1、生活中的优化问题举例第1页 生活中经常会碰到生活中经常会碰到求什么条件下求什么条件下可使用料最省，利可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题优化问题.这往往能够归结为求函数最大值或最小值问题这往往能够归结为求函数最大值或最小值问题.其中其中不少问题能够利用导数这一有力工具加以处理不少问题能够利用导数这一有力工具加以处理.第2页复习：怎样用导数来求函数最值？复习：怎样用导数来求函数最值？普通地，若函数普通地，若函数y=f(x)在在a，b上图象是一条上图象是一条连续不停曲线连续不停曲线，则求，则求f(x)最值步骤是：最值步骤是：（1）
2、求）求y=f(x)在在a，b内极值内极值(极大值与极小值极大值与极小值)；（2）将函数各极值与端点处函数值）将函数各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较，比较，其中最大一个为最大值，最小一个为最小值其中最大一个为最大值，最小一个为最小值.尤其地，假如函数在尤其地，假如函数在给定区定区间内内只有一个极只有一个极值点点，则这个极个极值一定是最一定是最值。第3页规格（规格（规格（规格（L L）2 21.251.250.60.6价格（元）价格（元）价格（元）价格（元）5.15.14.54.52.52.5问题情景一：问题情景一：饮料瓶大小对饮料企业利润影响饮料瓶大小对饮料企业利润影响 下面是某品牌饮
3、料三种规格不一样产品，若它们下面是某品牌饮料三种规格不一样产品，若它们价格以下表所表示，则价格以下表所表示，则（1）对消消费者而言，者而言，选择哪一个更合算呢？哪一个更合算呢？（2）对制造商而言，哪一个利制造商而言，哪一个利润更大？更大？第4页例例1、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造瓶子制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售售1ml饮料，制造商可赢利饮料，制造商可赢利0.2分分，且制造商能制造瓶子，且制造商能制造瓶子最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料利润何时最大，何
4、时最小呢？，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？r r(0(0，2)2)2 2(2(2，66f f (r r)0 0f f(r r)-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p解：解：每个瓶容积为每个瓶容积为:每瓶每瓶饮料利料利润：第5页解：设每瓶饮料利润为解：设每瓶饮料利润为y，则，则r r(0(0，2)2)2 2(2(2，66f f (r r)0 0f f(r r)-+减函数减函数 增函数增函数 f(r)在在(2，6上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，由上表可知，f(2)=-1.07p p为利润最小值为利润最小值-1.07p p例例1、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，某制造商
5、制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造瓶子制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售售1ml饮料，制造商可赢利饮料，制造商可赢利0.2分分，且制造商能制造瓶子，且制造商能制造瓶子最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？第6页解：设每瓶饮料利润为解：设每瓶饮料利润为y，则，则当当r(0，2)时，时，而而f(6)=28.8p p，故，故f(6)是最大值是最大值答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料利润最大，时，每瓶饮料利润最大，当瓶子半径为当瓶子半径为2
6、cm时，每瓶饮料利润最小时，每瓶饮料利润最小.例例1、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造瓶子制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售售1ml饮料，制造商可赢利饮料，制造商可赢利0.2分分，且制造商能制造瓶子，且制造商能制造瓶子最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？第7页处理优化问题方法之一：处理优化问题方法之一：经过搜集大量统计数据，建立与其对应数学经过搜集大量统计数据，建立与其对应数学模型，再经过研究对应函数
7、性质，提出优化方案，模型，再经过研究对应函数性质，提出优化方案，使问题得到处理在这个过程中，导数往往是一个有使问题得到处理在这个过程中，导数往往是一个有力工具，其基本思绪如以下流程图所表示力工具，其基本思绪如以下流程图所表示优化问题优化问题用函数表示数学问题用函数表示数学问题用导数处理数学问题用导数处理数学问题优化问题答案优化问题答案第8页问题情景二：汽油使用效率何时最高问题情景二：汽油使用效率何时最高 我们知道，汽油消耗量我们知道，汽油消耗量 w(单位单位:L)与汽车速度与汽车速度 v(单位单位:km/h)之间有一定关系，汽车消耗量之间有一定关系，汽车消耗量 w 是汽车是汽车速度速度 v 函
8、数函数.依据实际生活，思索下面两个问题：依据实际生活，思索下面两个问题：（1）是不是汽车速度越快，）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大汽油消耗量越大?（2）当汽车行驶旅程一定时，是车速快省油还是）当汽车行驶旅程一定时，是车速快省油还是 车速慢时候省油呢？车速慢时候省油呢？普通地，每千米旅程汽油消耗量越少，我们就说普通地，每千米旅程汽油消耗量越少，我们就说汽油使用效率汽油使用效率越高（即越省油）。越高（即越省油）。若用若用G来表示每千米平均汽油消耗量，则来表示每千米平均汽油消耗量，则这里这里w是汽油消耗量，是汽油消耗量，s是汽车行驶旅程是汽车行驶旅程怎样计算每千米路怎样计算每千米路 程汽油消耗量
9、？程汽油消耗量？第9页例例2、经过研究，人们发觉汽车在行驶过程中，汽油、经过研究，人们发觉汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率平均消耗率 g（即每小时汽油消耗量，（即每小时汽油消耗量，单位单位:L/h）与汽车行驶与汽车行驶平均速度平均速度v（单位（单位:km）之间，有如图）之间，有如图函数关系函数关系 g=f(v)，那么怎样依据这个图象中数据来，那么怎样依据这个图象中数据来处理汽油使用效率最高问题呢？处理汽油使用效率最高问题呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：分析：每千米平均汽油消耗量每千米平均汽油消耗量 ，这里，这里 w是汽油是汽油消耗量，消耗量，s是汽车行驶旅程是
10、汽车行驶旅程w=gt，s=vtP(v，g)几何意几何意 义是什么？义是什么？如图所表示，如图所表示，表示经过原点表示经过原点与曲线上点与曲线上点 P(v，g)直线直线斜率斜率k所以由右图可知，当直线所以由右图可知，当直线OP为曲线切线时，即斜率为曲线切线时，即斜率k取取最小值时，汽油使用效率最高最小值时，汽油使用效率最高第10页例例3、经统计表明，某种型号汽表明，某种型号汽车在匀速行在匀速行驶中每小中每小时耗油量耗油量y（升）关于行（升）关于行驶速度速度x（千米（千米/小小时）函数解析式）函数解析式能能够表示表示为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米。（I）当汽）当汽车以
11、以40千米千米/小小时速度匀速行速度匀速行驶时，从甲地到乙，从甲地到乙地要耗油地要耗油为 升升;（II）若速度为若速度为x千米千米/小时，则汽车从甲地到乙地需小时，则汽车从甲地到乙地需行驶行驶 小时，记耗油量为小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为升，其解析式为:.(III)当汽当汽车以多大速度匀速行以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最，从甲地到乙地耗油最少？最少少？最少为多少升？多少升？17.5 第11页例例3、经统计表明，某种型号汽表明，某种型号汽车在匀速行在匀速行驶中每小中每小时耗油量耗油量y（升）关于行（升）关于行驶速度速度x（千米（千米/小小时）函数解析式）函数解析式能能够表示表
12、示为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米。(III)当汽当汽车以多大速度匀速行以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最，从甲地到乙地耗油最少？最少少？最少为多少升？多少升？解：设当汽车以解：设当汽车以x km/h速度行驶时，从甲地到乙地速度行驶时，从甲地到乙地耗油量为耗油量为h(x)L，则，则第12页第13页练习：已知某厂天天生产练习：已知某厂天天生产x件产品成本为件产品成本为若要使平均成本最低，则天天应生产多少件产品？若要使平均成本最低，则天天应生产多少件产品？解：设平均成本为解：设平均成本为y元，天天生产元，天天生产x件产品，则件产品，则天天应生产天天应生产1000件
13、产品件产品第14页练习：已知某厂天天生产练习：已知某厂天天生产x件产品成本为件产品成本为变题：若受到设备影响，该厂天天至多只能生产变题：若受到设备影响，该厂天天至多只能生产800件件产品，则要使平均成本最低，天天应生产多少件产品呢？产品，则要使平均成本最低，天天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为解：设平均成本为y元，天天生产元，天天生产x件产品，则件产品，则第15页练习：已知某厂天天生产练习：已知某厂天天生产x件产品成本为件产品成本为变题：若受到产能影响，该厂天天至多只能生产变题：若受到产能影响，该厂天天至多只能生产800件件产品，则要使平均成本最低，天天应生产多少件产品呢？产品，则要使平均
14、成本最低，天天应生产多少件产品呢？函数在函数在(0，1000)上是减函数上是减函数故天天应生产故天天应生产800件产品件产品第16页基本不等式法：基本不等式法：“一正、二定、三相等、四最一正、二定、三相等、四最值”；导数法：数法：一定一定义域、二域、二导数符号、三数符号、三单调性、四最性、四最值”。第17页小结：小结：在日常生活中，我们经常会碰到在日常生活中，我们经常会碰到求在什么条件下求在什么条件下可可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为常称为优化问题优化问题.在处理在处理优化问题优化问题过程中，关键在于建立过程中，关键在于建
15、立数学模型数学模型和目标函数和目标函数；要认真审题，尽可能克服文字多、背景生疏、；要认真审题，尽可能克服文字多、背景生疏、意义艰涩等问题，准确把握意义艰涩等问题，准确把握数量关系数量关系。在计算过程中要。在计算过程中要注意各种数学方法灵活利用注意各种数学方法灵活利用,尤其是导数利用。尤其是导数利用。作业：书本作业：书本P40 A组组 第第2题题 7题题第18页例例1、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售售1ml饮料，制造商可赢利饮料
16、，制造商可赢利0.2分，且制造商能制造瓶子分，且制造商能制造瓶子最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料利润为解：设每瓶饮料利润为y，则，则当当r(0，2)时，时，而而f(6)=28.8p p，故，故f(6)是最大值是最大值答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料利润最大，时，每瓶饮料利润最大，当瓶子半径为当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料利润最小时，每瓶饮料利润最小.第19页变题变题2：若产品以每件：若产品以每件500元售出，要使得利润最大，元售出，要使得利润最大，天天应生产多少件产品？天天应生产多少件产品？练
17、习：已知某厂天天生产练习：已知某厂天天生产x件产品成本为件产品成本为第20页例例3、统计表明，某种型号汽表明，某种型号汽车在匀速行在匀速行驶中每小中每小时耗油量耗油量 y(L)关于行关于行驶速度速度 x(km/h)函数解析式函数解析式能能够表示表示为：若甲、乙两地相距若甲、乙两地相距100 km，则当汽当汽车以多大速度匀速行以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？多少升？解：设当汽车以解：设当汽车以x km/h速度行驶时，从甲地到乙地速度行驶时，从甲地到乙地耗油量为耗油量为h(x)L，则，则第21页例例1、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，某制造
18、商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造瓶子制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售售1ml饮料，制造商可赢利饮料，制造商可赢利0.2分分，且制造商能制造瓶子，且制造商能制造瓶子最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料利润为解：设每瓶饮料利润为y，则，则r r(0(0，2)2)2 2(2(2，66f f (r r)0 0f f(r r)-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p第22页例例1、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造某制造
19、商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售售1ml饮料，制造商可赢利饮料，制造商可赢利0.2分，且制造商能制造瓶子分，且制造商能制造瓶子最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料利润何时最大，何时最小呢？当当r(0，2)时，时，f(r)是减函数是减函数当当r(2，6时，时，f(r)是增函数是增函数第23页第24页例例2、经过研究，人们发觉汽车在行驶过程中，汽油、经过研究，人们发觉汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率平均消耗率 g（即每小时汽油消耗量，（即每小时汽油消耗量，单位单位:L/h）与汽车行驶平均速度与汽车行驶平均速度v（单位（单位:km）之间，有如图）之间，有如图函数关系函数关系 g=f(v)，那么怎样依据这个图象中数据来，那么怎样依据这个图象中数据来处理汽油使用效率最高问题呢？处理汽油使用效率最高问题呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015问题问题1：可用哪个量来衡量：可用哪个量来衡量汽油使用效率？汽油使用效率？问题问题2：汽油使用效率与：汽油使用效率与 g、v有什么关系？有什么关系？(w是汽油消耗量，是汽油消耗量，s是汽车行驶旅程是汽车行驶旅程)第25页
