1、高二数学 选修2-2 第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理合情推理 这种由某类事物的部分对象含有某些特性，推这种由某类事物的部分对象含有某些特性，推出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理，或出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理，或者由个别事实概括出普通结论的推理，称为归纳推者由个别事实概括出普通结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）理（简称归纳）.简言之：归纳推理是由特殊到普通的推理归纳推理的普通环节：归纳推理的普通环节：检查猜想。检查猜想。提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行
2、观察、分析、归纳整顿；归纳整顿；1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿虫的牙齿,发明了锯发明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮原理中沉浮原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.除了归纳除了归纳,在人们在人们 的发明发明活动中的发明发明活动中,还惯用类比还惯用类比.3.“火星上与否有生命火星上与否有生命”地球地球火星火星行星行星行星行星围绕太阳运行围绕太阳运行,绕轴自转绕轴自转围绕太阳运行围绕太阳运行,绕轴自转绕轴自转有大气层有大气层有大气层有大气层一年中有季节的变更一年中有季节的变更一年中有季节的变更一年中有季节的变更温度适合生物的的生存温
3、度适合生物的的生存大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些生物的生存球上某些生物的生存.有生命存在有生命存在火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在在两类不同事物之间进行对比在两类不同事物之间进行对比,找出若干相似或找出若干相似或相似点之后相似点之后,推测在其它方面也能够存在相似或推测在其它方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式相似之处的一种推理模式,称为类比推理称为类比推理.(.(简称简称;类比类比)二二.类比推理的几个特点类比推理的几个特点:1.1.类比推理是从特殊到特殊的推理类比推理是从特殊到特殊的推理;3.3.类比推理以旧的知识作基础类比推理以旧的知识作基础,推测新
4、的成果推测新的成果,含有含有发现的功效发现的功效.4.4.类比推理的前提是两类对象之间含有某些能够清类比推理的前提是两类对象之间含有某些能够清晰定义的类似的特性晰定义的类似的特性,因此进行类比推理的核心是因此进行类比推理的核心是明确地指出两类对象在某些方面的类似特性明确地指出两类对象在某些方面的类似特性.2.2.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特性类比推理是从人们已经掌握了的事物的特性,推推测正在被研究中的事物的特性测正在被研究中的事物的特性,因这类比推理的成因这类比推理的成果含有猜想性果含有猜想性,不一定可靠不一定可靠.一一.类比推理的概念类比推理的概念:简言之简言之,类比推理是从特殊到特
5、殊的推理类比推理是从特殊到特殊的推理若 ，则 若 ，则 空间向量空间向量的性质的性质运用平面对量的性质类比得运用平面对量的性质类比得空间向量平面对量圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与但是球心
6、的截面球心与但是球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2运用圆的性质类比得出球的性质运用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积
7、类比推理的普通环节：类比推理的普通环节：找出两类对象之间能够确切表述的相似找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；特性；用一类对象的已知特性去推测另一类对象用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性的特性,从而得出一种猜想；从而得出一种猜想；检查猜想。检查猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论例例3 3：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想试给出空间中四周体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC
8、=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:你认为平面几何中的哪一类图形能够作为四你认为平面几何中的哪一类图形能够作为四周体的类比对象周体的类比对象?D2条直角边条直角边a，b和和1条条斜边斜边c直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四周体个面两两垂直的四周体4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个边的长度个边的长度a，b，c PDFPDEEDF903个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S C90a ab bc co oA AB BC C 合情推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过观察、归纳推理和类比推理
9、都是根据已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用数学研究中，得到一种新结论之前，合情推理数学研究中，得到一种新结论之前，合情推理经常能协助我们猜想和发现结论。经常能协助我们猜想和发现结论。证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我们提供证明的思路和方向们提供证明的思路和方向两个推理两个推理的过程的过程:从具
10、体问从具体问题出发题出发观察观察,分析分析,比较比较,联想联想归纳归纳,类比类比提出提出猜想猜想类比推理类比推理由特殊到特殊的推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测新的成果；推测新的成果；结论不一定成立结论不一定成立.归纳推理归纳推理由部分到整体、特殊到普通的推理由部分到整体、特殊到普通的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础,推测新的结论推测新的结论;含有发现的功效含有发现的功效;结论不一定成立结论不一定成立.含有发现的功效含有发现的功效;小结小结1.归纳推理的普通环节：归纳推理的普通环节：检查猜想。检查猜想。提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想
11、；对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、归纳整顿；归纳整顿；2.类比推理的普通环节：类比推理的普通环节：找出两类对象之间能够确切表述的相似找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；特性；用一类对象的已知特性去推测另一类对象用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性的特性,从而得出一种猜想；从而得出一种猜想；检查猜想。检查猜想。几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四周体（各面均为三角形）四周体（各面均为三角形）四边形四边形六面体（各面均为四边形）六面体（各面均为四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象数数 向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集或，且，非运算或，且，非运算
