1、第四节第四节 有理函数积分有理函数积分第1页有理函数定义：有理函数定义：两个多项式商表示函数称之两个多项式商表示函数称之.一、有理函数积分一、有理函数积分第2页假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式能够化成一个假分式能够化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.第3页（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和普通规律：有理函数化为部分分式之和普
2、通规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为第4页（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为第5页真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和待定系数法待定系数法例例1 1第6页代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2第7页例例3 3整理得整理得第8页例例4 4 求积分求积分 第9页例例4 4 求积分求积分 解解第10页例例5 5 求积分求积分 第11页例例5 5 求积分求积分 解解第12页三角有理式定义：三角有理式定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函
3、数称之普通记为组成函数称之普通记为二、三角函数有理式积分二、三角函数有理式积分第13页令令（万能置换公式）（万能置换公式）第14页例例6 6 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式第15页第16页例例7 7 求积分求积分解（一）解（一）第17页解（二）解（二）第18页尤其注意尤其注意对于三角函数有理式积分对于三角函数有理式积分,万能置换不万能置换不一定是最正确方法一定是最正确方法,故三角有理式计算故三角有理式计算中先考虑其它伎俩中先考虑其它伎俩,不得已才用万能置不得已才用万能置换换.第19页讨论类型讨论类型处理方法处理方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例8 8 求积分求积分解解 令令三
4、、简单无理函数积分三、简单无理函数积分第20页第21页例例9 9 求积分求积分第22页例例9 9 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数取根指数最小公倍数最小公倍数.第23页例例1010 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式第24页简单无理式积分简单无理式积分.有理式分解成部分分式之和积分有理式分解成部分分式之和积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式积分三角有理式积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结第25页第五节第五节 积分表使用积分表使用第26页
5、（1）惯用积分公式聚集成表称为）惯用积分公式聚集成表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数类型来排列）积分表是按照被积函数类型来排列.（4）积分表见高等数学（五版）上册）积分表见高等数学（五版）上册（同济大学数学教研室主编）第（同济大学数学教研室主编）第347页页（3）求积分时，可依据被积函数类型直接）求积分时，可依据被积函数类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表说明一、关于积分表说明第27页例例1 1 求求被积函数中含有被积函数中含有在积分表（一）中查得公式（在积分表（一）中查得公式（7）现在现在于是于是二、例题第28页例例2 2 求求被
6、积函数中含有三角函数被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得这类公式有两个在积分表（十一）中查得这类公式有两个选公式（选公式（105）将将 代入得代入得第29页例例3 3 求求表中不能直接查出表中不能直接查出,需先进行需先进行变量代换变量代换.令令被积函数中含有被积函数中含有第30页在积分表（六）中查得公式（在积分表（六）中查得公式（37）将将 代入得代入得第31页例例4 4 求求在积分表（十一）中查得公式（在积分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦幂次降低两次利用此公式可使正弦幂次降低两次,重复使用重复使用可使正弦幂次继续降低可使正弦幂次继续降低,直到求出结果直到求出结果.这个
7、这个公式叫公式叫递推公式递推公式.现在现在于是于是第32页对积分对积分 使用公式（使用公式（93）第33页说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.例例第34页将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思索题第35页思索题解答思索题解答分解后部分分式必须是最简分式分解后部分分式必须是最简分式.第36页 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？思索题第37页思索题解答思索题解答注意前后几次所选注意前后几次所选 应为同类型函数应为同类型函数.例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选第38页
