1、传染病模型传染病模型 伴随卫生设施改进、医疗水平提升以及人类文明不停发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球传染性疾病已经得到有效控制。不过一些新、不停变异着传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大危害。长久以来，建立阻止传染病蔓延伎俩等，一直是各国相关教授和官员关注课题。第1页 不一样类型传染病传输过程有其各自不一样特点，搞清这些特点需要相当多病理知识，这里不可能从医学角度一一分析各种传染病传输，而只是按照普通传输模型机理建立几个模型。模模型型1 在这个最简单模型中，设时刻t病人人数x(t)是连续、可微函数，第2页方程（1）解为 结果表明，伴随t增加，病
2、人人数x(t)无限增加，这显然是不符合实际。建模失败原因在于：在病人有效接触人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才能够被传染为病人，所以在改进模型中必须区分这两种人。第3页 模型模型2（SI模型）模型）假设条件为 1.在疾病传输期内所考查地域总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易易感感染染者者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词第一个字母，称之为SI模型），以下简称健健康康者者和病病人人。时刻t这两类人在总人数中所占百分比分别记作s(t)和i(t)。2.每个病人天天有效接触平均人数是常数，称为日日接接触触率率。当病人与健康者接触时，使健康
3、者受感染变为病人。第4页又因为 第5页方程（5）是Logistic模型。它解为 第6页第7页这时病人增加最快，能够认为是医院门诊量最大一天，预示着传染病高潮到来，是医疗卫生部门关注时刻。其原因是模型中没有考虑到病人能够治愈，人群中健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。第8页 模模型型3（SIS模模型型）有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，能够假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还能够被感染再变成病人，所以这个模型称SIS模型。SIS模型假设条件1，2与SI模型相同，增加条件为 3天天被治愈病人数占病人总数百分比为常数，称为日日治治愈愈率率，病人治愈后成为仍可被感染健康者。显
4、然1/是这种传染病平均传染期平均传染期。第9页 不难看出，考虑到假设3，SI模型（3）式应修正为（4）式不变，于是（5）式应改为 我们不去求解方程（9）（即使它解能够解析地表出），而是经过图形分析i(t)改变规律。定义 第10页注意到和1/含义，可知是整个传染期内每个病人有效接触平均人数，称为接接触数触数。利用，方程（9）能够改写作 第11页第12页不难看出，接触数=1是一个阈值阈值。SI模型可视为本模型特例，请读者考虑它相当于本模型中或取何值情况。第13页 模模型型4（SIR模模型型）大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后都有很强免疫力，所以病愈人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程。模型假设模型假设 1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者（Removed）三类，称SIR模型。三类人在总数N中占百分比分别记作s(t),i(t)和r(t)。第14页病人日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为=/。模型组成模型组成由假设1显然有 s(t)+i(t)+r(t)=1 (12)依据条件2方程（8）依然成立。对于病愈免疫移出者而言有第15页方程（14）无法求出s(t)和i(t)解析解，我们先作数值计算。第16页
