1、6.2简单不等式解法一、一元一次不等式一元一次不等式可整理为axb(a0).知识诠释思维发散1/591.当a0时,不等式解为x;2.当a0时,不等式解为x.二、一元二次不等式1.解一元二次不等式步骤:(1)把二次项系数a变为正.(若a0且0时,定一元二次不等式解集口诀:“小于号取中间,大于号取两边”)2.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间关系3/59二次函数y=ax2+bx+c图象(a0,=b2-4ac)(0)(=0)(0解集x|xx2x|xx1R不等式ax2+bx+c0解集x|x1xx0取值范围为()(A)(-,1(3,+).(B)(-,2(4,+).(C)(-,2)(3,+).(D
2、)(-,3)(4,+).6/59【解析】当x(-,1时,2-x即2-x2-2,解得x即log81xlog81(81=log813,解得x3,因此x3.综上可得x3或x1.【答案】A7/592.使得1x|2x2+ax-a20a取值范围为.【解析】由1x|2x2+ax-a20,得a2-a-20-1a0解集为x|2x0解集为.【解析】由题意知2,3是方程-x2+bx+c=0两个实数解,依据根与系数之间关系得即代入不等式cx2-bx-10,得6x2+5x+10,即(2x+1)(3x+1)0,即(2x+1)(3x+1)0,解得-x-.所以原不等式解集为x|-x-.【答案】x|-x-9/59关键突围技能聚
3、合题型1简单不等式解法例1(1)关于x不等式x2-ax-20a20任意两个解差不超出9,则a最大值与最小值和是()(A)2.(B)1.(C)0.(D)-1.10/59(2)已知函数f(x)=那么不等式f(x)0解集为.【分析】(1)任意两个解差不超出9即不等式解最大值与最小值差值不超出9,所以解出不等式即可;(2)分段解出不等式,最终求并集.11/59【解析】(1)方程x2-ax-20a2=0两根是x1=-4a,x2=5a,则由关于x不等式x2-ax-20a20任意两个解差不超出9,得|x1-x2|=|9a|9,即-1a1,且a0.故a最大值与最小值和是0.(2)当x0时,由-|x+1|0时,
4、由x2-10得-1x1,所以0 x1,故不等式解集为x|x-1或-1x1.12/59【答案】(1)C(2)x|x-1或-1x0解集为x|-2x1,则函数y=f(-x)图象是()14/59(2)若不等式+m0解集为x|x4,则m值为.【解析】(1)f(x)=ax2-x-c0解集为x|-2x1,即方程ax2-x-c=0两根为-2,1,f(x)=-x2-x+2,15/59y=f(-x)=-x2+x+2.且f(-x)两根分别为-1和2.(2)由+m0,得0时,解集在两根之内,显然不合题意;当1+m0,其大根为1-m,小根为-m.所以得m=-3.【答案】(1)C(2)-316/59例2解关于x不等式(a
5、为参数).【分析】移项,通分,把分式不等式转化为整式不等式,分类讨论,得出不等式解集.【解析】原不等式等价于-00(x-2)(1-)x+-10.当a=1时,解为x2;题型2含参数不等式解法17/59当0a1时,解为2x1时,解为x2或x1+;当a2或x2;当0a1时,原不等式解集是x|2x1+;当a1时,原不等式解集是x|x2或x1+.18/59【点评】解任意含参数(单参)一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式=0时所得到参数值,然后依此进行分类即可,这么这类问题便有了“通法”,都可迎刃而解.19/59变式训练2解关于x不等式:ax2-(a+1)x+10.【解析】若
6、a=0,原不等式-x+11.若a0 x1.若a0,原不等式(x-)(x-1)1时,(*)式x1;当0a1时,(*)式1x.总而言之,当a0时,解集为x|x1;当a=0时,解集为x|x1;当0a1时,解集为x|1x1时,解集为x|x1.21/59例3(1)已知函数y=log2(m-2)x2+2(m-2)x+4定义域为R,则m取值范围是.(2)若不等式mx2-2x+1-m0对xR成立.当m=2时,成立;当m2时,依据对数真数恒大于零,得(m-2)x2+2(m-2)x+40解集为R.即解得23/59m取值范围为2,6).(2)已知不等式可化为(x2-1)m+(1-2x)0.设f(m)=(x2-1)m
7、+(1-2x),这是一个关于m一次函数(或常数函数),从图象上看,要使f(m)0在-2m2时恒成立,其等价条件是:即24/59解得所以,实数x取值范围是(,).【答案】(1)2,6)(2)(,)【点评】(1)“三个二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学主要内容,含有丰富内涵25/59和亲密联络,同时也是研究包含二次曲线在内许多内容工具.高考试题中很多试题与“三个二次”问题相关,而不等式解法其关键内容也是一元二次不等式解法,所以“三个二次”及其关系问题一直以来是高考中热点.(2)题是一个关于x二次不等式,若将主元看作m,则变为关于m一次函数,从而使问题变为一次不等式.26/
8、59变式训练3(1)若关于x不等式0”为真命题,则实数x取值范围是.【解析】(1)分母4x2+6x+30对任意实数x恒成立.原不等式可化为2x2+2kx+k0恒成立.即1k0”为真命题,m(1)0或m(3)0,28/59即x2-x-20,或3x2+x-20,由得x2;由得x.所以,所求实数x取值范围是x.【答案】(1)(1,3)(2)(-,-1)(,+)29/59例4汽车在行驶中,因为惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故一个主要原因.在一个限速为40km/h弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发觉情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现
9、场勘查测得甲车刹车距离略超出12m,乙车刹车距离略超出10m,又知甲、乙两种车型刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别题型4不等式解法在实际问题中应用30/59有以下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有没有超速现象?【分析】判断两车是否超速,能够经过刹车距离确定该车速度,所以,依据速度与刹车距离函数关系,确定两车速度范围即可.【解析】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10 x-12000,解得x30或x10,即x2+10 x-0,解得x40或x0,当0 x5时,解不等34/59式-0.4x2+3.2x-2.80,即
10、x2-8x+70,得1x7,15时,解不等式8.2-x0,得x8.2,5x8.2.总而言之,要使工厂赢利,x应满足1x5时,f(x)8.2-5=3.2,所以,当工厂生产400台产品时,赢利最多.36/591.解不等式基础是一元一次不等式和一元二次不等式,解决其它类型不等式关键就是要善于利用相关性质或定理,经过等价转换,变成一元一次、二次不等式(组).2.要注意含参不等式分类讨论与分段函数不等式区分,对含参不等式分类讨论所得各个不等式解集不能取并集;而对分段函数分类讨论后,要取各个不等式并集.3.含参不等式问题,假如不等式解集与参数相关,就必须分类讨论,不过要注意分类标准,做到不重不漏.37/5
11、9例解不等式lo()0.【错解】由原不等式得1,去分母得2x-3x+4,解得x7,故原不等式解集为x|x7.【剖析】上面解法错在:一是把对数不等式转化为代数不等式时忽略了函数定义域;二是解分式不等式时随意地去分母,我们研究问题都是在它们有意义前提下进行,因此忽略了定义域对数值可能不存在了.不等式性质明确表38/59明不等式两边同乘(除)以同一个正数或负数,不等号方向是不一样,只有确定这个数是正数或负数时才能判定不等号是同向或异向.以上两点是解不等式时最易犯错误,务必切记.【正解】原不等式可转化为x7.故原不等式解集为x|x7.39/59一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础角度思绪1.(
12、基础再现)不等式0解集是()(A)(-,-1)(-1,2.(B)(-1,2.(C)(-,-1)2,+).(D)-1,2.40/59【解析】0所以-10,B=x|log2x0,则AB等于()(A)x|x1.(B)x|x0.(C)x|x1或x0=x|x1或x0=x|x1,所以AB=x|x1.【答案】A42/593.(视角拓展)函数y=定义域为()(A)-1,-)(0,.(B)-1,.(C)(-,-)(0,+).(D)(-,(0,1.43/59【解析】lo(3x2+2x)0,03x2+2x1,0 x或-1x-.【答案】A44/594.(视角拓展)已知不等式x2-2x-30解集为A,不等式x2+x-6
13、0解集是B,不等式x2+ax+b0解集是AB,那么a+b等于()(A)-3.(B)1.(C)-1.(D)3.【解析】由题意:A=x|-1x3,B=x|-3x2,AB=x|-1x2,由根与系数关系可知:a=-1,b=-2,选A.【答案】A45/595.(高度提升)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立,则实数a取值范围是()(A)(-,-2).(B)(-,2.(C)(-2,2).(D)(-2,2.【解析】(1)a=2时满足题意;(2)a2时,对应方程=4(a-2)2+16(a-2)0,且a-20,解得-2a2.综上可知实数a范围是(-2,2.【答案】D46/596.(基
14、础再现)已知常数t是负实数,则函数f(x)=定义域是.【解析】由题知12t2-tx-x20,(x+4t)(x-3t)0.因为t为负实数,于是可解得x3t,-4t.【答案】3t,-4t二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)47/597.(基础再现)不等式-4-x2-x-2解集是.【解析】2x2+x+0 x取值范围是.【解析】f(x)在R上是奇函数,f(-0)=-f(0),f(0)=0,设x0,f(x)=-f(-x)=-lg(-x),49/59f(x)=由f(x)0得或x1或-1x0,B=x|4x2+x-30,C=x|logx1.然后叫3名同学到讲台上,并将“”中数告诉了他们,要求他们各用一句话
15、来描述,方便同学们能确定该数.以下是三位同学描述:甲:此数为负整数;乙:A是B成立充分无须要条件;丙:A是C成立必要不充分条件.若老师评说三位同学都说对,则“”中数为.51/59【解析】依据题意可得B=x|-1x,C=x|0 x.依据甲描述,设负整数为k,则A=0 x-.依据乙丙描述AB,CA,所以-,解得-32;(2)0 x2+x-24.【解析】(1)原不等式可化为3x2-6x+20,方程3x2-6x+2=0两根为三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)53/59x1=1-,x2=1+,原不等式解集是x|1-x1或x-2,解得-3x2.原不等式解集为x|-3x-2或10(a为参数).【解析
16、】原不等式可化为(x-a)(x-a2)0.若aa2,则a2-a0,即0a1,则原不等式解集为x|xa;若aa2,即a1,则原不等式解集为x|xa2;若a=a2,即a=0或a=1,则原不等式解集为xR|x0且x1.55/59所以,当0a1时,原不等式解集为x|xa;当a1时,原不等式解集为x|xa2;当a=0或a=1时,原不等式解集为xR|x0且x1.56/5912.(能力综合)已知二次函数f(x)二次项系数为a,且不等式f(x)-2x解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)解析式;(2)若f(x)最大值为正数,求a取值范围.【解析】(1)f(x)+2x0解集为(1,3),故可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.57/59因为方程有两个相等实根,所以=-(2+4a)2-4a9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.因为a0,所以a=-,将a=-代入得f(x)解析式f(x)=-x2-x-.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-,58/59又a0且a0得解得a-2-或-2+a0.故当f(x)最大值为正数时,实数a取值范围是(-,-2-)(-2+,0).59/59
