1、第1章概率论与数理统计第 1 章 概率论与数理统计1.11.1随机现象与随机试验随机现象与随机试验1.21.2样本空间与随机事件样本空间与随机事件1.31.3概率及其性质概率及其性质1.4 1.4 古典概率古典概率1.5 1.5 几何概率几何概率1.6 1.6 条件概率与概率的三大公式本章条件概率与概率的三大公式本章1.7 1.7 事件的独立性事件的独立性习题习题 1 1第1章概率论与数理统计1.1 随机现象与随机试验随机现象与随机试验自然界和社会中发生的现象是多种多样的。有一类现象在一定条件下出现的结果是确定的(如向空中抛一石子必然下落，同性电荷必然相互排斥等)，这类现象称为确定性现象。第1
2、章概率论与数理统计还有一类现象，在一定条件下出现的结果是不确定的，即可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果(例如：投掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次投掷之前无法确定投掷的结果是什么；一门大炮向同一目标射击，各次弹着点不尽相同，在一次射击之前无法知道弹着点的确切位置，等等)，这类现象称为随机现象。对于随机现象，人们经过大量的重复试验和观察，发现它呈现出其固有的规律性，称之为统计规律性，概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。第1章概率论与数理统计通常，对一个现象的认识，需要通过科学试验来完成，对随机现象的认识也不例外。下面我们举一些该类试验
3、的例子，以期给出随机试验的定义。例例 11 掷一枚硬币，观察正面 H 和反面 T 出现的情况。例例 12 掷一枚硬币三次，观察正面 H 和反面 T 出现的情况。例例 13 掷一枚骰子，观察出现的点数。例例 14 袋中装有 5 只球，其中 3 只红球，2 只白球，从袋中任取 1 只球，观察取出的球的颜色。例例 15 在一批产品中任取 1 件，观测它的寿命。第1章概率论与数理统计撇开以上例子的具体含义，可以发现它们有着共同的特点。在例 11 中，试验有两种可能的结果，出现正面 H 或者反面 T，在掷硬币之前不能确定出现正面 H 还是出现反面T，这个试验可以在相同的条件下重复地进行。概括起来，这些试
4、验具有以下特点：(1)可以在相同的条件下重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且可以事先明确试验的所有可能结果；(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。称具有上述三个特点的试验为随机试验。第1章概率论与数理统计1.2 样本空间与随机事件样本空间与随机事件1.样本空间样本空间对于随机试验来说，由于可以事先明确试验的所有可能结果，因此称随机试验所有可能结果的集合为随机试验的样本空间，记为 。称随机试验中一个可能结果为一个样本点，记为 ，从而样本空间就是样本点的集合，即 =。下面给出 1.1 节中提到的几个随机试验的样本空间：第1章概率论与数理统计 1：H，T；2：HHH，HHT，H
5、TH，THH，HTT，THT，TTH，TTT；3：1，2，3，4，5，6；4：红，白；5：tt 0。第1章概率论与数理统计2.随机事件随机事件在实际中，当进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点的出现情况。例如，在掷一枚硬币三次的随机试验中，我们关心正面至少出现两次的那些样本点，满足这一条件的样本点构成一个集合，即 HHH，HHT，HTH，THH，它是样本空间的一个子集。一般地，称随机试验的样本空间 的子集为随机试验的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当随机事件所包含的样本点中的一个样本点出现时，称这一事件发生。第1章概率论与数理统计特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本
6、事件。例如，在掷一枚骰子的随机试验中，1，2，6 都是基本事件。样本空间 包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称其为必然事件。空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称其为不可能事件。第1章概率论与数理统计例例 16 在掷一枚硬币三次的试验中：事件 A 为“第一次出现正面”，即 A=HHH，HHT，HTH，HTT；事件 B 为“三次出现同一面”，即 B=HHH，TTT。在掷一枚骰子的试验中：事件 C 为“出现的点数为偶数”，即 C=2，4，6；事件 D 为“出现的点数不超过 3”，即 D=1，2，3。第1章概率论与数理统计3.事件的运算与事件
7、间的关系事件的运算与事件间的关系由于事件是一个集合，因此事件的运算和事件间的关系可以按集合论中集合的运算和集合间的关系来处理，只不过这些运算和关系在概率论中有着相应的提法。1)事件的运算(1)和运算(和事件)：称事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的事件为事件 A 与事件 B 的和事件，记为 A B，如图 1 1 所示。第1章概率论与数理统计图 1第1章概率论与数理统计称事件 A 1，A 2，A n 中至少有一个发生的事件为 A 1，A 2，A n 的和事件，记为类似地，有第1章概率论与数理统计(2)积运算(积事件)：称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为事件 A 与事件 B 的积事件，记
8、为 A B 或 AB，如图 12 所示。称事件 A 1，A 2，A n 同时发生的事件为 A 1，A 2，A n 的积事件，记为类似地，有第1章概率论与数理统计图 12第1章概率论与数理统计(3)差运算(差事件)：称事件 A 发生而事件 B 不发生的事件为事件 A 与事件 B 的差事件，记为 A-B，如图 13 所示。图 13第1章概率论与数理统计2)事件的关系(1)包含关系(子事件)：设 A 与 B 是事件，如果事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A 是事件 B 的子事件，记为 A B，如图 14所示。图 14第1章概率论与数理统计(2)相等关系：
9、设 A 与 B 是事件，如果 A B 且 B A，则称事件 A 与事件 B 相等，记为 A=B。(3)互不相容(互斥)关系：设 A 与 B 是事件，如果事件 A 与事件 B 同时发生是不可能的，即 AB=，则称事件 A 与事件 B 是互不相容的(或互斥的)，如图 15 所示。(4)对立关系：设 A 与 B 是事件，如果 A B=，AB=，则称事件 A 与事件 B 是相互对立的，称事件 B 是事件 A 的逆事件或对立事件，记为，如图 16 所示。第1章概率论与数理统计图 15图 16第1章概率论与数理统计结合差事件与对立事件的定义，我们不难得到以下重要的结果：第1章概率论与数理统计3)运算律(1
10、)吸收律：若 A B，则 AB=B，AB=A。(2)交换律：AB=BA，AB=BA。(3)结合律：A(BC)=(AB)C，A(BC)=(AB)C。(4)分配律：A(BC)=ABAC，A(BC)=(AB)(AC)。(5)对偶律：第1章概率论与数理统计例例 17 在例 16 中，有A B=HHH，HHT，HTH，HTT，TTT A B=HHH B-A=TTT A B=THT，TTH，THH 第1章概率论与数理统计例例 18 设 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求 A 的对立事件 A 及其所表示的意义。解解 设 A 1 表示“甲种产品畅销”，A 2 表示“乙种产品畅销”，则从而有所以 表
11、示事件“甲种产品滞销或乙种产品畅销”第1章概率论与数理统计1.3 概率及其性质概率及其性质对于一个事件(除必然事件与不可能事件外)，在一次试验中可能发生也可能不发生。我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大，因而需要把它用一个合适的数来表征，而这个数就是我们所要讨论的事件的概率。第1章概率论与数理统计1.频率频率定义定义 1 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 n A称为事件 A 发生的频数，比值 n A/n 称为事件 A 发生的频率，记为 f n(A)，即第1章概率论与数理统计由频率的定义知，频率具有下述性质：(1)0 f n (A
12、)1；(2)f n()=1；(3)若 A 1，A 2，A n 是两两互不相容的事件，则第1章概率论与数理统计由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，因此其大小表示了事件发生的频繁程度。频率愈大，事件发生就愈频繁。这意味着事件在一次试验中发生的可能性就愈大，反之亦然。但大量的试验证明，频率具有随机波动性，致使频率不能成为概率。同时，大量的试验也证明，频率具有稳定性，因此频率可以揭示概率，其稳定值就是事件在一次试验中发生的概率，从而产生了概率的公理化定义。第1章概率论与数理统计2.概率概率定义定义 2 设 是随机试验的样本空间，若对于随机试验的每一个随机事件 A 都有一个实数 P(A)与之
13、对应，且 P(A)满足下列三个条件：(1)非负性：设 A 是事件，则 P(A)0；(2)规范性：P()=1；(3)可列可加性：设 A 1，A 2，A n，是两两互不相容的事件，即 A i A j=(i j；i，j=1，2，)，有P(A 1A 2 A n)=P(A 1)+P(A 2)+P(A n)+(1.3.1)则称 P(A)为事件 A 的概率。第1章概率论与数理统计3.概率的性质概率的性质性质性质 1 P()=0。证明证明 取 A n=(n=1，2，)，则 =，且 A i A j=(i j；i，j=1，2，)，由概率的可列可加性，得由概率的非负性知 P()0，再结合上式知 P()=0第1章概率
14、论与数理统计性质性质 2(有限可加性)设 A 1，A 2，A n 是两两互不相容的事件，即 A i A j=(i j；i，j=1，2，n)，则证明证明 取 A n+1=A n+2=，则 A i A j=(i j；i，j=1，2，)。由(1.3.1)式，得第1章概率论与数理统计性质性质 3(减法公式)设 A、B 是事件且 A B，则P(B-A)=P(B)-P(A)(1.3.3)从而 P(A)P(B)。证明证明 由于 A B，因此B=A (B-A)，且 A(B-A)=由概率的有限可加性，即(1.3.2)式，得P(B)=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A)再由概率的非负性知，P(
15、B-A)0，即 P(A)P(B)。第1章概率论与数理统计在性质 3 中，我们假设 A B，如果去掉这个条件，那么是否还有减法公式呢?对此我们有下面的结论：设 A、B 是随机事件，则证明证明 事实上，由于 B-A=AB=B-AB，且 AB B，因此即第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计性质性质 6(加法公式)设 A、B 是事件，则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)(1.3.4)证明证明 由于由(1.3.2)式及(1.3.3)式得P(AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)第1章概率论与数理统计(1.3.4)式还能推广到多个事件的情况。例如，设 A、B、C
16、为任意三个事件，则有P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)(1.3.5)一般地，设 A 1，A 2，A n 是事件，利用归纳法可以证明第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计又由于故第1章概率论与数理统计例例 19 设 A、B 是随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求 P(AB)。解解 由于 P(A-B)=P(A)-P(AB)，因此 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.3=0.4，从而第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计1.4 古古 典典 概概 率率1.古
17、典概型古典概型设随机试验的样本空间 =1，2，n，n 为有限的正整数，且每个基本事件 i(i=1，2，n)发生的可能性相同，则称这种随机试验为古典概型，或称等可能概型。第1章概率论与数理统计2.古典概率古典概率设随机试验的样本空间 =1，2，n，由于每个基本事件发生的可能性相同，即又由于基本事件是两两互不相容的，因此第1章概率论与数理统计若事件 A=i1，i 2，i k(1 i 1，i 2，i k n)，则 A 包含 k 个基本事件，即所以事件 A 的概率为从而得到古典概率的计算公式为：第1章概率论与数理统计例例 112 将 C、C、E、E、I、N、S 这七个字母随机地排成一行，求恰好组成英文
18、单词SCIENCE 的概率。解解 样本空间基本事件总数为 n=7!，有利于所求事件发生的基本事件数为 k=22=4，故所求的概率为第1章概率论与数理统计例 113 把 10 本书随机地放在书架上，求其中指定的 5 本书放在一起的概率。解解 样本空间基本事件总数为 n=10!，有利于所求事件发生的基本事件数为 k=6!5!(其中，6!是指把 5 本书看成一本书并与其他 5 本书在 6 个位置上全排列，5!是指这 5 本书在 5 个位置上全排列)，故所求的概率为第1章概率论与数理统计例例 14 袋中有壹分、贰分和伍分的硬币各 5 枚、3 枚和 2 枚，现从中随机地取 5枚，试求得到的钱额总数超过壹
19、角的概率。解解 样本空间基本事件总数为有利于所求事件发生的基本事件数可分两种情形：(1)取 2 枚伍分，其余 3 枚任取，其种数为第1章概率论与数理统计(2)取 1 枚伍分，则贰分至少要取 2 枚，其种数为 从而有利于所求事件发生的基本事件数为故所求的概率为第1章概率论与数理统计例例 115 有 6 件产品，其中有 3 件是次品。从中任取 3 件，求其中恰有 2 件次品的概率。解解 样本空间基本事件总数为，有利于所求事件发生的基本事件数为 k=，故所求的概率为第1章概率论与数理统计例例 116 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班级中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生，试求：(1)
20、每个班级各分配到 1 名优秀生的概率；(2)3 名优秀生分配到同一班级的概率。解解 样本空间基本事件总数为(1)将 3 名优秀生分配到 3 个班级使每个班级都有 1 名优秀生的分法共 3!种。对于每一种分法，其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有种，从而有利于所求事件发生的基本事件数为 第1章概率论与数理统计故所求的概率为第1章概率论与数理统计(2)将 3 名优秀生分配在同一班级的分法共有 3 种。对于每一种分法，其余 12 名新生的分法(一个班 2 名，另外两个班各 5 名)有种，从而有利于所求事件发生的基本事件数为，故所求的概率为第1章概率论与数理统计例例 117 袋中有 6
21、 只球，其中 4 只白球，2 只红球。从袋中取球两次，每次取 1 只。(1)第一次取 1 只球，观察颜色后放回袋中，搅匀后再取 1 只球，这种取球方式叫做放回抽样。(2)第一次取 1 只球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取 1 只球，这种取球方式叫做不放回抽样。第1章概率论与数理统计试分别就上面两种情况求：取到的 2 只球都是白球的概率；取到的 2 只球颜色相同的概率；取到的 2 只球中至少有 1 只是白球的概率。解解 设 A、B、C 分别表示事件“取到的 2 只球都是白球”、“取到的 2 只球都是红球”、“取到的 2 只球中至少有 1 只是白球”，则事件“取到的 2 只球颜色相同”为 A B
22、，且 C=B，AB=。第1章概率论与数理统计(1)放回抽样。样本空间基本事件总数为有利于事件 A发生的基本事件数为有利于事件 B 发生的基本事件数为，故从而第1章概率论与数理统计(2)不放回抽样。样本空间基本事件总数为，有利于事件 A发生的基本事件数为有利于事件 B 发生的基本事件数为故而第1章概率论与数理统计例例 118 有 10 件产品，其中有 5 件是次品。从中任取 3 件，求其中有次品的概率。解解 方法一：设 A 表示事件“取出的 3 件产品中有次品”，A i(i=1，2，3)表示事件“取出的 3 件产品中恰有 i 件次品”，则 A=A 1 A 2 A 3，且 A i A j=(i j
23、；i，j=1，2，3)，且第1章概率论与数理统计故所求的概率为方法二：设 A 表示事件“取出的 3 件产品中有次品”，则 A 表示事件“取出的 3 件产品中没有次品”，且所求的概率为第1章概率论与数理统计例例 19 从 1，2，9 这 9 个数字中，有放回地取三次，每次任取 1 个数字，求所取出的 3 个数之积能被 10 整除的概率。解解 设 A 表示事件“所取的 3 个数中含有数字 5”，B 表示事件“所取的 3 个数中含有偶数”，C 表示事件“所取的 3 个数之积能被 10 整除”，则C=AB故第1章概率论与数理统计例例 120 将 n 只球随机地放入 N(N n)个盒子中，试求每个盒子中
24、至多有 1 只球的概率(设盒子的容量不限)。解 将 n 只球放入 N 个盒子中，每一种方法是一个基本事件，因为每一只球都可以放入 N 个盒子中的任一个，故共有 N N N=N n 种不同的方法，而每个盒子中至多放一只球共有 N(N-1)N-(n-1)种不同的方法，故所求的概率为第1章概率论与数理统计事实上，有许多问题和例 1 20 具有相同的数学模型。例如，假设每人的生日在一年365 天中任一天是等可能的，即概率都等于1365，那么随机选取 n(n 365)个人，他们的生日各不相同的概率为第1章概率论与数理统计例例 121 袋中有 a 只白球，b 只红球，k 个人依次在袋中取 1 只球，分别：
25、(1)做放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球(记为事件 B)的概率。解解(1)放回抽样的情况下，显然有第1章概率论与数理统计(2)不放回抽样的情况：样本空间基本事件总数为(a+b)(a+b-1)(a+b-k+1)，有利于事件 B 发生的基本事件数为 a(a+b-1)(a+b-2)(a+b-1-(k-1)+1)(事实上，当事件 B 发生时，第 i 人取的应是白球，可以在 a 只白球中任取 1 只，有 a种取法，其余被取的 k-1 只球可以是剩下的 a+b-1 只球中的任意 k-1 只，共有(a+b-1)(a+b-2)(a+b-1-(k-1)+1)种取法)，从而所求的
26、概率为第1章概率论与数理统计值得注意的是：一是 P(B)与 i 无关，即 k 个人取球，尽管取球的先后顺序不同，各人取到白球的概率是一样的，这就是著名的“抽签原则”；二是在放回抽样的情况下与在不放回抽样的情况下，P(B)是一样的。第1章概率论与数理统计例例 122 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知这 12 次接待都是在周二和周四进行的，是否可以推断接待时间是有规定的?解解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天去接待站是等可能的，则 12 次来访都在周二和周四的概率为第1章概率论与数理统计人们在长期的实践中总结得到“实际推断原理”：“实际上，概率很小的事件在一次试验
27、中几乎是不发生的”。现在，概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。第1章概率论与数理统计1.5 几几 何何 概概 率率古典概率是基于样本空间为有限集，每个基本事件发生的可能性相等的古典概型。如果样本空间是无限集，那么我们就不能用古典概率的计算公式来计算该随机试验中随机事件的概率，对古典概率进行推广便得到以下的几何概率。第1章概率论与数理统计1.直线线段上的几何概率直线线段上的几何概率定义定义 1 设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点，若投中线段l上的点的数目与该线段的长度成正比，而与该
28、线段 l 在线段 L 上的相对位置无关，则点投中线段 l的概率 p 为第1章概率论与数理统计2.平面区域上的几何概率平面区域上的几何概率定义定义 2 设平面区域 g 是平面区域 G 的一部分，向平面区域 G 上任投一点，若投中平面区域 g 上的点的数目与该平面区域的面积成正比，而与该平面区域 g 在平面区域 G 上的相对位置无关，则点投中平面区域 g 的概率 p 为第1章概率论与数理统计3.空间区域上的几何概率空间区域上的几何概率定义定义 3 设空间区域 v 是空间区域 V 的一部分，向空间区域 V 上任投一点，若投中空间区域 v 上的点的数目与该空间区域的体积成正比，而与该空间区域 v 在空
29、间区域 V 上的相对位置无关，则点投中空间区域 v 的概率 p 为第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计图 17第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计图 18第1章概率论与数理统计例例 125 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率。解解 设 x、y 分别为甲、乙两船的到达时间(单位：小时)，则 0 x 24，0 y 24，样本空间为第1章概率论与数理统计其面积为 242。由题设知：若甲船先到，则乙船必须晚一小时到达，即 y x+1；若乙船先
30、到，则甲船必须晚两小时到达，即 x y+2。于是，有利于所求事件发生的基本事件构成集合为 A 1 A 2(如图 19 所示)，其面积和为 12(232+22 2)，故所求的概率为第1章概率论与数理统计1.6 条件概率与概率的三大公式条件概率与概率的三大公式1.条件概率条件概率条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念，它考虑的是在一个事件发生的条件下某事件发生的概率问题。第1章概率论与数理统计例例 26 掷一枚硬币两次，观察其出现正、反面的情况，设正面为 H，反面为 T。事件 A 表示“至少有一次出现 H”，事件 B 表示“两次掷出同一面”。已知事件 A 已经发生，求事件B 发生的概率。解解 样
31、本空间 =HH，HT，TH，TT，A=HH，HT，TH。已知事件 A 已发生，则样本点 TT 不可能出现，从而试验中所有可能结果所构成的集合就是 A。A 中共有 3 个样本点，其中只有 HH B，所以在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率为第1章概率论与数理统计在这里，我们看到)。这是很容易理解的，因为在求 P(BA)时是限制在事件 A 已经发生的条件下考虑事件 B 发生的概率。由于因此这样的结果具有一般性，从而可以给出条件概率的一般性定义。第1章概率论与数理统计定义定义 1 设 A、B 是事件，P(A)0，称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。需要指出的是，条件概率
32、 P(A)符合概率公理化定义中的三个条件，即(1)非负性：设 B 是事件，则 P(B A)0；(2)规范性：P(A)=1；(3)可列可加性：设 B 1，B 2，B n，是两两互不相容的事件，则第1章概率论与数理统计既然条件概率符合上述三个条件，那么对概率所证明的一切结果都适用于条件概率。例如，设 A、B、C 是事件，且 0 P(A)0(i=1，2，n)；第1章概率论与数理统计则称事件 B 1，B 2，B n 为样本空间 的一个划分。若 B 1，B 2，B n 为样本空间 的一个划分，则对每次试验，事件 B 1，B 2，B n 中必有一个且仅有一个发生。第1章概率论与数理统计例例 134 在掷一
33、枚骰子的试验中，其样本空间为 =1，2，3，4，5，6，则 B 1=1，2，B 2=3，4，5，B 3=6 就是样本空间 的一个划分。定定理理 1(全概率公式)设 为随机试验的样本空间，A 为随机事件，B 1，B 2，B n为样本空间 的一个划分，则第1章概率论与数理统计证明证明 由于第1章概率论与数理统计 3)Bayes(贝叶斯)公式定定理理 2(Bayes 公式)设 为随机试验的样本空间，A 为随机事件，B 1，B 2，B n为样本空间 的一个划分，且 P(A)0，P(B i)0(i=1，2，n)，则第1章概率论与数理统计证明证明 由条件概率的定义及全概率公式，得特别地，在(1.6.4)式
34、和(1.6.5)式中取 n=2，并将 B 1 记为 B，则 B 2 就是 B，那么全概率公式和 Bayes 公式分别成为这两个公式是常用的。第1章概率论与数理统计例例 135 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽 1 个，抽出后不再放回。求第二次抽出的是次品的概率。解解 方法一：设 A i(i=1，2)表示事件“第 i 次抽到次品”，由“抽签原则”，得方法二：设 A i(i=1，2)表示事件“第 i 次抽到次品”，由全概率公式，得第1章概率论与数理统计例例 136 假设有两箱同种零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装30 件，其中 18 件一等品
35、。现从两箱中随意地挑出一箱，然后从该箱中先后随机地取 2 个零件，取出的零件不再放回，试求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。第1章概率论与数理统计解解 设 H i(i=1，2)表示事件“被挑出的是第 i 箱”，A j(j=1，2)表示事件“第 j 次取出的零件是一等品”，则第1章概率论与数理统计(2)由条件概率的定义及全概率公式，得第1章概率论与数理统计例例 137 某工厂有 4 个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的 15%、20%、30%、35%，各车间的次品率分别为 0.05、0.04、0.03、0.02。现从
36、出厂产品中任取 1件，求：(1)取出的产品是次品的概率;(2)若取出的产品是次品，它是一车间生产的概率。第1章概率论与数理统计解解 设 B i(i=1，2，3，4)表示事件“取出的产品是第 i 车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，则(1)由全概率公式，得第1章概率论与数理统计(2)由 Bayes 公式，得这里 P(B 1)是试验之前已经知道的概率，称为先验概率。条件概率 P(B 1 A)反映了试验后对 A 发生的一种原因(一车间情况)的可能性大小，称为后验概率。Bayes 公式是从先验概率反过来推算后验概率的公式。正因为 Bayes 公式在一定程度上能帮助人们分析事件发生的原因，因
37、此它在疾病诊断、机器故障分析、市场经济预测等方面有着广泛的应用。第1章概率论与数理统计例例 138 两台车床加工同样的零件，第一台车床出现废品的概率为 0.03，第二台车床出现废品的概率为 0.02，加工出来的零件放在一起。已知第一台车床加工的零件数是第二台车床加工的零件数的两倍，试求：(1)从加工出来的零件中任取 1 件是合格品的概率；(2)若取出来的零件是废品，它是第二台车床加工的概率。第1章概率论与数理统计解解 设 B i(i=1，2)表示事件“取出的零件是第 i 台车床加工的”，A 表示事件“取出的零件是合格品”，则第1章概率论与数理统计(1)由全概率公式，得(2)由 Bayes 公式
38、，得第1章概率论与数理统计例例 139 某工厂的一、二、三车间生产同一种产品，产量分别为 25%、35%、40%。已知一、三车间的次品率分别为 4%和 5%，全厂的次品率为 3.7%，求：(1)二车间的次品率;(2)从该厂生产的产品中任取 1 件发现是次品，它是二车间生产的概率。解解 设 B i(i=1，2，3)表示事件“取出的产品是第 i 车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，则第1章概率论与数理统计(1)由全概率公式，得解之，得 P(A B 2)=0.02，即二车间的次品率为 0.02。(2)由 Bayes 公式，得第1章概率论与数理统计例例 140 玻璃杯成箱出售，每箱 20
39、只，假设各箱中含 0、1 和 2 只残次品的概率分别为 0.8、0.1 和 0.1。一位顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意地取一箱，而顾客开箱随意查看 4 只，若没有残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。第1章概率论与数理统计解解 设 A 表示事件“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，B i(i=0，1，2)表示事件“顾客所查看的一箱玻璃杯中恰好有 i 只残次品”，则第1章概率论与数理统计(1)由全概率公式，得(2)由 Bayes 公式，得第1章概率论与数理统计1.7 事件的独立性事件的独立性设 A、B
40、 是随机试验的两个事件，若 P(A)0，则可以定义 P(B A)，一般来说，P(B A)P(B)，即 A 的发生对 B 发生的概率是有影响的。但在一定的情况下，这种影响可能不存在，即 P(B A)=P(B)，从而就有 P(AB)=P(A)P(B A)=P(A)P(B)，这就产生了事件的独立性问题。第1章概率论与数理统计例例 141 设随机试验为“掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”，A 表示事件“甲币出现正面 H”，B 表示事件“乙币出现正面 H”，则随机试验的样本空间为 =HH，HT，TH，TT，从而所以 P(B A)=P(B)，且 P(AB)=P(A)P(B)。事实上，显然甲币是否出现
41、正面与乙币是否出现正面是互不影响的。第1章概率论与数理统计定义定义 1 设 A、B 是事件，如果P(AB)=P(A)P(B)(1.7.1)则称事件 A、B 相互独立。定定理理 1 设 A、B 是事件，且 P(A)0，则 A、B 相互独立的充分必要条件是 P(B A)=P(B)。第1章概率论与数理统计证明证明 必要性：设 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)，从而充分性:设 P(B A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B A)=P(A)P(B)从而 A、B 相互独立。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计反之，设 A、B 互不相容，则 AB=。假设 A、B 相互独立，则
42、 P(AB)=P(A)P(B)，从而0=P()=P(AB)=P(A)P(B)这与 P(A)0，P(B)0 矛盾，故 A、B 不能相互独立。对于三个事件 A、B、C 相互独立有定义 2。第1章概率论与数理统计定义定义 2 设 A、B、C 是事件，如果第1章概率论与数理统计则称事件 A、B、C 相互独立。若事件 A、B、C 仅满足(1.7.2)式中前三个条件，即则称事件 A、B、C 两两独立。第1章概率论与数理统计定理定理 4 设 A、B、C 相互独立，则 A 与 BC，A 与 B C，A 与 B-C 也相互独立。证证明明 设 A、B、C 相互独立，则P(A(BC)=P(ABC)=P(A)P(B)
43、P(C)=P(A)P(BC)从而 A 与 BC 相互独立。第1章概率论与数理统计由于第1章概率论与数理统计因此 A 与 B C 相互独立。由于因此 A 与 B-C 相互独立。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计定义 3 设 A 1，A 2，A n是事件，如果 2 k n，有则称事件 A 1，A 2，A n相互独立。若事件 A 1，A 2，A n 仅满足(1.7.4)式中当 k=2 时的条件，即则称事件 A 1，A 2，A n两两独立。显然，若 A 1，A 2，A n相互独立，则 A 1，A 2，A n两两独立，但反之不然。第1章概率论与数理统计定理定理 5 设事件 A 1，A 2，A
44、n(n 2)相互独立，则(1)其中任意 k(2 k n)个事件也相互独立；(2)将其中任意 k(1 k n)个事件换成它们各自的对立事件，则得到的 n 个事件也相互独立。(3)将 A 1，A 2，A n任意分成 k(2 k n)个没有相同事件的不同小组，并对每个小组中的事件施以和、积、差和逆运算后，所得到的 k 个事件也相互独立。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计从而即故 A 与 B 相互独立。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计例例 146 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5。(1)求目标被命中的概率；(2)现已知
45、目标被命中，求它是甲射中的概率。解解 设 A 表示事件“甲射击一次命中目标”，B 表示事件“乙射击一次命中目标”，则事件“目标被命中”为 A B，且 A、B 相互独立。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计例例 147 设有 4 只同样的球，其中 3 只球上分别标有数字 1、2、3，剩下的 1 只球上同时标有数字 1、2、3。现从 4 只球中任取 1 只球，设 A i(i=1，2，3)表示事件“取出的球上标有数字 i”，证明 A 1、A 2、A 3 两两独立但不是相互独立。证明证明 由于第1章概率论与数理统计且因此 A 1、A 2、A 3 两两独立。但故 A 1、A 2、A 3不相互独立
46、。第1章概率论与数理统计例例 148 有两个盒子，其中第一个盒子中装有 3 只蓝球、2 只绿球、2 只白球，第二个盒子中装有 2 只蓝球、3 只绿球、4 只白球，独立地在两个盒子中各取 1 只球。(1)求至少有 1 只蓝球的概率;(2)求有 1 只蓝球和 1 只白球的概率;(3)已知至少有 1 只蓝球，求有 1 只蓝球和 1 只白球的概率。解解 设 A i(i=1，2)表示事件“从第 i 个盒子中取出 1 只蓝球”，B i(i=1，2)表示事件“从第 i 个盒子中取出 1 只白球”，由题设知，从不同的盒子中取球是独立的。第1章概率论与数理统计(1)所求的概率为(2)所求的概率为第1章概率论与数
47、理统计(3)所求的概率为第1章概率论与数理统计例例 149 甲、乙、丙三人同时各自独立地对同一目标进行射击，三人击中目标的概率分别为 0.4、0.5、0.7，设一人击中目标时目标被击毁的概率为 0.2，两人击中目标时目标被击毁的概率为 0.6，三人击中目标时目标必定被击毁。(1)求目标被击毁的概率;(2)已知目标被击毁，求由一人击中目标的概率。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计例例 150 一架长机和两架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地非由无线电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机独立地进行轰炸，且炸毁目标的概率均为 0.3。在到达
48、目的地之前，须经过高射炮区，此时任一飞机被击落的概率为 0.2，求目标被击毁的概率。解解 设 B i(i=0，1，2，3)表示事件“三架飞机中有 i 架通过高射炮区”，A 表示事件“目标被击毁”，则第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计习习 题题 1第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计14.第一个盒子中装有 5 只红球、4 只白球，第二个盒子中装有 4 只红球、5 只白球。先从第一个盒
49、子中任取 2 只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取 1 只球，则取到白球的概率为。15.假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，从中随意地取出 1 件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为。16.某人想买某本书，决定到 3 个书店去买。设每个书店有无此书是等可能的，如果有，是否卖完也是等可能的，且 3 个书店有无此书、是否卖完是相互独立的，则此人买到此书的概率为。第1章概率论与数理统计17.一袋子中装有 m(m 3)只白球和 n 只黑球，现丢失 1 球，不知其颜色。从袋中任取 2 只球，结果都是白球，则丢失的是白球的概率为。18.盒子中装有 4 只次品晶体管，6
50、 只正品晶体管。现逐个抽取进行测试，测试后不放回，直到 4 只次品晶体管都找到为止，则()第 4 只次品晶体管在第 5 次测试时发现的概率为;()第 4 只次品晶体管在第 10 次测试时发现的概率为。第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计第1章概率论与数理统计 5.()设 A、B、C 是三个事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求 A、B、C 中至少有一个发生的概率;()已知第1章概率论与数理统计 6.从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，试求这 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率。7.掷两枚骰子，求:()两枚骰子点数之和不超
