1、第十二章第十二章 双变量关联性分析双变量关联性分析1/70v 概述概述r变量量间关系关系问题r两个关系两个关系肺活量肺活量体重、药品剂量疗效等。体重、药品剂量疗效等。年纪年纪身高、年纪血压、体温脉膊、身高、年纪血压、体温脉膊、l 互依关系：两变量间彼此关系互依关系：两变量间彼此关系 相关分析相关分析l 依存关系：一变量随另一变量改变而改变依存关系：一变量随另一变量改变而改变 回归分析回归分析2/70主要内容q 直线相关与回归概念直线相关与回归概念q 直线回归方程建立直线回归方程建立q 相关系数与回归系数假设检验相关系数与回归系数假设检验q 直线相关与回归区分与联络直线相关与回归区分与联络q 直
2、线相关与回归应用直线相关与回归应用3/70 直线相关直线相关 (linearcorrelation)又称又称简单相关简单相关或或PearsonPearson相关相关分析，用于分析，用于研究两个数值变量间是否存在线性相关关系研究两个数值变量间是否存在线性相关关系统计分析方法。统计分析方法。一、直线相关概念一、直线相关概念4/70 两种事物或现象之间相关关系基两种事物或现象之间相关关系基本上有以下本上有以下四种情况四种情况：l 正相关正相关l 负相关负相关l 无关（零相关）无关（零相关）l 非线性相关非线性相关二、相关类型二、相关类型5/70l 正相关：正相关：一个现象数值伴随另一个现象数值一个现
3、象数值伴随另一个现象数值增加而递增，如增加而递增，如图图11.6(a);若若X、Y呈正比，那么散点基本上在一直线呈正比，那么散点基本上在一直线上，称为完全正相关如上，称为完全正相关如图图11.6(b);l 负相关：负相关：一个现象数值伴随另一个现象数值增一个现象数值伴随另一个现象数值增加而递减，如图加而递减，如图11.6(c);若若X、Y呈反比，那么散点基本上在一直线呈反比，那么散点基本上在一直线上，称为完全负相关如图上，称为完全负相关如图11.6(d);相关性质可由散点图直观说明相关性质可由散点图直观说明 6/70l 无关（零相关）：无关（零相关）：若变量若变量 x 不论增加或降低，变量不论
4、增加或降低，变量 y 不受不受到影响，如到影响，如图图11.6(e)11.6(e)；l 非线性相关：非线性相关：变量变量 x 与与 y 增减在坐标上排列不呈直线增减在坐标上排列不呈直线性分布如弧形、抛物线形、性分布如弧形、抛物线形、S S形等如形等如图图11.6(f)11.6(f)反应两变量间相关关系反应两变量间相关关系统计方法可用统计方法可用相关图相关图和和相关系数相关系数两种方法表示两种方法表示7/70三、直线相关应用条件三、直线相关应用条件 又称又称积差相关系数积差相关系数或或PearsonPearson相关系数相关系数，说，说明含有直线关系两个变量间相关关系亲密明含有直线关系两个变量间
5、相关关系亲密程度与相关方向指标。程度与相关方向指标。要求两个变量均呈正态分布（要求两个变量均呈正态分布（双变量正态分布双变量正态分布）四、相关系数四、相关系数(correlation coefficient)及其意义及其意义r r 表示样本相关系数表示样本相关系数,表示总体相关系数。表示总体相关系数。8/70相关系数相关系数(r)意义：意义：描述两个变量直线相关描述两个变量直线相关方向与亲密方向与亲密 程度程度指标指标。表示方法：表示方法：-1r1（无单位）（无单位）r 值为正值为正 正相关正相关r 值为负值为负 负相关负相关|r|=1 完全相关完全相关|r|=0 零相关零相关9/70五、直线
6、相关分析基本步骤五、直线相关分析基本步骤l 绘制散点图绘制散点图l 计算相关系数计算相关系数l相关系数假设检验相关系数假设检验目标：目标：初步了解两个变量初步了解两个变量 间有没有直线关系间有没有直线关系 有没有可疑异常点有没有可疑异常点t-test,r-test10/70P170P170例例12-1表表12-1 12-1 年某地年某地1616名名7 7岁男孩体重与胸围资料岁男孩体重与胸围资料编号编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16体重体重 24.5 27.0 23.5 2
7、8.5 23.0 26.7 26.8 24.6 24.8 19.7 19.5 17.2 20.0 19.0 20.2 21.024.5 27.0 23.5 28.5 23.0 26.7 26.8 24.6 24.8 19.7 19.5 17.2 20.0 19.0 20.2 21.0(Kg)胸围胸围 61.0 62.0 60.0 64.0 59.3 58.4 58.6 58.7 58.5 56.0 55.6 54.5 53.0 52.0 58.0 57.061.0 62.0 60.0 64.0 59.3 58.4 58.6 58.7 58.5 56.0 55.6 54.5 53.0 52.0
8、58.0 57.0(cm)11/70l绘制散点图：绘制散点图：初步了解两个变量间相关关系初步了解两个变量间相关关系年某地年某地16名名7岁男孩体重与胸围散点图岁男孩体重与胸围散点图12/70l计算相关系数计算相关系数其中其中:公式公式 为为X X和和Y Y 离均差积和离均差积和为为X X 离均差平方和离均差平方和为为Y Y 离均差平方和离均差平方和为为x,y x,y 均数均数13/7014/70 r 计算结果说明了两个变量计算结果说明了两个变量X与与Y 之间关联之间关联 亲密程度亲密程度（绝对值大小）与（绝对值大小）与关联性质关联性质（正负号）（正负号）15/70从以上计算结果我们能否得出结论
9、从以上计算结果我们能否得出结论:该地该地7 7岁男孩体重与胸围之间呈正相关岁男孩体重与胸围之间呈正相关系，相关系数是系，相关系数是0.83430.8343。为何？为何？问题问题?本例中相关系数本例中相关系数r=0.8343，说明了含，说明了含16例例7岁男孩体重岁男孩体重与胸围之间存在相关关系与胸围之间存在相关关系。不过，这。不过，这16例只是例只是总体总体中中一个样本一个样本，由此得到相关系数会，由此得到相关系数会存在抽样误差。因为，当总体相关系数存在抽样误差。因为，当总体相关系数（）为）为零时零时，因为抽样误差，从总体抽出，因为抽样误差，从总体抽出16例，其例，其r 可可能不等于零能不等于
10、零。16/70l 总体相关系数假设检验总体相关系数假设检验检验检验 r r 是否来自总体相关系数为零是否来自总体相关系数为零总体总体（即即=0）目标：目标：r0两种可能两种可能 X X、Y Y 间确实有相关关系间确实有相关关系(0)n抽样误差影响(=0)17/70 t 检验检验 r 检验检验:方法：方法：r 标准误标准误r 界值表界值表18/70l相关关系亲密程度判断相关关系亲密程度判断l低度相关低度相关l中度相关中度相关l高度相关高度相关 普通说来，当样本量较大（普通说来，当样本量较大（n100），并对），并对r 进进行假设检验，有统计学意义时行假设检验，有统计学意义时（即即 ），r 绝对值
11、越大，说明两个变量之间关联程度越强。绝对值越大，说明两个变量之间关联程度越强。19/70六、相关分析中应用注意问题六、相关分析中应用注意问题|不能把毫无关联两种现象作直线相关分析不能把毫无关联两种现象作直线相关分析|资料要求两变量资料要求两变量x、y都应是来自正态分布总体都应是来自正态分布总体|应绘制散点图，当观察点分布有直线趋势应绘制散点图，当观察点分布有直线趋势时，才适宜作直线相关分析。时，才适宜作直线相关分析。|不能只依据不能只依据r绝对值大小来判断相关绝对值大小来判断相关亲密程度亲密程度|若若r 很小很小,即使即使t检验有统计学意义检验有统计学意义,但专业上但专业上意义不大。意义不大。
12、|相关关系相关关系可能是因果关系可能是因果关系,也可能是伴随关系也可能是伴随关系相关分析主要为深入研究提供线索。相关分析主要为深入研究提供线索。20/70 在在例例12-112-1中我们讨论了中我们讨论了7 7岁男孩体重与胸围岁男孩体重与胸围之间关系，知道了二者之间成正相关。之间关系，知道了二者之间成正相关。假如我们知道了一位假如我们知道了一位7 7岁男孩岁男孩体重体重，能推断出，能推断出 其其胸围胸围吗？或其吗？或其胸围胸围可能在什么范围内？可能在什么范围内？体重增加，体重增加，胸围胸围也在增加，假如也在增加，假如体重体重增加增加 2Kg2Kg，那么，那么胸围胸围增加多少增加多少cm?cm?
13、问题问题?21/70直线回归直线回归(linearregression)又又称称简简单单回回归归，用用于于研研究究两两个个数数值值变变量量间间依依存存关关系系，从从而而预预测测或或控控制制未未知知变变量量一个统计分析方法。一个统计分析方法。一、直线回归概念一、直线回归概念22/70P180例例13-1l 两种变量两种变量 v 自变量自变量 (independentvariable)v 应变量应变量 (dependentvariable)l 两种关系两种关系v 函数关系函数关系函数方程函数方程:v回归关系回归关系回归方程回归方程:欲用轻易测定体欲用轻易测定体重来预测和预计重来预测和预计心脏横径心
14、脏横径x x,y y 呈呈确定性关系确定性关系x x,y y 呈非呈非确定性关系确定性关系23/7013名名8岁正常男童体重与心脏横径散点图岁正常男童体重与心脏横径散点图 直线回归直线回归是分析两变量间线性依存改变是分析两变量间线性依存改变数量关系数量关系。24/70二、直线回归应用条件二、直线回归应用条件 要求要求Y 变量呈正态分布，变量呈正态分布，X变量能变量能够是准确测量和控制变量。够是准确测量和控制变量。25/70三、直线回归方程式及回归系数三、直线回归方程式及回归系数:为为Y预计值，读作预计值，读作Y hat a :为截距，即为截距，即时时值值 b :为样本回归系数为样本回归系数(直
15、线斜率直线斜率)；其；其统计学意义是统计学意义是X 每增加每增加(减减)一个一个单位单位Y 平均改变平均改变b 个单位个单位直线回归方程普通表示式为：直线回归方程普通表示式为：即即X 取某一定数值取某一定数值时对应时对应Y 样本均数样本均数（也是对应（也是对应Y点预点预计值）计值）a、b是是决定直决定直线两个线两个系数系数 26/70回归系数 b 和截距 a 计算 依据最小二乘法原理（依据最小二乘法原理（该法原理可确保各实该法原理可确保各实测点至直线纵向距离平方和最小测点至直线纵向距离平方和最小）可导出）可导出:为为X X 和和 Y Y 离均差积和离均差积和为为X X 离均差平方和离均差平方和
16、其中：其中：27/70四、直线回归分析基本步骤四、直线回归分析基本步骤l 绘制散点图绘制散点图l 计算回归系数计算回归系数 b b 与截距与截距 a al 对回归系数对回归系数 b b 进行假设检验进行假设检验l 列出回归方程列出回归方程 l 回归直线绘制回归直线绘制28/70五、回归系数统计推断五、回归系数统计推断l回归系数假设检验回归系数假设检验l 总体回归系数总体回归系数 预计预计 29/70l回归系数假设检验回归系数假设检验 假设检验方法假设检验方法:v t t 检验检验v 方差分析方差分析v r r 检验检验代替代替 30/70其中其中:Sb 为回归系数为回归系数b 标准误标准误SY
17、.X为剩下标准差，反应为剩下标准差，反应扣除了扣除了X影响后影响后Y变异变异v t t 检验检验31/70例例13-113-1 t tb b 检验步骤检验步骤 H0：=0,即体重和心脏横径间无直线回归关系即体重和心脏横径间无直线回归关系H1：0,即体重和心脏横径间有直线回归关系即体重和心脏横径间有直线回归关系 =0.05 b=0.2041,n=13,Sb=0.03098代入公式代入公式:查查t 值表，值表，t 0.05/2(11)=2.201,tb=6.592.201，则，则P0.05，按按 =0.05水准拒绝水准拒绝H0，接收，接收H1,可认为可认为该地该地8岁男孩体岁男孩体重与心脏横径重与
18、心脏横径间直线关系存在间直线关系存在,所求线性回归方程成立所求线性回归方程成立。32/70vr 检验代替检验代替 在实际应用中，假如已对相关系数进行了在实际应用中，假如已对相关系数进行了 假设检验，则可代替回归系数假设检验。假设检验，则可代替回归系数假设检验。对于同一资料，对于同一资料，t tr r=t=tb b 即假如相关系数即假如相关系数 假设检验有统计学意义，则回归系数检验假设检验有统计学意义，则回归系数检验 也有统计学意义，反之亦然。也有统计学意义，反之亦然。相关系数假设检验方法比回归系数假设相关系数假设检验方法比回归系数假设 检验方法简便易做检验方法简便易做33/70l总体回归系数区
19、间预计总体回归系数区间预计 像样本均数不一定恰好等于总体均数一样，像样本均数不一定恰好等于总体均数一样，求得样本回归系数求得样本回归系数 b b 以后，利用上述对回归系以后，利用上述对回归系数数 t t 检验公式，能够较为轻易得到总体回归系检验公式，能够较为轻易得到总体回归系数数 1-1-双侧可信区间为：双侧可信区间为：其中其中:Sb 为回归系数为回归系数b 标准误标准误34/70其中其中:SY.X为剩下标准差，反应为剩下标准差，反应扣除了扣除了X影响后影响后Y变异变异为残差平方和为残差平方和35/70例13.136/70 总体回归系数总体回归系数 95%95%双侧可信区间双侧可信区间:即即总
20、体回归系数总体回归系数 95%双侧可信区间为双侧可信区间为:0.1359cm0.2723cm 该区间不包含该区间不包含0，可按对应，可按对应 水准一样得到总体回归系数不为水准一样得到总体回归系数不为0结论，即用区间结论，即用区间预计回答相同预计回答相同 时假设检验问题时假设检验问题。37/70 l描述两变量依存关系描述两变量依存关系l利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测X预报因子预报因子Y 预报量预报量 利用个体利用个体Y 值允许区间方法进行计算值允许区间方法进行计算l利用回归方程进行统计控制利用回归方程进行统计控制利用个体利用个体Y值允许区间方法进行计算值允许区间方法进行计算五、直线回归
21、分析应用五、直线回归分析应用38/70l不能把毫无关联两种现象作直线回归分析不能把毫无关联两种现象作直线回归分析l应绘制散点图，当观察点分布有直线趋势应绘制散点图，当观察点分布有直线趋势时，才适宜作直线回归分析。时，才适宜作直线回归分析。观察异常点观察异常点l考虑回归分析应用条件考虑回归分析应用条件l直线回归方程适用范围普通以自变量取值范围直线回归方程适用范围普通以自变量取值范围为限为限，不可随意外延。，不可随意外延。六、直线回归分析应用注意事项六、直线回归分析应用注意事项39/70直线相关与直线回归直线相关与直线回归区分区分与与联络联络 回归回归要求自变量要求自变量 X X 是能够准确测量和
22、严格控制是能够准确测量和严格控制选定变量选定变量，对确定，对确定X X，应变量应变量 Y Y 是服从正态分布随是服从正态分布随机变量机变量,只能由只能由 推算出推算出 ，不能颠倒。，不能颠倒。相关相关要求要求X X 和和Y Y 均呈正态分布资料。均呈正态分布资料。1 1、应用条件不一样、应用条件不一样区分区分40/70 相关相关反应两变量相互关系，是一个反应两变量相互关系，是一个双向改变双向改变关系关系（即在两个变量中，任何一个改变都会引（即在两个变量中，任何一个改变都会引起另一个改变）。起另一个改变）。回归回归是反应两个变量间数量上依存关系，只是反应两个变量间数量上依存关系，只是一个由自变量
23、预计应变量是一个由自变量预计应变量单向关系单向关系。3 3、意义不一、意义不一样样2 2、用途不一、用途不一样样 研究两变量间相关关系用相关；研究两变量研究两变量间相关关系用相关；研究两变量间依存改变数量关系用回归。间依存改变数量关系用回归。区分区分41/704 4、r r 与与b b 意义与取值范围均不一样意义与取值范围均不一样 ，越大，散点图中各散点越趋越大，散点图中各散点越趋 向于回归直线，表明两变量间相关亲密程度越强；向于回归直线，表明两变量间相关亲密程度越强；b b 能够是任何实数，能够是任何实数，越大，即回归直线越越大，即回归直线越陡，说明当陡，说明当X X 改变一个单位时，改变一
24、个单位时，Y Y 平均改变就越平均改变就越大。反之也是一样。大。反之也是一样。区分区分42/70l r r 与与b b 方向一致方向一致lr r与与b b假设检验等价假设检验等价对同一组数据若同时计算对同一组数据若同时计算r与与b，其，其正负号是一正负号是一致致。对同一样本，对同一样本，r和和b假设检验得到假设检验得到t 值相等（即值相等（即t r=tb )。联络联络43/70l r r 与与b b 值可相交换算值可相交换算联络联络44/70l用回归解释相关用回归解释相关r2 意义意义:它反应应变量它反应应变量y总变异中总变异中,可用回归解释可用回归解释百分比百分比,反应回归模型拟合效果指标反
25、应回归模型拟合效果指标联络联络r 平方即为决定系数平方即为决定系数(coefficient of determination)45/70小小 结结直线相关直线相关直线回归直线回归46/701 1、依据样本算得一相关系数依据样本算得一相关系数r,经经t 检验检验,P 0.01，说明，说明r来自高度相关相关来自高度相关相关总体总体()思索题思索题是非题是非题47/702 2、两变量间有直线回归关系存在，即可两变量间有直线回归关系存在，即可认为两变量间有因果关系认为两变量间有因果关系()思索题思索题是非题是非题48/70思索题思索题3 3、相关分析和回归分析有何不一样？相关分析和回归分析有何不一样？
26、3、回归系数回归系数 b b 和截距和截距 a a 分别表示分别表示 什么意义？什么意义？预习预习:第十六章、惯用统计图和统计表第十六章、惯用统计图和统计表49/70谢谢！谢谢！50/70相关关系示意相关关系示意:0 r1-1r0正相关正相关负相关负相关-1r00r1-1r2.145，则，则P0.05，按按 =0.05水准拒绝水准拒绝H0，接收，接收H1,差异有统计学意义差异有统计学意义,可认可认为为体重和胸围体重和胸围之间有正相关关系。之间有正相关关系。55/70查表法查表法r=0.8343,=16-2=14，查，查r 界值表界值表(P349附表附表14)r0.05(14)=0.497r r
27、=0.8343=0.83430.497,0.497,P P0.050.05，按，按 =0.05=0.05水准水准拒绝拒绝H H0 0，接收，接收H H1 1,差异有统计学意义差异有统计学意义,可认为该可认为该地男孩体重和胸围之间有正相关关系。地男孩体重和胸围之间有正相关关系。56/70 现有现有两个样本两个样本：r1=0.612,1=7;r2=0.435,2=50。不能依据。不能依据r1 r2 就说就说 r1比比 r2相关更亲密。因为查相关系数界值相关更亲密。因为查相关系数界值 表表，样本样本1得得 P 0.05,样本样本2得得P 0.01 按按 检验水准检验水准=0.05,前者可认为无相关而
28、后前者可认为无相关而后 者有相关者有相关,可见可见正确推断有没有相关必须经过正确推断有没有相关必须经过假假 设检验。设检验。例例:57/70a a 为截距为截距,即即 x=0 x=0 时时 y y 值值a(a0)(a0)(a0)58/70b b为回归系数为回归系数,即即 直线斜率直线斜率(b0)(b0)(b=0)b个单位个单位1个单位个单位b=0时时X与与Y无直线关系无直线关系 X每增加每增加(减减)一一个单位，个单位，Y平均平均改变改变b个单位个单位 59/7060/7013名名8岁正常男童体重与心脏横径散点图岁正常男童体重与心脏横径散点图 a a、b b 是依据最小二乘法原理（是依据最小二
29、乘法原理（各实测点至各实测点至直线纵向距离平方和最小直线纵向距离平方和最小 ）求得）求得P1P2(残差残差)61/70例13-162/70在自变量在自变量X实测范围内实测范围内任取相距较远易读两任取相距较远易读两个值，求出对应个值，求出对应Y 预计值，用直线连接。预计值，用直线连接。13名名8岁正常男童体重与心脏横径散点图岁正常男童体重与心脏横径散点图（0 0，a a）P1(20,8.29)P2(26,9.52)(59.26,142.87)y=4.2121+0.2041x63/70SAH患者第一天血清和脑脊液患者第一天血清和脑脊液IL-6(pg/ml)检测结果散点图检测结果散点图P1(23,1
30、00.1)P2(96,186.24)y=72.96+1.18x(59.26,142.87)（0 0，a a）在自变量在自变量X实测范围内实测范围内任取相距较远易读两任取相距较远易读两个值，求出对应个值，求出对应Y 预计值，用直线连接。预计值，用直线连接。64/70l 利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测 即利用回归方程，由一个轻易测量变量值即利用回归方程，由一个轻易测量变量值(自变量自变量X X 预报因子预报因子)推算另一个不易测得变推算另一个不易测得变量值量值(应变量应变量Y Y 预报量预报量)。u 如由儿童年纪推算其体重如由儿童年纪推算其体重，将，将预报因子预报因子 X X （儿童年纪
31、）代入回归方程后，求得（儿童年纪）代入回归方程后，求得 值值 为为应变量应变量 Y Y （体重）预计值，这属于点（体重）预计值，这属于点 值预计；其波动范围可求个体值预计；其波动范围可求个体Y Y 值允许值允许 区间，即为区间预计。区间，即为区间预计。65/70l 利用回归方程进行统计控制利用回归方程进行统计控制 统计控制统计控制是指为了满足是指为了满足Y Y 最高不超出（或最高不超出（或最低不低于）限定某一个数值，最低不低于）限定某一个数值，X X 应控制在多应控制在多大范围？这是利用回归方程进行大范围？这是利用回归方程进行逆预计逆预计。如：如：汽车数量与大气中汽车数量与大气中 NO NO2
32、 2 浓度浓度呈直线回归关系，呈直线回归关系，为了控制大气污染，可经过限制汽车数量来实现。为了控制大气污染，可经过限制汽车数量来实现。假如大气中假如大气中 NO NO2 2 最大允许浓度一定，则经过直线回最大允许浓度一定，则经过直线回归方程可求出汽车最大允许流量。归方程可求出汽车最大允许流量。66/70在自变量在自变量X实测范围内实测范围内任取相距较远易读两任取相距较远易读两个值，求出对应个值，求出对应Y 预计预计值，用直线连接。值，用直线连接。l绘制直线回归图绘制直线回归图 取易读数且离得相对较远两个取易读数且离得相对较远两个X X 值代入值代入直线回归方程求得两个直线回归方程求得两个 Y Y ,得两点并连线即可。得两点并连线即可。67/70直线回归直线回归是分析两变量间线性依存改变数量关系。是分析两变量间线性依存改变数量关系。68/70l确定性关系确定性关系(函数关系函数关系)：两变量取值完全一一两变量取值完全一一对应对应如如:y=2 rl非确定性关系非确定性关系(回归关系回归关系)：两变量取值并非两变量取值并非完全一一对应，而是含有随机性一个完全一一对应，而是含有随机性一个“趋势趋势”r两两变量量间关系关系如如:年纪年纪身高、年纪血压、体温脉膊等身高、年纪血压、体温脉膊等69/7070/70
