1、2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数 学本试卷共4页，19小题，满分150分考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号解答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合，集合，则（ ）ABCD2某地区5000名学生的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为18
2、00，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）A200B700C1400D25003若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线已知双曲线的标准方程为，则的共轭双曲线的离心率为（ ）ABCD24函数（）在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）ABCD5已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ ）ABCD6已知数列满足，则（ ）A1B2C3D47已知为平面外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A存在直线，使得，B存在直线，使得，C存在直线，使得，D存在直线，使得，8已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
3、ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（ ）A相关系数变小B经验回归方程斜率变小C残差平方和变小D决定系数变小10设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）AB以为直径的圆与相切C以为直径的圆过坐标原点D为直角三角形11设函数，则下列结论正确的是（ ）A为奇数时，在单调递增B为奇数时，在有一个极值点C
4、为偶数时，在单调递增D为偶数时，的最小值为0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为_13公式，其等号右侧展开式共有3类非同类项，的展开式共有6类非同类项；那么的展开式共有_类非同类项，的展开式共有_类非同类项14锐角中，边上的高为4，则面积的取值范围为_四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）如图，在三棱台中，平面，（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值16（15分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1
5、分球的概率为，摸到2分球的概率为（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率17（15分）（1）证明：；（2）若，利用（1）结合自己所学知识，求18（17分）已知椭圆的右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为；菱形内接于椭圆（1）求椭圆的标准方程；（2）（）坐标原点在边上的投影为点，求点的轨迹方程；（）求菱形面积的取值范围19（17分）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立证明分为下面两个步
6、骤：1证明当（）时命题成立；2假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”用带余除法可表示为：被除数除数商余数，即，整数是商如，则；再如，则当时，则称整除现从序号分别为，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是（1）求；（2）当时，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归
7、纳法证明唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学参考答案一、选择题：14DBAC 58CDBD二、多选题：9BC 10AC 11ABD三、填空题：12 1310，（前空2分，后空3分） 14四、解答题：（若有其他解法，请参照给分）15解：（1）因为平面，平面，所以，作交于点，在等腰梯形中，所以在中，所以，在中，由余弦定理得，所以，从而有，又，所以平面，因为平面，所以（2）以为原点，、分别为轴、轴正向，建立空间直角坐标系如图所示，则，因为平面，所以为面的一个法向量设为面的法向量，则，即取，则依题意，所以平面与平面夹角的余弦值为16解：（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2
8、，3，4，所以的分布列为：234所以（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”，当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则；当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则；故即乙获得奖励的概率为17解：（1）（2）由（1）可知，即是方程的一个实根令，显然，当时，所以在上单调递减，又，所以，即18解：（1）根据题意设椭圆的标准方程为，由已知得，解得，所以椭圆的标准方程为：（2）依题意设直线方程为，由，得，由题意，则，所以（）四边形为菱形，即为点到直线的距离，所以点的轨迹方程为：（）因为，的面积令，则，当时，当时，所以由对称性可知菱形面积等于面积的4倍，所以菱形面积的取值范围为19
9、解：（1）因为，所以（2）因为，且，所以，故当时，递推关系式的实际意义：当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过如新环序号对应的是原环中的，新环序号对应的是原环中的也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即（3）由题设可知，由（2）知；由此推测，当（）时，下面用数学归纳法证明：1当时，推测成立；2假设当（，且）时推测成立，即由（2）知（）当时，；（）当时，此时，即故当时，推测成立综上所述，当（）时，推测成立
