1、第一节第一节 二重积分概念及性质二重积分概念及性质一、引例一、引例二、二重积分定义二、二重积分定义三、二重积分性质三、二重积分性质1/81引例1 曲顶柱体体积.若有一个柱体，它底是Oxy平面上闭区域D，它侧面是以D边界曲线为准线，且母线平行于z轴柱面，它顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体体积.解 也分三步处理这个问题.分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:2/81其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块面积.近似、求和 记 为 直径(即 表示 中任意两点间距离最大值)，在 中任取一点
2、 ,以 为高而底为 平顶柱体体积为此为小曲顶柱体体积近似值，故曲顶柱体近似值能够取为3/81取极限 若记 ，则定义为所讨论曲顶柱体体积.4/81 一、引例解 分三步处理这个问题.引例2质量问题.已知平面薄板D面密度(即单位面积质量)随点(x,y)改变而连续改变,求D质量.分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块 和 除边界外无公共点.与一元函数情况类似，我们用符号 既表示第i个小块，也表示第i个小块面.(i=1,2,n).5/81故所要求质量m近似值为近似、求和 若记 为 直径(即 表示 中任意两点间距离最大值)，将任意一点 处密度 近似看作为整个小块 面密度.得取极限 记 ，则
3、定义为所求薄板D质量m.6/81 二、二重积分定义定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点，既表示第i小块，也表示第i小块面积.近似、求和 对任意点 ，作和式取极限 若 为 直径，记 ,若极限7/81存在，且它不依赖于区域D分法，也不依赖于点 取法，称此极限为f(x,y)在D上二重积分.记为(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).由这个定义可知，质量非均匀分布薄板D质量等于其面密度 在D上二重积分.所以二重积分 物理意义能够解释为：二重积分值等于面密度为f(x,y
4、)平面薄板D质量.8/81二重积分 几何意义：(1)若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶曲顶柱体体积.(2)若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面下 方，二重积分 值是负，其绝对值 为该曲顶柱体体积.(3)若f(x,y)在D一些子区域上为正，在D另一些 子区域上为负，则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积代数和(即在Oxy平面之上曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下曲顶柱体体积).9/81二重积分存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).10/81 三、二重积分性质 二重积分有与定积分类似性
5、质.假设下面各性质中所包括函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积.性质1 有限个可积函数代数和必定可积，且函数代数和积分等于各函数积分代数和，即性质2 被积函数中常数因子能够提到积分号前面，即11/81 性质3 若D能够分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D面积，则性质5 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有推论12/81性质6(估值定理)若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D面积，则(3)性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点 ，使(4)13/8
6、1证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能到达其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有成立.再由有界闭区域上连续函数介值定理知，存在 ，使(5)14/81 (5)式等号右边式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又能够这么说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上平均值”.故积分中值定理也是连续函数平均值定理.15/81例1 设D是圆域：，证实解 在D上，最小值m=e，最大值M=e4，而D面积S(D)=4=3.由估值公 式(3)得16/81第二节第二节 二重积分计算二重积分计算一、二重积分在直角坐标系下计算一、二
7、重积分在直角坐标系下计算二、二重积分在极坐标系下计算二、二重积分在极坐标系下计算17/81 一、二重积分在直角坐标系下计算二重积分计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分几何意义来引出这种计算方法.在直角坐标系中，假如用平行于两个坐标轴两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有18/81由定积分几何应用：设一立体满足 ，在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积19/81 设区域D边界曲线与平行于y轴直线至多有两个交点.区域D能够用不等式表示为(1)20/81 在a,b上取定一点x，过该点作垂直于x轴平
8、面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间y1(x),y2(x)上，以z=f(x,y)为曲边曲边梯形(将x认定为不变)，所以这个截面面积能够由对变元y定积分来表示.21/81故曲顶柱体体积，也就是二重积分为(2)将二重积分化成了先对y积分，后对x积分二次积分.为了简便常记为 需要指出，计算 时，应将x视为常量，按定积分计算方法解之.22/81 一样，设区域D边界曲线与平行于x轴直线至多有两个交点.区域D能够用不等式表示为(3)23/81 在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则所给立体体积24/81所
9、以(4)即化成先对变元x积分，后对变元y积分二次积分.先对x积分时，中y应视为常量，按定积分计算方法解之.25/81 在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，不过实际上，上述结论并不受此限制.假如积分区域D边界曲线与平行于坐标轴直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域边界曲线与平行于坐标轴直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分可加性可求区域D上二重积分.26/81 为了便于确定积分区域D不等式表示式，通常能够采取下述步骤：(1)画出积分区域D图形.(2)若先对y积分，且平行于y轴直线与区域D边界限交点不多于两点，那么确定关于y积分限方法是：作平行于y轴直线与
10、区域D相交，所作出直线与区域D先相交边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D边界限y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.27/81 而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间a,b，a是下限，b是上限，即 假如所作出平行于y轴直线与区域D相交时，在不一样范围内，入口曲线或出口曲线不一样，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出直线与区域D入口曲线与出口曲线唯一确定.28/81例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成四面体体积.例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和
11、 所围成三角形区域.29/81 例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.例5 计算积分 ，其中D是由不等式：所确定长方形区域.例6 计算积分 ，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成区域.例7 计算二次积分30/81例8 交换二次积分 积分次序.例9 交换二次积分积分次序.31/81例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成四面体体积.解 即求以z=62x3y为顶，以ABC围成区域D为底柱体体积.也就是计算二重积分32/81解法1 先对y积分.作平行于y轴直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为 ，作为积分上限.33/81解法2 也可先对x积分，作平
12、行于x轴直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积 分下限，出口曲线为 ，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影区间为0,2，34/81这个结果与我们熟知四面体体积是一致.35/81例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：解 像这么正方形区域能够无须画，即得36/81例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成三角形区域.解法1 先对y积分.作平行于y轴直线与积分 区域D相交，沿着y正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上投影区间为 .37/81解法2 先对x积分.作平行于x轴直线与积分区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 .D在y轴
13、上投影区间为 .故38/81 例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.解法1 先对y积分，作平行于y轴直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为 ，所以39/81 解法2 先对x积分.作平行于x轴直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为 ，所以40/81 比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.41/81例5 计算积分 ，其中D是由不等式：所确定长方形区域.解 这题能够无须画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法.如先对y积分则无须，计算会简单些.所以，我们选择先对y积分，即42/81例7
14、计算积分 ，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成区域.解 由不定积分可知 不能用初等函数表示出来，所以，所给积分不能化为先对x积分后对y积分积分次序.欲化为先对y积分后对x积分二次积分.作平行于y轴直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，所以43/81将积分区域D投影到x轴上，投影区间为0,1.故44/81例8 计算二次积分解 由不定积分可知 其被积函数 原函数不能用初等函数表示，所以依题中所给积分次序不能计算出此二重积分.对这类问题常考虑采取交换积分次序方法来处理.其普通步骤为：(1)先依给定二次积分限，定出积分区域D范围，并依此作出D图形.(2)再依区域
15、D图形，依前述确定积分限方法，确定出另一个积分次序积分限.例8 计算二次积分45/81由给定积分限可知积分区域D范围为 依上述不等式组可作出区域D图形，再化为先对y积分后对x积分二次积分.例8通常又称为交换二重积分次序问题.46/81例9 交换二次积分 符号分次序.解 所给积分由两部分组成，设它们积分区域分别为D1与D2.先依给定积分限将积分区域Di用不等式表示：47/81 假如转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2x，所以在D中 ，48/81例10 交换二次积分积分次序.解 所给积分由两部分组成，设它们积分区域分别为
16、D1与D2.49/81而 解为(1,1),假如换为先对x积分，后对y积分，作平行于x轴直线与D相交，沿x轴正方向看，入口曲线线 ，出口曲线为x=2y，所以 .在区域D中 ,于是因为 解为(1,1)，50/81 二、二重积分在极坐标下计算 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有以下关系：在极坐标系中，我们用r=常数和 =常数来分割区域D.设 是由半径为r和 两个圆弧与极角等于 和 两条射线所围成小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 小矩形，所以它面积51/81所以，在极坐标系中于是得到二重积分在极坐标系中表示式为这就是二重积分变量从直角坐标变换为极坐标变换公式.也能
17、够写成(6)公式(6)区域D左端边界曲线方程应利用直角坐标表示，右端边界曲线方程应用极坐标表示.52/81现在分三种情形讨论：(1)若极点在区域D之外.为了确定改变范围，过原点作两射线：=和=，使D恰好被夹在 此二射线之间，且.那么，便知取值范围是 ；再确定r取值范围.则D能够记为从而有53/81(2)极点在区域D边界限上，D边界曲线为 ,又设射线 刚好夹住区域D，且 ,则D能够表记为则有54/81(3)若极点在区域D内部，D边界曲线为 .则D能够记为则有55/81 假如积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直
18、角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分，需依以下步骤进行：(1)将 代入被积函数.(2)将区域D边界曲线换为极坐标系下表示式，确定对应积分限.(3)将面积元dxdy换为 .2.将极坐标系下二重积分转化为直角坐标系下二重积分步骤与1相同，只需依反方向进行.56/81例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2=2y及x=0围成第一象限内区域.解区域D为第一象限内圆心为(0,1)，半径为1右半圆，极点在D边界限上.D边界曲线为x2+y2=2y，用 代换，可得极坐标表示式 .此时D能够表示为57/8158/81例12 计算二重积分其中D为解区域D为圆心在原点，半径为1圆内区域，即极点在区域D内.区
19、域D边界曲线为 ，将 代换，得极坐标系下表示式r=1.所以D能够表示为59/8160/81例13 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成区域.区域D能够表示为将区域D边界曲线x2+y2=1化为极坐标下表示式r=1.解61/81例14 计算二重积分 ，其中D是单位圆域：解原点在D内部，D表示为：62/81例15 计算积分解 积分域是圆环，D能够表示为：63/81例16 用极坐标计算例4中二重积分.积分区域同例4中D.解 显然D能够表示为：有 故64/81例17 计算二重积分 ，其中D是由不等式 所确定区域.解 积分区域D由y=x和x2+y2=2x所围弓形区 域 .半圆极坐标
20、方程是 ，故 65/8166/81例18 计算积分 ，其中D是由不等式 所确定区域.解极点在区域D边界曲线上，不过过极点引出射线与区域D边界曲线有三个交点.过极点O引射线与积分区域D相交，沿射线方向看，入口曲线为 在极坐标中其方程为 ；出口曲线为 ，方程为r=2.所以 67/8168/81例19 设f(x)为区间a,b上连续函数，证实：对任意 ，总有解 将二重积分交换积分次序,因为f(y)为抽象函数，所以 不能积出来，需考虑交换积分次序.因为区域D能够表示为69/81 作平行于x轴直线与区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=b.所以 区域D上有 .可得知故原命题成立.70
21、/81第三节第三节 二重积分应用二重积分应用一、求平面图形面积一、求平面图形面积二、求空间立体体积二、求空间立体体积三、求平面薄片质量三、求平面薄片质量71/81由二重积分几何解释能够知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底直曲顶柱体体积为：尤其当f(x,y)=1时，平面D面积为：由二重积分物了解释能够知道，密度为f(x,y)平面薄板D质量为：一、平面图形面积72/81 例1 求由抛物线x=y2和直线xy=2所围成图形面积.解 记其面积为S，则先对x积分后对y积分作平行于x轴直线与y轴相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y2，出口曲线为x=2+y.所以73/81区域D在y轴上投影区间为1,2
22、.故74/81 二、二、求空间立体体积求空间立体体积由二重积分几何意义，若 在D上连续，则以D为底，以 为顶曲顶柱体体积为 75/81例2 设平面x=1，x=1，y=1和y=1围成柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立体体积.解 因为所截得形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为z=3xy，而其底所以，由二重积分几何应用得到76/81例3 设平面薄片D是由x+y=2，y=x和x轴所围成区域，它密度 ，求该薄片质量.解 平面薄片D先解方程组得两曲线交点为(1,1)，D可用不等式表示为 三、求平面薄片质量三、求平面薄片质量77/8178/81例4 设平面薄片D为介于圆 之外，而在圆 内区域，且D内点(x,y)处密度 ,求该平面薄片质量.解 平面薄片D.极点在区域D边界上.区域D为极坐标系下不等式表示式为79/81注意到 ，则80/81例5 设平面薄片所占Oxy平面上区域D为 ，面密度为 ,求该薄片质量m.解 由二重积分物理意义可知81/81
