《概率论与数理统计》课件第6章.pptx

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1、第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念6.1 6.1 基本概念基本概念6.2 6.2 抽样分布抽样分布习题习题第 6 章数理统计的基本概念数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。数理统计的内容包括:如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断。数理统计的重要分支有统计推断、试验设计、多元分析等，其具体方法甚多，应用相当广泛，已成为各学科从事科学研究及生产、经济等部门进行有效工作的必不可少的数学工具。第 6 章数

2、理统计的基本概念本章从数理统计的基本概念开始，讨论抽样分布及其重要定理，这些抽样分布及其重要定理在概率论中尚未提到，而在数理统计中会经常遇到。第 6 章数理统计的基本概念6.1 基基本本概概念念1.总体与个体总体与个体定定义义 1 称研究对象的全体为总体，它是一个随机变量 X;称组成总体的元素为个体。第 6 章数理统计的基本概念例如:把某学校某年级的学生视为一个总体，则每个学生为个体;把某批灯泡视为一个总体，则每个灯泡为个体;把某地区在某季节的日平均气温视为一个总体，则其中某天的日平均气温为个体。在数理统计中，我们总是对总体的一个或几个数量表征进行研究，如学生的身高(单位:米)、灯泡

3、的寿命(单位:小时)、日平均气温(单位:摄氏度)等，其取值都是一个随机变量 X，因而经常将总体说成总体 X。对总体 X 的研究就归结为讨论随机变量 X 的分布(分布函数或分布律或概率密度)及其主要的数字特征(数学期望 EX 和方差 DX)的研究。第 6 章数理统计的基本概念2.简单随机样本简单随机样本实际中，总体的分布一般是未知的，或者只知道它具有某种形式而其中包含着未知参数，因而在对总体进行研究时，只可能从总体中抽取部分个体来做研究，这样的部分个体称为样本。通过从样本的观察或试验结果的特性对总体的特征作出估计和推断，一方面自然要研究应该怎样从总体中抽取样本，使得样本在尽可能大的程度上反映总

4、体的特征，另一方面必须建立一整套的方法，使得观察者能根据所选取的样本的性质，对总体的特性进行估计与推断。因此，所抽取的样本必须是随机的，即每一个个体都有同等概率被抽到，而且彼此独立，与总体具有相同的分布，从而有以下定义。第 6 章数理统计的基本概念定义定义 2 称相互独立且与总体 X 同分布的随机变量 X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，简称样本。称样本 X 1，X 2，X n 的一组取值 x 1，x 2，x n 为该样本的一组样本值。设总体 X 的分布函数为 F(x)，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的一个样本，则 X 1，X 2，X n的分布函

5、数都是 F(x)，从而 n 维随机变量(X 1，X 2，X n)的联合分布函数为第 6 章数理统计的基本概念设总体 X 的分布律为 P(X=x)=p(x)，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的一个样本，则 X 1，X 2，X n的分布律都是 P(X i=x)=p(x)，从而 n 维随机变量(X 1，X 2，X n)的联合分布律为第 6 章数理统计的基本概念设总体 X 的概率密度为 f(x)，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的一个样本，则 X 1，X 2，X n的概率密度都是 f(x)，从而 n 维随机变量(X 1，X 2，X n)的联合概率密度为第 6 章数理统计的基本概念第

6、6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念 3.经验分布函数经验分布函数由于总体的分布通常是未知的，因此人们总希望通过样本对总体的分布有比较清晰的掌握，经验分布函数就是基于这种思想的分布函数。第 6 章数理统计的基本概念定义定义 3 设 X 1，X 2，X n是来自总体 X 的一个样本，x 1，x 2，xn 是样本 X 1，X 2，X n的一组样本值，将其从小到大排列，并重新编号为 x(1)x(2)x(n)，则称函数为总体 X 的经验分布函数。第 6 章数理

7、统计的基本概念需要指出的是，若在 F n(x)的定义中将样本值换成对应的样本，则当 n 固定时，它是一个随机变量，此时仍称之为总体 X 的经验分布函数。所以用样本值定义的 F n(x)其实是经验分布函数的观察值，在不致混淆的情况下统称为总体 X 的经验分布函数。第 6 章数理统计的基本概念例例 66 设总体 X 的一组样本值为 1、2、3，试求总体 X 的经验分布函数 F 3(x)。解解由(6.1.4)式，得第 6 章数理统计的基本概念例例 67 设总体 X 的一组样本值为 1、1、2，试求总体 X 的经验分布函数 F 3(x)。解解由(6.1.4)式，得对于经验分布函数 F n(x)

8、，Glivenko(格里汶科)于 1933 年证明了以下结论。第 6 章数理统计的基本概念定理定理 1 对于任意实数 x，当 n 时，F n(x)以概率 1 一致收敛于总体 X 的分布函数 F(x)，即由定理 1 知，对于任意实数 x，当 n 充分大时，经验分布函数的任一观察值 F n(x)与总体 X 的分布函数 F(x)只有微小的差别，从而在实际中可将其当做 F(x)使用。第 6 章数理统计的基本概念 4.统计量统计量我们知道，通过观察样本或试验结果的特性可以对总体的特征作出估计和推断，但是样本带来的信息是零散的，不系统的，要真正通过样本带来的信息研究总体的特征，就必须对这些信息进行加工

9、、整理，使之系统化，这个过程便引出了统计量的概念。第 6 章数理统计的基本概念定义定义 4 设 X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的一个样本，g(x 1，x 2，x n)为已知连续函数，且g(x 1，x 2，x n)中不含总体 X 的任何未知参数，则称 g(X 1，X 2，X n)为总体 X 的一个统计量。设 x 1，x 2，x n 是样本 X 1，X 2，X n的一组样本值，则称g(x 1，x 2，x n)为统计量 g(X 1，X 2，X n)的样本值。由于样本 X 1，X 2，X n是随机变量，因此 g(X 1，X 2，X n)是随机变量的函数，从而统计量是一个随机变量。第 6 章

10、数理统计的基本概念定义定义 5 设 X 1，X 2，X n为来自总体 X 的一个样本，x 1，x 2，x n是样本X 1，X 2，X n的一组样本值，则有如下定义。(1)样本均值:样本均值的样本值:第 6 章数理统计的基本概念(2)样本方差:样本方差的样本值:第 6 章数理统计的基本概念(3)样本标准差:样本标准差的样本值:第 6 章数理统计的基本概念(4)样本 k 阶(原点)矩:样本 k 阶(原点)矩的样本值:第 6 章数理统计的基本概念(5)样本 k 阶中心矩:样本 k 阶中心矩的样本值:第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第

11、 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念6.2 抽抽样样分分布布在使用统计量进行统计推断时常常需要知道它的分布，当总体的分布已知时，它的分布是确定的，然而要求出它的精确分布，一般来说是困难的。定定义义 1 称统计量的分布为抽样分布。为了研究抽样分布，下面先介绍四大基础分布。第 6 章数理统计的基本概念1.四大分布四大分布1)标准正态分布:XN(0，1)在概率论中，标准正态分布作为重要分布已经

12、作了重点讨论，在此需要补充数理统计中重要的上分位点的概念。定定义义 2 对于给定的正数 (0 1)，如果点 z 满足条件则称点 z 为 X N(0，1)的上分位点。第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念图 61第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念即当 n=k+1 时，(6.2.2)式成立。故由数学归纳法知，的概率密度为(6.2.2)式。f(x)的图形如图 62 所示。图 62第 6 章数理统计的基本概念图 63第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数

13、理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念故 T 的概率密度为 f(t)的图形如图 64 所示。显然，f(t)随 n 发生变化，且 f(t)是偶函数，其图形关于 t=0 对称。当 n 时，f(t)趋于标准正态分布的概率密度 (t)，即但当 n 较小时，t 分布与标准正态分布差异很大。第 6 章数理统计的基本概念图 64第 6 章数理统计的基本概念定义定义 5 对于给定的正数 (0 1)，如果点 t(n)满足条件则称点 t(n)为 T t(

14、n)的上分位点。由于 0 1，因此 01-45 时，就用 t 分布近似于标准正态分布，从而得到 t(n)z 。4)F 分布:FF(n 1，n 2)第 6 章数理统计的基本概念的分布为服从参数为(n 1，n 2)的 F 分布，记为 F F(n 1，n 2)。第 6 章数理统计的基本概念f(y)的图形如图 66 所示。第 6 章数理统计的基本概念图 66第 6 章数理统计的基本概念定义定义 7 对于给定的正数 (0 1)，如果点 F (n 1，n 2)满足条件则称点F (n 1，n 2)为 F F (n 1，n 2)的上分位点。由于 0 1，因此 01-1，从而有上 1-分位点 F 1

15、-(n 1，n 2)，如图 67所示。第 6 章数理统计的基本概念图 67第 6 章数理统计的基本概念对于不同的、n 1 及 n 2，上分位点的值已制成表格(见附表 5)，可以直接查表。例如，对于 =0.05，n 1=9，n 2=12，查得 F 0.05(9，12)=2.80。F 分布具有以下性质。证证明明由 F 分布的定义可直接推得。第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念在实际应用中，我们常常会遇到正态总体，四大分布在正态总体中会演变出如下的八大分布。第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计

16、的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计

17、的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念习习题题 6习题 6第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本概念第 6 章数理统计的基本

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