1、2023年第10期总第87期【课堂聚焦教学设计】基于UbD理论的初中数学单元整体教学设计以人教版“一元二次方程”为例何俊杰1，孟志鑫2（1.信阳师范大学 数学与统计学院，河南信阳464000；2.信阳市第三小学，河南信阳464000）【摘要】义务教育数学课程标准（2022年版）提出单元整体教学的概念，明确要重视单元整体教学设计。UbD理论提出的逆向教学设计和“理解六侧面”对单元整体教学设计有很强的指导作用。文章以人教版“一元二次方程”为例，结合教学设计案例，从单元分析、确定主题、设计目标、单元整体设计以及课时教学设计等方面阐述了应用UbD理论开展初中数学单元整体教学设计的具体步骤和策略。【关键
2、词】UbD理论；初中数学；单元整体教学；教学设计；一元二次方程【作者简介】何俊杰，副教授，主要研究方向为应用数学与数学教育；孟志鑫，主要研究方向为数学教育。【基金项目】2021年河南省高等教育教学改革研究与实践项目（学位与研究生教育）“教育硕士专业学位研究生实践创新能力培养研究与实践以学科教学（数学）领域为例”（2021SJGLX216Y）；河南省2023年度教师教育课程改革研究项目“卓越教师培养视域下数学师范生专业素养测评与提升路径研究”（2023-JSJYYB-034）义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称“新课标”）提出要推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，促进
3、学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。1如何整体分析数学内容的本质，并将促进学生对数学的理解真正融入教学活动中，是当前数学教学中值得思考的问题。在日常教学中，好的教学设计是提高教学质量的关键。理解为先的教学设计（Understanding by Design，UbD）理论和基于理解的逆向教学设计法2把学生的理解放在教学和教学设计的首位，符合新课标的要求。本文探讨了基于UbD理论的初中数学单元整体教学设计，力图通过优化教学设计促进学生核心素养的发展。一、基于UbD理论的单元整体教学设计流程（一）UbD理论UbD理论的两个重要思想是“理解”和“逆向”。基于这两个思想，杰伊麦克
4、泰格和格兰特威金斯提出了有利于学生理解的逆向教学设计3 18-19和用于评估学生是否真正掌握知识的“理解六侧面”394-95。逆向教学设计打破了常规的教学设计思路，先确定学生所要达到的课程目标，并制订合适的评估标准，再进行教学过程的设计4。通过考虑“哪些表现说明学生已经理解了所学内容”和“哪些证据说明预期目标已经实现”等问题，确定恰当的评估证据，从而为教学过程设计提供依据，可以有效避免常规教学设计中因无法准确评估学生理解和掌握程度而导致的教学过程设计不合理的问题。“理解六侧面”则给出了具体的评估证据：能运用概念、定理合理地说明某个事实，即解释；能从具体问题中找出隐藏的有效信息，即阐明；能将知识
5、应用于不同的具体情境从而解决新的现实问题，即应用；能从不同的角度批判性地看待他人的想法，即洞察；能根据自己的学习体验感受他人的理解和情感，即神入；能认识到自己的优点和不足以更好地自我反思，即自知。（二）基于UbD理论的单元整体教学设计流程首先是进行单元分析并确定单元主题。具体来说，可从课标分析、教材分析、学情分析三个方面进行单元分析，找出需要学生理解的知识，进而抽532023年第10期总第87期象出单元的大概念即单元主题。单元主题可以是一个词语、句子，甚至是一个问题，当然也可以用教材的单元名称作为单元主题。其次是设计单元目标。此环节不仅要关注学生数学知识的积累，还要注重培养学生的核心素养和能力
6、，所以单元目标既要包含记忆、理解等低阶思维，还要包括分析、评价等高阶思维5。最后是对单元整体进行结构化设计。先按“单元主题（大概念）核心任务（大问题）重要概念（分问题）基础概念（子任务）”的逻辑将任务活动化，给出单元整体教学设计。接着在进行课时教学设计时，须打破传统的“确定教学目标设计教学活动教学评价”的模式，采用UbD理论倡导的“逆向教学法”进行设计，即“确定教学目标（预期结果）设计教学评价标准（评估证据）规划教学过程（学习体验）”。在基于UbD理论进行单元整体教学设计时，应始终把“学生的理解”放在首位，充分分析教材，重视知识的整体性，使学生能够将所学的知识联系起来，形成清晰、系统的知识结构
7、。二、基于UbD理论的单元整体教学设计案例为了更好地把单元整体教学设计的相关理论应用于实践，下面以人教版九年级上册第二十一章“一元二次方程”为例，给出基于UbD理论的初中数学单元整体教学设计案例。（一）单元分析1.课标分析一元二次方程是义务教育数学学习中第四学段数与代数中的重要内容。新课标规定，学生需在实际问题情境中思考并理解一元二次方程在现实生活中的应用，能够根据不同的具体问题列出相应的一元二次方程；在理解一元二次方程意义的基础上，掌握解一元二次方程的方法，特别对配方法提出了理解并掌握其过程的要求；掌握根的判别式以便在不解方程的情况下准确描述方程的根的情况；了解根与系数的关系（即韦达定理），
8、能应用数学知识解决实际问题，根据具体情境判断根的合理性。可以看出，新课标要求学生能从数学视角发现生活中与一元二次方程相关的问题，掌握相应的解法，根据实际需要选择运算结果。在此过程中，学生需形成一定的运算、推理和抽象能力，同时培养模型意识，初步掌握用数学语言表达现实问题的能力。在数学的价值方面，需让学生内心充满好奇心，增强对数学的兴趣。综上所述，本单元以解答与一元二次方程有关的具体问题为主线，先引出一元二次方程的一般概念，再让学生系统地学习如何解一元二次方程，最后回归实际问题，让学生在实际情境中检验根的合理性。具体见表1所示。表1“一元二次方程”单元课标分析教学内容一元二次方程的定义一元二次方程
9、的解法解决实际的问题教学要求理解一元二次方程的定义及有关概念理解配方法，能根据方程的不同特点选择不同的解法在解决实际生活中的数学问题的过程中，积累与问题有关的数学学习经验，培养模型意识2.教材分析（1）横向分析。本部分知识在单元学习中包括一元二次方程的数学定义、一元二次方程求解的各种基本解法、方程根的三种基本判别式、韦达定理及证明方法、一元二次方程在生活中的基本应用，具体见图1所示。图1“一元二次方程”单元教材横向分析本章以人体雕像设计为实际问题引入，让学生列出相应方程，引入一元二次方程的概念。在第一节中，基于引言的分析给出了一元二次方程的描述性定义，并设计了求解无盖正方体底面积和排球赛两类题
10、目。学生分析思考这些实际数学问题中的数量关系，进而可列出相应的方程，通过对比得出一元二次方程的数学定义、相关概念及一元二次方程的一般形式。在一元二次方程的解法方面，教材先讲适用于一般方程的配方法和公式法，再讲应用于特殊情况的因式分解法，从一般到特殊，加深学生对一元二542023年第10期总第87期次方程解法多样性的认识，从而有利于学生选择合适的方法去解决问题。具体来说，首先在具体情境中出示形如x2=p，（x+n）2=p的简单一元二次方程，并探究p的不同取值情况下方程的解。在这个过程中，让学生在“降次”中初步体会数学中的化归思想。学习了两种简单的形式后，出示求解x2+6x+4=0这样一般方程的问
11、题。教材以框架图的形式出示了配方法的具体步骤，要求学生在理解的基础上掌握该方法。公式法则是以配方法为基础，通过对一元二次方程的一般形式进行配方得到一般解法，即求根公式（有根的情况下）。在深入学习、分析一元二次方程的求根公式后，可归纳概括出求一元二次方程根的三种不同情况。同时，在推导归纳的过程中引入根的判别式=b2-4ac，并指导学生完成对应的习题，以加强对求根公式的基本应用。在给出两种通用方法后，给出方程10 x-4.9x2=0，让学生思考有没有更简单的方法求解，从而引出因式分解法，并在这个过程中让学生体会一元二次方程求解方法的多样性。在学习一元二次方程的多种解法后，教材提出问题：根的和、积与
12、系数有什么关系？通过这个问题引入了韦达定理。韦达定理在教材中虽然属于选学内容，但却有广泛应用，所以可考虑让学生理解并应用这一定理。可以利用一元二次方程建立一些解释实际问题中数量关系的数学模型。教材中给出了传染源问题、增长率问题、为书设计封面等三个问题，让学生感受一元二次方程在生活中的广泛应用。（2）纵向分析。一元二次方程属于数与式中的方程部分的内容，学生在学习本单元知识前，已经系统学习了一元一次方程、二元一次方程组及三元一次方程组等相关知识，具体见图2。图2“一元二次方程”单元纵向分析一元二次方程与一元一次方程教材中，七年级上册呈现了一元一次方程，并要求学生能解决与一元一次方程相关的实际问题。
13、在解方程方面，移项、合并同类项、系数化为1等方法对一元二次方程仍然是适用的。一元二次方程和二次函数二次函数是人教版教材九年级上册第二十二章中的内容，因此学习一元二次方程可以为学生下一步学习二次函数打下重要的数学基础。一元二次方程的根实际上对应的是二次函数的零点，即函数图象与x轴的交点横坐标。此外，通过配方可求出二次函数的对称轴、顶点坐标、最值。因此，一元二次方程的知识可以直接影响学生对二次函数的学习。从以上分析可以看出，一元二次方程起到了承上启下的作用，因此在教授一元二次方程时，教师要注意将新知识与学生已有的知识结构相结合，将新知识有机融入旧知识中。3.学情分析在记忆方面，初中生的记忆力相对较
14、强，尤其是对于有情境的记忆往往比较深刻。在思维方面，逻辑思维得到了一定的发展，但是仍然需要具体形象思维的支撑。在学习兴趣方面，对数学的学习有着比较浓厚的兴趣，但是易受学习内容难度的影响，兴趣相对不太稳定。在学习评价方面，缺乏对自身的深刻认识，主要通过他人的评价来逐步认识自己，并且比较关注他人对自己的看法，易受他人的影响。（二）单元主题经过以上分析，可以发现本单元的主要目的在于让学生在具体情境中掌握解一元二次方程的方法，并根据实际情况检验所求方程的解是否合理。因此，一元二次方程的解法及应用即为本单元的主题。（三）单元目标通过单元分析和学情分析，可得到本单元的学习目标：（1）理解配方法的过程，抓住
15、配方法的关键；能从不同的解法中选择合适的方法解一元二次方程。（2）会应用根的判别式，即不用解方程就能准确地判断并得出一元二次方程根的情况。（3）了解根与系数之间的关系。（4）能根据实际情况检验一元二次方程的解是否合理。（5）能从要解决的问题中找出各种数量关系，根据所得关系列出求解方程，并能够在此过程中建立求解实际问题的基本模型，培养学生的模型意识。552023年第10期总第87期（四）单元整体设计至此，可将本单元分为一元二次方程的定义、一元二次方程的不同解法及一元二次方程的应用，课时分配见表2。表2“一元二次方程”单元课时分配课程内容一元二次方程的定义一元二次方程的不同解法一元二次方程的应用配
16、方法公式法、根与系数的关系因式分解法课时安排1课时1课时1课时1课时1课时1.阶段一：确定预期学习结果设计预期学习结果时可以从“理解意义”和“学会迁移”两方面考虑。理解意义要求学生能用自己的话语对所学知识进行概括，能掌握之前不理解的知识。学会迁移则要求学生能够把所学知识应用于具体的情境中。在学习完单元知识之后还可设计短期目标，可称为“掌握知能”，是指通过单元学习希望学生掌握哪些陈述性知识和程序性知识，这是最低层次的学习目标。新课标对本单元有具体的要求，笔者根据这些要求，设计预期的学习结果（表3）。2.阶段二：确定恰当的评估证据确定了预期的学习结果之后，教师还需要思考什么样的形式能够评估学生对知
17、识、技能的理解及掌握程度，即逆向教学设计的第二阶段确定恰当的评估方法。具体见表4。3.阶段三：规划相关教学过程首先通过前测掌握学生的已有知识水平，测试内容包括与本单元知识相关的方程、一元一次方程定义及解法等，然后按照五个教学任务分别规划教学过程，具体见表5。（五）课时教学设计每个课时的教学设计也均采用逆向教学设计法，即在确定教学过程之前，先明确课时目标，再目标层次掌握知能理解意义学会迁移二级目标陈述性知识程序性知识学会理解不断思考预期结果一元二次方程的定义；应用配方法、公式法求解的具体步骤运用所学知识解方程；形成相应的数学模型一元二次方程的定义；配方法步骤；因式分解法的过程；公式法过程及结果；
18、根的判别式的由来；增长率问题和传播问题的模型建立过程一元二次方程和一元一次方程的联系和不同分别是什么？怎样把一元二次方程求解转化为一元一次方程求解？配方法解方程的关键步骤是什么？为什么要学习公式法？应用公式法解一元二次方程应该注意什么？一元二次方程不同解法之间的区别和联系分别是什么？如何找出实际问题中的等量关系？能应用较为准确合理的方法找出一元二次方程，并能把它转化为一般形式根据不同方程的特点选择不同的特殊解法用掌握的数学模型解决一些生活中实际存在的数学问题表3“一元二次方程”预期学习结果注：目的1为“哪些表现说明学生已经理解本单元的知识”；目的2为“哪些证据能说明阶段一的目标已经实现”。评估
19、目的目的1目的2评估方式真实情境任务课堂检测课堂表现小组讨论自我评价思考与分析总结具体证据按要求设计一本书的封面对每节课的知识进行随堂测试能准确判断方程是否为一元二次方程；能选择合适的方法得到方程的解能归纳出一元二次方程不同解法的相应步骤对所学内容分析回顾，并着重谈谈当前自己的收获和存在的不足表4“一元二次方程”单元教学评估证据562023年第10期总第87期根据课时目标制订合适的评估证据，最后有针对性地进行教学过程的设计。以第一课时“一元二次方程的定义”为例，教学设计见表6。三、基于UbD理论的单元整体教学设计反思本文运用UbD理论的逆向教学设计法，结合单元整体教学理念进行教学设计，并通过实
20、践证明了单元整体教学的优越性。1.有利于缩短学生之间的成绩差异基于UbD理论的单元整体教学设计是基于学生的理解，通过对数学知识的分析，把相关数学知识进行重组、整合，这样有利于学生在短时间内在头脑中形成知识的结构，理清知识间的脉络。这样的教学对后进生的影响较为显著，实践研究证明，后教学任务任务一：一元二次方程的定义任务二：解法之配方法任务三：解法之公式法任务四：解法之因式分解法任务五：一元二次方程的应用活动规划活动1-1：出示问题，学生先独立分析，列出方程并整理活动1-2：对比三个基本方程，找出各方程的共同点，得出一元二次方程的特点，并给出定义活动1-3：练习，学生判断给出的方程是否是一元二次方
21、程，并详细说明理由活动1-4：一元二次方程的一般表示形式及各部分名称活动2-1：出示课本前言问题，探索解一元二次方程的思路降次活动2-2：探索特殊方程x2=p的解法活动2-3：探索特殊方程（x+n）2=p的解法活动2-4：解形如x2+px+q=0的方程活动2-5：解二次项系数不等于1时的特殊方程活动2-6：课堂小结，强化学生对配方法基本内容的理解活动3-1：对一般形式的一元二次方程进行配方活动3-2：观察配方结果，讨论根的情况，得到根的判别式活动3-3：得出求根公式活动3-4：应用求根公式解方程活动3-5：自主探究求根公式x1，2=-bb24ac2a中，x1+x2和x1x2的值活动3-6：课堂
22、小结，以达到学生对本知识点的深层次理解活动4-1：复习因式分解法的各种方法活动4-2：用提取公因式法解方程活动4-3：用平方差、完全平方公式等公式法进行因式分解进而解方程活动4-4：小结用因式分解法解方程的步骤活动5-1：传播问题活动5-2：增长率问题表5“一元二次方程”单元教学活动规划项目学习目标评估证据具体内容（1）知道一元二次方程的特征，并能做出正确判断（2）会把方程转化为一般形式，并能说出一般形式中的各部分名称（3）通过对实际问题进行具体分析，找出等量关系，感知一元二次方程在生活中的应用（1）将下列方程化为一般形式，并说出各部分名称：5x2-1=4x4x2=814x（x+2）=25（2
23、）根据下列问题，列出一元二次方程并按要求完成填空：阳光小区准备开辟一块长方形菜园，要求开辟的面积为900m2，长比宽多8m，求菜园的长宽分别是多少？分析：设菜园的宽为x，则方程为，化为一般形式为。其中二次项的系数为，一次项的系数为，常数项为。（3）思考：一元二次方程和二元一次方程的共同点和不同点是什么？用自己的话说一说表6第一课时“一元二次方程的定义”教学设计572023年第10期总第87期进生的成绩有所提高，缩小了班级学生数学成绩之间的差异。2.有利于学生深刻地理解知识基于UbD理论的单元整体教学的目的是让学生在学习的过程中达成真正的理解。通过问卷调查、课上对学生提问及课后习题的完成情况，发
24、现学生不仅会用所学知识去解决问题，还能说出知识的来源及关联性，实现了对知识的深层次理解。3.有利于学生学习兴趣的提高基于UbD理论的单元整体教学设计从单元的角度分析，联系旧知对整个单元的知识进行架构，加深知识之间的联系，帮助学生形成完整的知识结构。整体性的设计不仅能完整地呈现单元的知识点，还能把知识点联系起来，如有部分学生能够把一元二次方程和之前的一元一次方程联系起来，这种知识建构能力对之后学生学习二次函数也有很大助益。通过把前后知识联系起来，学生发现自己在课堂上能够听懂了，对数学的学习也就越来越有兴趣了。总之，基于UbD理论的单元整体教学设计为核心素养导向的课堂变革提供了极具操作性的路径，能
25、够指导教师在初中数学教学中开展单元整体教学，以更好地帮助学生梳理数学知识之间的内在逻辑关系，提高学生的学习兴趣和学习效果，发展学生的数学核心素养。参考文献：1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022：86.2李保勤.学习科学到教学实践变革的有效设计：UbD新的使命J.教育理论与实践，2021（31）：59-64.3威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计M.2版.闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2017.4李润洲.指向学科核心素养的教学设计J.课程教材教法，2018（7）：35-40.5张萍，白雪峰.布鲁姆教育目标分类理
26、论与初中数学教学设计：以“平方差公式”一课的教学实践与反思为例J.华夏教师，2020（3）：32-34.（责任编辑：潘安）项目教学过程作业设计具体内容活动1：出示问题，学生独立思考，列出方程并整理问题1：长50厘米、宽25厘米的矩形铁皮，要从矩形的四个角处分别切去四个同样大小的正方形，使剩下的部分可以做成底面积为3600cm2的无盖方盒。那么铁皮各角要切去的正方形的边长是多少？问题2：学校要组织篮球赛，参赛的队伍两两比赛，每两个班赛一场，一共举行了28场比赛，则学校应该邀请多少支球队？学生分析问题，找出其中的等量关系并列方程。教师引导学生回想一元一次方程的整理方法，并据此整理所列方程，得到两个
27、方程：x2-75x+350=0，x2-x=56活动2：对比问题1和问题2得到的方程，找出方程的共同点，得出一元二次方程的定义对比整理后得到的两个方程（x2-75x+350=0，x2-x=56），教师先提问这两个方程中有哪几个性质是共同的，之后师生共同总结活动3：判断方程是否是一元二次方程出示题目，要求学生判断方程是否为一元二次方程，如果不是请说明原因活动4：一般形式及各部分名称教师介绍，通过通分、合并同类项等方法可以直接把一元二次方程转化为一般表示形式ax2+bx+c=0（a0），并指出ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。之后教师提问：为什么a0？b和c能是0吗？学生自由回答。最后教师请学生将3x（x-1）=5（x+2）转化为一般形式，并指出它的各部分名称。学生独立完成后，教师用展台展示生的答案并讲解，重点讲解转化的步骤并板书课堂作业：评估小页子家庭作业：课本习题及练习册续表58
