1、第五节一、有向曲面及曲面元素投影一、有向曲面及曲面元素投影 二、二、对坐标曲面积分概念与性质对坐标曲面积分概念与性质 三、对坐标曲面积分计算法三、对坐标曲面积分计算法四、两类曲面积分联络四、两类曲面积分联络机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标曲面积分 第十章 第1页一、有向曲面及曲面元素投影一、有向曲面及曲面元素投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面经典)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时,说明流入 流体质量少于 当 0 内,力组成力场,其中
2、k 为常数,证实在此力场中场力所作功与所取路径无关.提醒提醒:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第90页P185 10.求力沿有向闭曲线 所作功,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三提醒提醒:方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第91页设三角形区域为,方向向上,则方法方法2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第92页二、曲面积分计算法二、曲面积分计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量
3、 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:一直非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第93页思思 考考 题题1)二重积分是哪一类积分?答答:第一类曲面积分特例.2)设曲面问以下等式是否成立?不对不对!对坐标积分与 侧相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第94页2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面技巧(辅助面普通取平行坐标面平面)(3)两类曲面积分转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第95页练习练习:P185 题题4(3)其中 为半球面上侧.且取下侧,提醒提醒
4、:以半球底面原式=P185 题题4(2),P185 题题 9 一样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面,利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第96页例例3.证实证实:设(常向量)则单位外法向向量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第97页例例4.计算曲面积分其中,解解:思索思索:本题 改为椭球面时,应怎样计算?提醒提醒:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第98页例例6.计算曲面积分中 是球面解解:利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第101页例例7.设L 是平面与柱面交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面上 L 所围部分上侧,D为在 xoy 面上投影.由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 第102页D 形心机动 目录 上页 下页 返回 结束 第103页作业作业P184 3(2),(4);3(2)5 ;8机动 目录 上页 下页 返回 结束 第104页斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 第108页
