1、 绝对值不等式绝对值不等式1/17 绝对值三角不等式绝对值三角不等式2/17关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a点点A A到原点到原点O O距离距离.3/174/17证实证实:1:10.0.当当ab00时时,2 20 0.当当ab00时时,综合综合1 10 0,2,20 0知定理成立知定理成立.5/176/17定理定理2 2 假如假如a a、b b、c c是实数是实数,-那么那么|a-c|a-c|a-b|+|b-c|a-b|+|b-c|-当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)0 0时时,等号成立等号成立.定理定理3 3 假如假如
2、a a、b b是实数是实数,-那么那么|a|-|b|a|-|b|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|当且仅当当且仅当ab ab 0 0时时,等号成立等号成立.当且仅当当且仅当ab ab 0 0时时,等号成立等号成立.将定理中实数将定理中实数a a、b b换成向量换成向量(或复数或复数)仍成立仍成立7/17 绝对值三角不等式应用绝对值三角不等式应用8/17证证:证实：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以所以|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|
3、5.9/17例2 两个施工队分别被安排在公路沿线两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队共同暂时生活区，每个施工队天天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队天天往返旅程之和最小，生活区应该建于何处？分析：分析：假设生活区建在公路路碑第假设生活区建在公路路碑第xkm处，两个处，两个施工队天天往返旅程之和为施工队天天往返旅程之和为S(x)km，则有，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数，要求问题化归为求该函数最小值，可用绝对值三角不等式求解。最小值，可用绝对值三角不等式求解。10/17 已知二次函数已知
4、二次函数f f(x x)=)=x x2 2+axax+b b(a a，b bR R）定义域为定义域为-1-1，1 1，且，且|f f(x x)|)|最大值为最大值为M M.(1)(1)证实证实：|1+|1+b b|M M;(2)(2)当当 时，试求出时，试求出f f（x x）解析式）解析式.由由|f f(x x)|)|在在-1-1，1 1上最大值为上最大值为M M 建立不等式建立不等式M M|f f（1 1）|，M M|f f（0 0）|，M M|f f（-1-1）|是处理问题关键是处理问题关键.11/17（1 1）证实证实 M M|f f（-1-1）|=|1-|=|1-a a+b b|，M
5、M|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+b b|，2 2M M|1-|1-a a+b b|+|1+|+|1+a a+b b|（1-1-a a+b b）+（1+1+a a+b b）|=2|1+|=2|1+b b|，M M|1+|1+b b|.|.（2 2）证实证实 依题意，依题意，M M|f f（-1-1）|，M M|f f（0 0）|，M M|f f（1 1）|，又又f f（-1-1）=|1-=|1-a a+b b|，|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+b b|，|f f（0 0）|=|=|b b|，44M M|f f（-1-1）|+2|+2|f f（0 0）|+|+|f f
6、（1 1）|=|1-=|1-a a+b b|+2|+2|b b|+|1+|+|1+a a+b b|（1-1-a a+b b）-2-2b b+（1+1+a a+b b）|=2|=2，12/17（3 3）解解13/17 证实含有绝对值不等式，其思绪有证实含有绝对值不等式，其思绪有两种：（两种：（1 1）恰当利用）恰当利用|a a|-|-|b b|a ab b|a a|+|+|b b|进行放缩，并注意不等号传递性及等号成立条进行放缩，并注意不等号传递性及等号成立条件；（件；（2 2）把含有绝对值不等式等价转化为不含）把含有绝对值不等式等价转化为不含绝对值不等式，再利用比较法、综正当及分析法绝对值不等
7、式，再利用比较法、综正当及分析法进行证实进行证实.14/17 例例4 4 设设f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c，当，当|x x|1|1时，总有时，总有|f f(x x)|1,)|1,求证：求证：|f f（2 2）|8.|8.证实证实 方法一方法一 当当|x x|1|1时时,|,|f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，即，即|c c|1.|1.又又|f f（1 1）|1|1，|f f（-1-1）|1|1，|a a+b b+c c|1|1，|a a-b b+c c|1.|1.又又|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|+2|+2|c c|a
8、a+b b+c c+a a-b b+c c-2-2c c|=|2|=|2a a|，且且|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|+2|+2|c c|4|4，|a a|2.|2.15/17|2|2b b|=|=|a a+b b+c c-（a a-b b+c c）|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|2|2，|b b|1|1，|f f（2 2）|=|4|=|4a a+2+2b b+c c|=|=|f f（1 1）+3+3a a+b b|f f（1 1）|+3|+3|a a|+|+|b b|1+6+1=8|1+6+1=8，即即|f f（2 2）|8.|8.方法二方
9、法二 当当|x x|1|1时，时，|f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，|f f（1 1）|11，|f f（-1-1）|1.|1.由由f f（1 1）=a a+b b+c c，f f（-1-1）=a a-b b+c c，f f（0 0）=c c知知16/17f f（2 2）=|4=|4a a+2+2b b+c c|=|2=|2f f(1)+2(1)+2f f(-1)-4(-1)-4f f(0)+(0)+f f(1)-(1)-f f(-1)+(-1)+f f(0)|(0)|=|3=|3f f(1)+(1)+f f(-1)-3(-1)-3f f(0)|(0)|3|3|f f(1)|+|(1)|+|f f(-1)|+3|(-1)|+3|f f(0)|(0)|31+11+31=78.31+11+31=78.17/17
