1、第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法第1页1平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第五章第五章 平面问题复变函数法平面问题复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题，所包直角坐标及极坐标求解平面问题，所包括物体边界是直线或圆弧形。对于其它一些括物体边界是直线或圆弧形。对于其它一些边界，比如椭圆形、双曲形、非同心圆等就边界，比如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不一样曲线坐标。应用复变函数可使该要用不一样曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中简单应用。方法在弹性力学中简单应用。第2页2 5-4 5-
2、4 多连通域内应力与位移单值条件多连通域内应力与位移单值条件5-3 5-3 边界条件复变函数表示边界条件复变函数表示5-2 5-2 应力和位移复变函数表示应力和位移复变函数表示5-1 5-1 应力函数复变函数表示应力函数复变函数表示5-6 5-6 含孔口无限大板问题含孔口无限大板问题5-5 5-5 无限大多连体情形无限大多连体情形平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第五章第五章 平面问题复变函数法平面问题复变函数法第3页3 5-1 5-1 应力函数复变函数表示应力函数复变函数表示 在第二章中已经证实，在平面问题里，假如体力是常量，就一定存在一个应力函数，它是位置坐标重调和函数，即现在，引入
3、复变数z=xiy和zxiy以代替实变数x 和y。注意平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第4页4 能够得到变换式进而平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第5页5令于是可将方程式变换成为由平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第6页6 可知，P是调和函数可由解析函数实部得到。设f(z)为解析函数，可令由令得则平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第7页7 将上式对 积分，得到再对z积分，得到令即则平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第8页8 注意上式左边重调和函数是实函数，可见该式右边四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭，后两项也应是共轭：令即得有名古萨公式也能够写成平面问题的平
4、面问题的复变函数法复变函数法第9页9 于是可见，在常量体力平面问题中，应力函数总能够用复变数z两个解析函(z)和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个详细平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并依据边界条件决定其中任意常数。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第10页10 5-2 5-2 应力和位移复变函数表示应力和位移复变函数表示依据应力分量和应力函数关系一一 应力分量复变函数表示应力分量复变函数表示平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第11页11 可得到应力分量复变函数表示由可得而由平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第12页12 可得或平面问题的平面问题的复变函数法
5、复变函数法第13页13 只要已知(z)及(z)，就能够把上述公式右边虚部和实部分开，由虚部得出xy，由实部得出y-x。和就是应力分量复变函数表示。当然也能够建立公式，把x、y、xy三者分开用(z)和(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第14页14 二二 位移分量复变函数表示位移分量复变函数表示 假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程可得平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第15页15 因为并注意到同理可得平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第16页16将上两式分别对x及y积分，得其中f1及f2为任意函数。将上式代入式平面问题的平
6、面问题的复变函数法复变函数法第17页17 因为平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第18页18 从而得到于是得到刚体位移 f1(y)u0y，f2(x)v 0 x故有平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第19页19 若不计刚体位移，则有由式得到平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第20页20 这就是位移分量复变函数表示。若已知(z)及(z)，就能够将该式右边实部和虚部分开，从而得出u和v。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法将结果回代,并两边除以 得 上述公式是针对平面应力情况导出。对于平面应变情况，须将式中E改换为 ，改换为 。第21页215-3 5-3 边界条件复变函数表示边
7、界条件复变函数表示 为了求得边界上各结点处值，须要应用应力边界条件，即：而代入上式，即得：平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第22页22 由图可见，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：由此得：平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第23页23 设A是边界上固定点,B为任意一点，则从A到B边界上协力，可用上式从A点到B点对s积分得到：将式平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第24页24 代入，整理得：把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。所以，可把应力函数A处值设为零，于是对于边界上有或这就是应力边界条件。平面问题的平面问题的复
8、变函数法复变函数法第25页25 对于位移边界条件将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件复变函数表示平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法 对于平面应变，须将式中E改换为 ，改换为 。第26页26 5-4 5-4 多连通域内应力与位移单值条件多连通域内应力与位移单值条件 应力确定后，应力函数仍可差一个任意线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，能够经过选取适当坐标系等方法，使得K-M函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上外力矢量已给定。通常多值函数是对数函数，我们设平面问题的平面问
9、题的复变函数法复变函数法第27页27 DC这里zk为内部边界内任意一点，f和f为单值解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第28页28 前面函数导数是单值，但他们本身是多值，当z绕周围一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2i,于是(z)和(z)增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第29页29 这时位移按照公式也将得到增量，依据单值性这个增量应为零：结合可得到平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第30页30 于是当有m个内边界时，取平面问
10、题的平面问题的复变函数法复变函数法第31页31 5-5 5-5 无限大多连体情形无限大多连体情形 当多连体外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大多连体，除上述条件外，还需考虑无限远极限情况。以坐标原点为圆心，作充分大圆周sR，将全部内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内任意一点，可得到 在在s sR R之外解析函数之外解析函数平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第32页32 于是可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向面力之和。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第33页33 于是 因为在无穷远处应力分量应该是有限，级数中n2系数应为零。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法
11、 将多连通区域内全纯函数 和 展开为罗郎级数：第34页34 一样从中，因为在无穷远处应力分量应该是有限，故有其中略去了和应力无关常数项。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第35页35 于是其中与应力计算无关，可取为零，而平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第36页36 这时当z时，可得一样当z时，由可得从中可求得对应系数，并能够看到在无限远处，应力分布是均匀。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第37页37 系数则平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第38页385-6 5-6 含孔口无限大板问题含孔口无限大板问题 以坐标原点为圆心，作充分大圆周sR，将全部内边界包围在其内，对
12、于sR之外，弹性体之内任意一点，可得到平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第39页39平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第40页40 改写为其中平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第41页41 对于孔边上点平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第42页42 将上列各式代入就得到极坐标下圆周围界上级数形式应力边界条件。设周围上外力为已知，并将其展开为傅氏级数平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第43页43 比较两边eik和e-ik系数，可得平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第44页44 由无限远处应力条件，可得第45页45由位移单值条件有及可求得再由平面问题的平面问题的
13、复变函数法复变函数法第46页46 可求得至此，全部系数均已求出。例例 设孔周围为均匀压力p，无限远处应力为零。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第47页47 则有于是可求得平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第48页48 最终得到依据上述方法，圆孔口无限大板普通问题都能够得到处理。平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第49页49平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法练习5.1 试考查以下复变函数所处理问题(1)(2)解:基本公式为(1)将分别代入(a)、(b)式第50页50平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法得联立求解以上两式,得 所给函数能够处理矩形薄板在x方向受均布拉力
14、q问题.如图5.1(a)所表示(2)将代入(a),(b)两式,得xyqq图5.1(a)第51页51平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法联立求解以上两式,得 所给函数能够处理矩形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示.qqxy图5.1(b)练习5.2 如图所表示.试证矩形截面梁纯弯曲问题可用以下复变函数求解.其中I为梁截面惯矩,M为作用弯矩.Myxzy解:基本公式为第52页52平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法将代入(1)、(2)式由(1)式得即第53页53平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法或由(2)式得即将(4)、(5)式联立求得第54页54平面问题的复变平面问题的复变函数法函数
15、法验证边界条件(3)在侧面:所以由得第55页55平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法由得故即(3)式恒成立.由解答 所表示是一个纯弯时,梁横截面上应力状态.第56页56平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法练习5.3 试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量公式解:因为在平面问题中所以又因为在平面问题中,有第57页57平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法则第58页58平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法因为所以练习5.4 试用公式由 导出半平面体在边界上受集中力作用时应力分量公式.第59页59平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法ryroP解：由得因为第60页60平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法而所以第61页61平面问题的复变平面问题的复变函数法函数法即由（1）、（2）、（3）式得第62页62结结 束束 平面问题的平面问题的复变函数法复变函数法第63页63
