1、由牛顿莱布尼兹公式知:计算定积分 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改变积分限.下面举例说明.6.4 6.4 定积分计算方法定积分计算方法一一.凑微分法凑微分法第五章知求函数原函数(即不定积分)方法有凑微分法、换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几个方法来计算定积分.关键在于求出(x)在a,b上一个原函数F(x);而由第1页1例例1111 计算第2页2第3页3(1)在,上单调连续且含有连续导数;(2)()=a,()=b,则二二.换元积分法换元积分法定理定理8 8 若(x)在a,b上连续,而 x=(t)又满足证证 设F(x)是(x
2、)一个原函数,第4页4此式称为定积分换元公式.(3)求出在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题:(1)所选择代换式x=(t)必须满足定理中两个条件;(2)换元积分关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;求不定积分那样把(t)还原成 x 函数,而只须直接将 t 上、下限代入相减即可.后,无须象第5页5例例12 12 当 a 0时,计算第6页6注注1 1 由几何意义知,此定积分即为圆第7页7在第象限面积.性质性质1 1 设(x)在a,a上连续,则证证 (1)若为(x)偶函数,则有(x)=(x)令x=t,则 d x=d t,且第8页8从而(2)若为(x)奇函数,则有(x)=(x)令x=t
3、,则 d x=d t,且从而第9页9注注2 2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上定积分计算定积分计算.例例1313 计算解 (1)被积函数为奇函数.则原式=0.令x=tanu,则(2)被积函数为偶函数,故第10页10例例14.14.设解 设x=t+2,则 t=x2,d x=d t第11页11性质性质2 2 设(x)在0,1上连续,则第12页12三三.分部积分法分部积分法定理定理9 9 若u=u(x)及v=v(x)在a,b上有连续导数,则第13页13证证 因d(uv)=udv+vdu,两边积分得注注3 3注注4 4 用分部积分法计算定积分用分部积分法计算定积分,因没有引入新变量因没有引入新变量,故故在计算过程中自始至终均不变限在计算过程中自始至终均不变限,u、v选择与不定积选择与不定积分分部积分法相同分分部积分法相同.例例15 15 计算第14页14第15页15第16页16例例16 16 设 在0,1上连续,求解 第17页17
