1、D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 1-5 3 3 7.2 0 2 3.4.0 5 3*收稿日期:2 0 2 2-0 4-1 7作者简介:张宁,男,1 9 9 5-,硕士,助教;研究方向:非线性偏微分方程理论及应用;E-m a i l:1 1 7 4 3 0 9 2 8 4q q.c o m.广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的新精确解张 宁(新疆农业大学数理学院,8 3 0 0 5 2,新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市)摘要:应用扩展到负次幂的(G/G2)展开法对广义Z a k h a r o v-K u z n e t s
2、o v方程进行求解.在不同条件下得到广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的9组新精确解,包含双曲函数解、三角函数解和有理函数解.对精确解中的参数赋值,利用符号计算软件M a p l e给出部分解的数值模拟图,并对怪波现象产生的原因进行分析.扩展的(G/G2)展开法有计算简单、直接的特点,可以应用于其它非线性偏微分方程的求解研究中.关键词:扩展的(G/G2)展开法;广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程;精确解;怪波中图分类号:O 1 7 5.2 9 文献标识码:A 文章编号:1 0 0 1-5 3 3 7(2 0 2 3
3、)0 4-0 0 5 3-0 50 引 言非线性偏微分方程在非线性科学中具有重要的研究价值,其精确解可以用来解释非线性现象,同时也是可积系统的主要研究内容.近年来,随着计算机技术的发展,非线性偏微分方程精确解的求解方法也越来越多,如齐次平衡法1、T a n h函数展开法2、J a c o b i椭圆函数展开法3、(G/G)展开法4以及在(G/G)展开法的基础上提出来的(G/G2)展开法5-6、G/(G+G)展开法7等.本文引入并介绍(G/G2)展开法及步骤,将(G/G2)展开法扩展到负次幂并利用扩展的(G/G2)展开法求解广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方
4、程.广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程8为ut+a unux+b(ux x+uy y)x=0.(1)当n=1时,方程(1)化为Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程9;n=12时,方程(1)化为修正 的Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程1 0;n=p2(p1)时,方程(1)化为广义修正的Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程1 1.广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程在物理学中有着广泛的应用,对其精确解的研究也备受关注
5、.1 研究方法考虑给定的非线性偏微分方程P(u,ux,uy,ut,ux t,uy t,ux x,uy y,ut t,)=0,(2)其中u=u(x,y,t).第1步:对方程(2)作行波变换u(x,y,t)=u(),=x+y+-c t,(3)得到常微分方程Q(u,u,-c u,u,-c u,c2u,)=0.(4)第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 0月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l.4 9 N o.4O c t.2 0 2 3 其中u=dud,u=d2ud2,c为波速.第2步:假定方
6、程(4)的解有如下形式u()=mi=0aiG G2i+mi=1biG G2-i,(5)其中G=G()满足G G2=+G G22,(6)其中ai(i=0,1,2,m)、bi(i=1,2,m)、是待定常数,m可以根据齐次平衡法确定.第3步:将式(5)代入方程(4),结合方程(6)合并G G2的同次幂项,取各次幂项系数为零,得到关于ai(i=0,1,2,m)、bi(i=1,2,m)、c的代数方程组,使用符号计算软件M a p l e求解此代数方程组.第4步:将方程(6)的解和代数方程组的解代入式(5)得到非线性偏微分方程(2)的精确解.2 广义Z a k h a r o v-K u z n e t
7、s o v方程的精确解使用上述方法求解广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程,令u(x,y,t)=u(),=x+y-c t,(7)将式(7)代入方程(1)中,再对积分一次并取积分常数为0得到-c u+an+1un+1+2b u=0.(8)作变换u()=v()1n,并代入方程(8)中,得-c n2(n+1)v2+a n2v3+2b n(n+1)v v-2b(n2-1)(v)2=0.(9)平衡方程(9)中的最高阶导数项v v 和非线性最高次项v3可得m=2,因此可设方程(9)的解具有如下形式v()=a0+a1G G2+a2G G22+b1G G2-1+b2G G
8、2-2,(1 0)其中,ai(i=0,1,2)、bi(i=1,2)为待定常数,G=G()满足二阶常微分方程(6).将式(1 0)代入方程(9),利用方程(6)化简合并G G2的同次幂项,并取各次幂项系数为零,得到关于a0、a1、a2、b1、b2、c的代数方程组,利用符号计算软件M a p l e求解该代数方程组得到3组解.第1组:a0=-4b(n2+3n+2)a n2,a1=b1=b2=0,a2=-4b 2(n2+3n+2)a n2,c=-8bn2;(1 1)第2组:a0=-8b(n2+3n+2)a n2,a1=b1=0,a2=-4b 2(n2+3n+2)a n2,b2=-4b2(n2+3n+
9、2)a n2,c=-3 2bn2;(1 2)第3组:a0=-4b(n2+3n+2)a n2,a1=a2=b1=0,b2=-4b2(n2+3n+2)a n2,c=-8bn2.(1 3)将式(1 2)代入式(1 0),根据方程(6)的解可以得到以下情形.情形1 当0时,45 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年v1()=-8b(n2+3n+2)a n2-4b 2(n2+3n+2)a n212-4b2(n2+3n+2)a n21-2,(1 4)u1()=-8b(n2+3n+2)a n2-4b 2(n2+3n+2)a n212-4b2(n2+3n+2)a n21-21n,(1 5)其中1=E
10、c o s()+Ds i n()Es i n()-Dc o s(),=x+y+3 2bn2t,E、D为任意常数.情形2 当0都可以求得上述精确解.特别地,当取n=1,n=12和n=p2(p1)时,可以分别得到Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程、修正的Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程和广义修正的Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的精确解.考虑广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的两组解u1和u2,以r=x+y和t为自变量,借助M a p l e通过数
11、值模拟得到u1和u2在不同参数下的图像(见图1,图2),并对出现的怪波进行分析.从图1可以看出,在较短时间内,广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的周期解出现在比较大的区域内.破坏特性在一定时期内可能是渐近的、周期性的,从解的表达式分析,当分母趋于0时,函数值趋于无穷大,会出现爆破现象.从图2可以看出,在短时间内,广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的孤波解主要出现在小的窄区域内,可能会发生怪波的突变情况,而爆炸现象的出现和解u1怪波出现原因相同.55第4期 张宁:广义Z a k h a r o v-K u z n e
12、 t s o v方程的新精确解 图1 参数a=-1、b=2、=3、=2、n=1、E=1、D=1时的u1图2 参数a=2、b=-0.2、=-0.1、=2、n=1、E=-8、D=4时的u2 3 结束语本文使用扩展的(G/G2)展开法研究了广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程,通过将(G/G2)展开法扩展到负次幂,得到了广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的双曲函数解、三角函数解和有理函数解.给出了部分精确解的数值模拟图像,并对怪波产生的原因进行了分析.通过对n取值,还可以得到Z a k h a r o v-K u z n
13、e t s o v方程、修正的Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程、广义修正的Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的新精确解.根据求解过程,对比(G/G)展开法,(G/G2)展开法具有计算简便、直接等优点.扩展的(G/G2)展开法在求解非线性偏微分方程方面具有重要的应用价值.参考文献:1李志斌.非线性数学物理方程的行波解M.北京:科学出版社,2 0 0 6:1 2-4 0.2T I ANY.Q u a s i h y p e r b o l i c f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h
14、 o da n dt a n h-f u n c t i o nm e t h o df o rs o l v i n gv i b r a t i n gs t r i n ge q u a t i o na n de l a s t i cr o de q u a t i o nJ.J o u r n a l o fL o wF r e q u e n c yN o i s e,V i b r a t i o na n dA c t i v eC o n t r o l,2 0 1 9,3 8(1/4):1 4 5 5-1 4 6 5.3X I ANGCH.J a c o b i e l
15、l i p t i c f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d f o r t h en o n l i n e a rV a k h n e n k oe q u a t i o nJ.J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h-e m a t i c sa n dP h y s i c s,2 0 2 0,8(5):7 9 3-7 9 8.65 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年4WAN G M L,L IXZ,Z HANGJL.T h e(G/G)-e x p a n s i o nm e t h
16、 o da n dt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i nm a t h e m a t i c a lp h y s i c sJ.P h y s i c sL e t t e r sA,2 0 0 8,3 7 2(4):4 1 7-4 2 3.5冯庆江,肖绍菊.应用改进的G/G2展开法求Z a k h a r o v方程的精确解J.量子电子学报,2 0 1 5,3 2(1):4 0-4 5.6王思源,陈浩.求解KdV方程mKdV方
17、程的新方法:(g/g2)展开法J.华南师范大学学报(自然科学版),2 0 1 4,4 6(1):4 2-4 5.7石兰芳,聂子文.应用全新G/(G+G)展开方法求解广义非线性S c h r d i n g e r方程和耦合非线性S c h r d i n g e r方程组J.应用数学和力学,2 0 1 7,3 8(5):5 3 9-5 5 2.8HUJY.C l a s s i f i c a t i o no fs i n g l et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n st ot h eg e n e r a l i z e dZ a k h
18、a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o nJ.P r a m a n aJ o u r n a l o fP h y s i c s,2 0 1 3,8 0(5):7 7 1-7 8 3.9杨征,马松华,方建平.(2+1)维Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的精确解和孤子结构J.物理学报,2 0 1 1,6 0(4):9 9-1 0 3.1 0MON R OS,P A R K E SEJ.S t a b i l i t yo fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n st oam o
19、d i f i e dZ a k h a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o nJ.JP l a s m aP h y s,2 0 0 0,6 4(3):4 1 1-4 2 6.1 1YUJ,WANGDS,S UN Y,e ta l.M o d i f i e dm e t h o do fs i m p l e s te q u a t i o nf o ro b t a i n i n ge x a c ts o l u t i o n so ft h eZ a k h a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o n,
20、t h em o d i f i e dZ a k h a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o n,a n dt h e i rg e n e r a l i z e df o r m sJ.N o n l i n e a rD y n a m i c s,2 0 1 6,8 5(4):2 4 4 9-2 4 6 5.1 2李灵晓,张金良.扩展的(G/G)-展开法和g Z K方程的精确解J.四川师范大学学报(自然科学版),2 0 1 0,3 3(5):6 2 6-6 2 9.N e we x a c t s o l u t i o n so f g e n
21、 e r a l i z e dZ a k h a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o nZHANGN i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,X i n j i a n gA g r i c u l t u r a lU n i v e r s i t y,8 3 0 0 5 2,U r u m q i,X i n j i a n g,P R C)A b s t r a c t:T h eg e n e r a l i z e dZ a k h a r o v-K u z
22、n e t s o ve q u a t i o ni ss o l v e db yu s i n gt h e(G/G2)e x p a n s i o nm e t h o de x t e n d e d t on e g a t i v ep o w e r.U n d e r d i f f e r e n t c o n d i t i o n s,n i n en e we x a c t s o l u t i o n s o f t h eg e n e r a l i z e dZ a k h a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o
23、na r eo b t a i n e d,i n c l u d i n gh y p e r b o l i c f u n c t i o ns o l u t i o n s,t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o ns o l u t i o n sa n dr a t i o n a l f u n c t i o ns o l u t i o n s.F o r t h ep a r a m e t e ra s s i g n m e n t i nt h ee x a c t s o l u t i o n,t h en u m e r
24、 i-c a l s i m u l a t i o nd i a g r a mo f t h ep a r t i a l s o l u t i o ni sg i v e nb yu s i n gt h es y m b o l i cc a l c u l a t i o ns o f t w a r eM a p l e,a n dt h ec a u s e so f t h er o g u ew a v ep h e n o m e n o na r ea n a l y z e d.T h ee x t e n d e d(G/G2)e x p a n s i o nm
25、e t h o dh a st h ec h a r a c t e r i s t i c so fs i m p l ea n dd i r e c tc a l c u l a t i o n,a n dc a nb ea p p l i e dt ot h es o l u t i o no fo t h e rn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s.K e yw o r d s:e x t e n d e d(G/G2)e x p a n s i o nm e t h o d;g e n e r a l i z e dZ a k h a r o v-K u z n e t s o ve q u a t i o n;e x a c t s o l u-t i o n;n o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;r o g u ew a v e75第4期 张宁:广义Z a k h a r o v-K u z n e t s o v方程的新精确解
