1、 22.2 曲线积分和路径无关性1/7 定理 若函数 在区域 上有连续偏导数，是单连通区域，那么以下四条相互等价：（i）对任一全部含在 内闭路 ，（ii）对任一全部含在 内曲线 ，曲线积分与路径无关（只依赖曲线端点）；（iii）微分式 在 内是某一个函数 全微分，即 ；（iv）在 内处处成立。证实2/7 当曲线积分和路径无关时，即满足上面诸条件，如令点 固定而点 为区域 内任意一点，那么由积分所定义函数在 内连续而且单值。这个函数 为一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性质：1 .这由刚才证实即得。2利用原函数 来计算曲线积分这里 ，和 分别为 ，点坐标。是一个3/7记号，它等于 。
2、剩下来还要说明怎样求 原函数。设 和 满足定理条件 。所以必存在原函数 使 ，同时 曲线积分与路径无关。在区域 内固定一点 ，对 内任何点 ，沿两条直线 和 从点 到点 积分，得其中 ，一样不难验证 也是 一个原函数。以下考虑非单连通区域情形，并引进一个主要概念：循环常数，在曲线积分与路径无关定理中，它理论是建立在两个假定之上（i）所考虑区域 是单连通，即没有“洞”；（ii）函数 ，及其偏导数4/7在 内连续。假如这两个条件被破坏了，普通来说，上面那些断言将不会成立。现在讨论区域内有一个奇点 情形。这时，假如闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条闭路 ，都逆时针绕奇点 一圈，可用线
3、段 将和 联结起来，在 及 上沿逆时针方向积分，即得所以即围绕某一奇点任两条闭路沿同一方向积分相等。所以，对区域 中任何闭路 ，它或者不绕过奇点 ，或者绕过 周，这时积分值就是5/7 倍。只围绕奇点 一周闭路上积分值叫做区域 循环常数，循环常数，记为 ，于是，对 内任一闭路 ，这里 为沿闭路 按逆时针方向绕 圈数。比如当 时 假如它按逆时针方向绕 圈数为 ，按顺时6/7针方向绕 圈数为 ，那么 。假如 内有 个奇点 ，在 周围作一环路使它不包含其它奇点，则沿闭路积分 就是一个循环常数。区域 共有 个循环常数 ，若 为任意含在 内闭路，它围绕点 周数为 ，这里 算法和上述 相同，则全部沿 内任意闭路积分都有这么形式。例 计算7/7
