解析解在空间上振荡。EFEM的数值结果较为精确的预示了模态解析解的均值。但是，由于能量密度控制方程中忽略了近场波的影响,EFEM的预测结果与模态解析解在激励位置和边界处存在一定的误差。随着激振频率的增加,EFEM的预测结果与模态解析解的整体一致性提高（如图5所示），其原因是随着波长的变短（如图6 所示），近场波的影响范围逐渐缩小。如图4、图5所示，与基于小阻尼假设的经典EFE
31、M解相比,本文获得的EFEM解（大阻尼）能够更为精准的表征完全自由阻尼板模态解析解的整体变化趋势。但是,前者的结果明显小于后者的结果,随着激振频率的增加,两者的能量密度解差距更为显著。823261008020%沿y方向位置/m0.5(a)EFEM解图4完全自由阻尼板的能量密度分布（f=3kHz,m2=0.8,h=0.002m）Fig.4 Energy density distribution for a plate with full free layer damping treatment(f=3 kHz,n2=0.8,hz=0.002 m)80757065605550450Fig.5 En
32、ergy density distribution for a plate with full free layer damping treatment under various excitation frequency(n2=0.8,h2=0.002 m)根据式（53），本文提出的大阻尼能量流模型与经典的小阻尼假设的能量流模型的群速度分别表示为2Re(k)Re(De)=20 m Re()(58)Caf.cmeq式中：cgr为大阻尼能量流模型中的群速度;cgl.。为经典能量流模型的群速度。对比式（57）和式（58），大阻尼条件下，cgr明显大于cgf.。，因而本文获得的EFEM解大于经典的E
33、FEM解。另外，随着激振频率的提高，两种能量流模型的群速度差亦随之增加，导致两种能量流模型的能量密度差距增强。0.180.160.140.120.100.080.060.0412345678910J/kHz图6 波长随频率变化关系（m=0.8,hz=0.002m）Fig.6Wavelength versus the excitation frequency(n2=0.8,hz=0.002 m)振动与冲击701.0沿y方向位置/m0.50.500沿x方向位置/m一模态解析解一EFEM解(大阻尼）-经典EFEM解0.20.4沿x方向位置/m(a）激振频率f-5kHz图5不同激励频率下完全自由阻尼板
34、的能量密度分布（n=0.8,h=0.002m）(f=3 kHz,hz=0.002 m)Fig.7IEnergy density distribution for a plate with full free layerdamping treatment of various damping factor(f=3 kHz,hz=0.002 m)图8 为不同阻尼层厚度下的完全自由阻尼板能量密度分布（f=3kHz,m2=0.8）,与阻尼因子的影响相2023年第42 卷85一一模态解析解80一EFEM解(大阻尼）75-经典EFEM解706560551.0500.5455000沿x方向位置/m（b）模态
35、解析解80757065605550454035300.60.80.2沿x方向位置/m（c）x o=0.5m的能量密度分布80一-模态解析解70一EFEM解（大阻尼）-经典EFEM解1.000.460504030201000.20.4沿x方向位置/m(b）激振频率f-8kHz图7 为阻尼层不同阻尼因子的完全自由阻尼板能量密度分布(f=3kHz,h=0.002m）。由式(36)中的迟滞阻尼模型可知,相同输入功率与激振频率条件下,总体的能量密度反比于结构损耗因子。由此,随着自由阻尼层阻尼因子的增加,完全自由阻尼板的结构损耗因子随之增大,能量密度从激励点向四周边界的衰减程度增强,完全自由阻尼板的整体振
36、动能量响应减小。686766658P/泽鲁6463626160590图7不同阻尼因子的完全自由阻尼板能量密度分布0.6一模态解析解一EFEM解(大阻尼)-经典EFEM解0.60.80.81.000.2沿x方向位置/m(c）激振频率f-10kHz12=0.1-12-0.3-n2-0.8-12-1.00.20.4沿x方向位置/m1.00.40.60.60.80.81.01.0第14期比,阻尼层厚度的增加引起显著的能量耗散作用,将导致结构能量密度在空间中更为明显的衰减趋势。由此,增加阻尼层厚度更有助于改善减振降噪效果。70h,=0.001 m-h,=0.002 m.h,-0.003m65-h,=0.
37、004 m-h,=0.005 m6055500图8不同阻尼层厚度的完全自由阻尼板能量密度分布(f=3 kHz,n2=0.8)Fig.8Energy density distribution for a plate with full freelayer damping treatment of various thickness(f=3 kHz,n2=0.8)7065555000.51.01.52.00沿x方向位置/m沿y方向位置/m(a)EFEM解图9局部自由阻尼板的能量密度分布系列图（f=3kHz,m=0.8,hz=0.003m）Fig.9Energy density distributi
38、on for a plate with partial free layer damping treatment(f=3 kHz,n2=0.8,h2=0.003 m)90一一模态解析解80一EFEM解(大阻尼)-经典EFEM解706050403050(a）J=0.5m 处能量密度分布(f-5kHz)807570656055504540353050(d）x=0.5m处能量密度分布(f-8kHz)Fig.10Energy density distribution for a plate with partial free layer damping treatment under various
39、excitation frequency(n2=0.8,h=0.003 m)江旭东等：附加自由阻尼板高频振动响应的能量流模型3.2局部自由阻尼板如图2 所示,阻尼层尺寸：l,l,h=1m1m0.003 m,基板尺寸:l,l,h=2 m1 m0.002 m。外部简谐点激励作用位置为（0.5m,0.5m），激振频率、边界条件和材料特性皆与完全自由阻尼板相同。图9为局部自由阻尼板的能量密度分布系列图(f=3 kHz,n2=0.8,h=0.003 m)。在激励点附近区域敷设附加自由阻尼层,振动能量发生了明显的衰减，0.20.4沿x方向位置/m100806040201.000.50.5沿x方向位置/m1
40、.01.52.00沿y方向位置/m(b）模态解析解85一-模态解析解807570656055504540350.51.0沿x方向位置/m一模态解析解一EFEM解（大阻尼）-经典EFEM解0.20.4沿y方向位置/m图10 不同激振频率下局部自由阻尼板能量密度分布（n=0.8,hz=0.003m）327对于完全自由阻尼板的能量流响应，模态叠加法消耗的计算时间（5 s）显著大于EFEM的计算时间（3s）,因而后者能够高效地预测大阻尼结构的高频振动响应。0.60.81.52.00.60.81.00.500.2沿y方向位置/m(b）x=0.5 m 处能量密度分布(f-5kHz)807060504030
41、201.00(e）J=0.5m处能量密度分布(f-10kHz)充分地显示了恰当的局部附加阻尼处理能够显著改善薄板结构高频振动的减振效果。类似于完全自由阻尼板情况,EFEM的预测结果平滑地收敛于模态解析解的均值,随着激振频率的增加与不同,两者的一致性明显提高（如图10 所示）。由此,所建立的能量有限元模型能够较为精确地预测附加自由阻尼板的高频响应。883288一模态解析解EFEM解（大阻尼）-经典EFEM解555045401.035（c）y=0.5m处能量密度分布80一模态解析解75一EFEM解(大阻尼）70.-经典EFEM解65605550454035300.40.6-模态解析解一EFEM解(
42、大阻尼)-.经典EFEM解0.51.0沿x方向位置/m85806560555045400.51.0沿x方向位置/m0.81.01.52.0一模态解析解一EFEM解（大阻尼）-经典EFEM解1.52.00(c）J=0.5m 处能量密度分布(f-8kHz)8070605040302050(f)）x=0.5m处能量密度分布(f-10 kHz)00.20.40.60.81.0沿y方向位置/m（d）x=0.5m处能量密度分布二一EFEM解(大阻尼)-.-经典EFEM解0.51.0沿x方向位置/m一一模态解析解一EFEM解(大阻尼).-经典EFEM解0.20.4沿y方向位置/m1.50.60.82.01.
43、0328如图9、图10 所示，类似于完全自由阻尼板情况，相对于小阻尼假设下的经典EFEM解，本文获得的EFEM解（大阻尼）能够更为精准的表征局部自由阻尼板模态解析解的整体变化趋势。但是，由于本文能量流模型的群速度高于经典能量流模型，导致前者的结果明显大于后者的结果;随着激振频率的增加，引起两种模型群速度之差增强,因而两者的能量密度解差距更为显著。与完全自由阻尼板情况不同，由于采用局部敷设阻尼处理方式，阻尼边界处的材料与几何处的不连续性导致能量密度的突变。由式（55）看出,在阻尼交界处两端的群速度差值决定了能量密度的突变幅值，群速度差值愈大，能量密度的突变值愈大。此外,如图11和图12 所示,随
44、着附加阻尼层的阻尼因子和厚度的提高，局部自由阻尼板的能量密度从激励位置向边界传播的衰减趋势更加显著，总体能量密度水平明显降低。对于局部自由阻尼板的能量流响应，模态叠加法消耗的计算时间（15s）显著大于EFEM的计算时间（8 s）,因而后者能够高效地预测大阻尼耦合结构的高频振动响应。6866F6462605856545250068676665646362616059580图117不同阻尼因子的局部自由阻尼板能量密度分布(f=3 kHz,hz=0.003 m)Fig.11 Energy density distribution for a plate with partial freelayer
45、damping treatment of various damping factor(f=3 kHz,hz=0.003 m)振动与冲击7065605550454007065aP/善碧6055500图12不同阻尼层厚度的局部自由阻尼板能量密度分布(f=3 kHz,n2=0.8)-12=0.1-12=0.3-12=0.8-12-1.00.51.0沿x方向位置/m（a）J=0.5m处能量密度分布-12=0.3-.-n2=0.8-.-12-1.00.20.4沿y方向位置/m（b）x=0.5m 处能量密度分布2023年第42 卷一h2=0.001m-h2=0.002 m.h,-0.003m-h,-0.
46、004 m.-h,-0.005 m0.51.0沿x方向位置/m（a）J=0.5m 处能量密度分布一h,=0.001 m-h2=0.002m.h,-0.003 mhz=0.004 m-.-h-0.05 m0.20.40.6沿y方向位置/m（b）x=0.5m 处能量密度分布Fig.12Energy density distribution for a plate with full freelayer damping treatment of various thickness(f=3 kHz,n2=0.8)4 结 论结合复刚度方法，建立了自由阻尼板的振动控制方程。通过能量流分析方法，推导了完全/
47、局部附加自1.52.0一n2=0.10.60.81.50.8由阻尼板结构的能量密度方程，利用能量有限元法预测了结构的高频振动响应。研究结论如下：（1）针对附加自由阻尼板结构的大阻尼特性,通过精确的波数推导结构的能量密度方程，提出了大阻尼层合板结构的能量流分析方法。与模态解析解对比,所建立的能量流模型的数值解可以精确地预示自由阻尼板振动能量的空间分布变化趋势。（2）将局部附加自由阻尼板等价为具有不同物理参数的耦合板结构，提出了局部自由阻尼板结构的能量流分析方法。求解了不连续阻尼层合板结构的高频1.0振动响应，通过与多个工况下的模态解析解对比,验证了上述处理方法的可行性。（3）随着附加自由阻尼层阻
48、尼因子和厚度的增加,阻尼对于高频振动的能量耗散作用增强，导致复合薄板结构的能量密度水平降低。但是,相对于阻尼因子,阻尼层厚度对于高频振动能量具有更明显的空间衰减作用。2.01.0第14期1 ZH A O H D,H A O Z W,LI U W,e t a l.T h e s h o c kenvironment prediction of satellite in the process of satellite-rocket separation J.A c t a A s t r o n a u t i c a，2 0 19,159:112122.2 王怀志，于开平，张宗强，等仪器舱结构
49、的能量有限元中频声振环境预示J振动与冲击，2 0 19，38（10）：143-148.WANG Huaizhi,YU Kaiping,ZHANG Zongqiang,et al.Prediction of the acoustic-vibration environment of aninstrument cabin by using the energy finite element methodJ.Journal of Vibration and Shock,2019,38（10):143-148.3赵宏达，丁继锋，郝志伟，等复杂航天器结构火工冲击环境预示方法研究 J宇航学报，2 0 2
50、0，41（1）：3543.ZHAO Hongda,DING Jifeng,HAO Zhiwei,et al.Study onprediction methods of pyroshock environment for complexspacecraft structures J.Journal of Astronautics,2020,41(1):35 43.4 YILM A Z I,A R SLA N E,CA VD A R K.Ex p e r i m e n t a l a n dnumerical investigation of sound radiation from thin
