1、2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.12.1.1合情推理合情推理-类比推理类比推理汾西一中汾西一中 刘惠文刘惠文教学目的教学目的 结合已学过的数学实例和生活中的实例，理解合情推理的含义，能运用归纳和类比等进行简朴的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点：理解合情推理的含义，能运用归纳和类比等进行简朴的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用这种由某类事物的部分对象含有某些特性这种由某类事物的部分对象含有某些特性,推推出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理,或者由个别事实概栝出普通结论的推理或者由个别事实概栝出普通结论
2、的推理,称为称为归纳推理归纳推理.(.(简称：归纳简称：归纳)归纳是立足于观察、经验归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分实验和对有限资料分析的基础上析的基础上.提出带有规律性的结论提出带有规律性的结论.需证明需证明一、复习：什么是归纳推理？一、复习：什么是归纳推理？归纳推理的普通模式归纳推理的普通模式:1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩晦气事却使他发明了锯子桩晦气事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的
3、思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也能够是齿形的它也能够是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇发明了潜水艇.二、情景引入：二、情景引入：这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大
4、部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球类比推理的几个特点类比推理的几个特点;1.1.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的
5、类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性.这种由两类对象含有某些类似特性，和其中一类对象这种由两类对象含有某些类似特性，和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也含有这些特性的的某些已知特性，推出另一类对象也含有这些特性的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理是由特殊到特殊的推理三：三：1 1、类比推理定义、类比推理定义4 4、由于类比推理的前提是两类对象之间含有某些能够、由于类比推理的前提是两类对象之间含有某些能够清晰定义的类似特性，因这类比推理的核心是明确地清晰定义的类似特性，因这类比推理的核心是明
6、确地指出两类对象在某些方面的类似特性。指出两类对象在某些方面的类似特性。2、类类比比推推理理是是从从人人们们已已经经掌掌握握了了的的事事物物的的特特性性，推推测测正正在在被被研研究究中中的的事事物物的的特特性性，因因这这类类比比推推理理的的成成果含有猜想性，不一定可靠。果含有猜想性，不一定可靠。3、类类比比推推理理以以旧旧的的知知识识作作基基础础，推推测测新新的的成成果果，含含有发现的功效。有发现的功效。2 2、类比推理的普通环节：、类比推理的普通环节：找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特用一类对象的已知特性去
7、推测另一类对象的特性，从而得出一种猜想；性，从而得出一种猜想；检查猜想。即检查猜想。即 观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论在两类不同事物之间进行对比在两类不同事物之间进行对比,找出若干找出若干相似或相似点之后相似或相似点之后,推测在其它方面也能推测在其它方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式够存在相似或相似之处的一种推理模式,称为类比推理称为类比推理.(.(简称简称;类比类比)四、类比推理举例四、类比推理举例探究探究1：类比圆的特性，说说球的有关特性，并阐：类比圆的特性，说说球的有关特性，并阐明推理的过程。明推理的过程。例例1试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平
8、面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一种定点的距离等于定长的点的集合圆的定义：平面内到一种定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：空间中到一种定点的距离等于定长的点的集合球的定义：空间中到一种定点的距离等于定长的点的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为
9、(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与但是球心的截面球心与但是球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(
10、z-z0 0)2 2=r=r2 2运用圆的性质类比得出求的性质运用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积例例2 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,bR,则则a+bR运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,bR,则则abRab=ba(
11、ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a通过例通过例1，例，例2你能得到类比推理的普通模式吗？你能得到类比推理的普通模式吗？类比推理的普通模式类比推理的普通模式:因此因此B类事物可能含有性质类事物可能含有性质d.A类事物含有性质类事物含有性质a,b,c,d,B类事物含有性质类事物含有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相似）相似或相似）若若 ，则则 若若 ，则则 空间向量空间向量的性质的性质例例3.3.运用平面对量的性质类比得运用平面对量的性质类比得空间向量空间向量平面对量平面对量练习练习:(2001:(2001年
12、上海年上海)已知两个圆已知两个圆x2+y2=1:x2+y2=1:与与x2+(y-3)2=1,x2+(y-3)2=1,则由则由式减去式减去式可得上式可得上述两圆的对称轴方程述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍将上述命题在曲线仍然为圆的状况下加以推广然为圆的状况下加以推广,即规定得到一种即规定得到一种更普通的命题更普通的命题,而已知命题应成为所推广命而已知命题应成为所推广命题的一种特例题的一种特例,推广的命题为推广的命题为-(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设
13、圆的方程为b bd),d),则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴式可得上述两圆的对称轴方程方程.四、类比推理举例四、类比推理举例能够从不同角度拟定类比对象：能够从不同角度拟定类比对象：构成几何体的元素数目：四周体构成几何体的元素数目：四周体 三角形三角形 探究探究2：你认为平面几何中的哪一类图：你认为平面几何中的哪一类图形能够作为四周体的类比对象呢？形能够作为四周体的类比对象呢？运用类比法的核心是：寻找一种适宜的类比对象运用类比法的核心是：寻找一种适宜的类比对象基本原则是：要根据现在问题的需要，选择适宜的类比对象。基本原则是：要根据现在问题的需要，选择适宜的类比对象。例例4 类比平面内直
14、角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间给出空间 中四周体性质的猜想中四周体性质的猜想直角三角形直角三角形C903个边个边的长度的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c3 3个面两两垂直的四周体个面两两垂直的四周体AOBAOCBOC90 4个面的个面的面积面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S例例4 4类比平面内直角三角形的勾股定理，试类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想给出空间中四周体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cc c2 2=a=a2 2+b+b2
15、 2S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:s s1 1s s2 2s s3 3练习练习1.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三为三角形内任一点角形内任一点,P到对应三边的距离分别为到对应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们能够得我们能够得到结论到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论ABCPpapbpcABCDP证证法法练习练习2 2：(2005(2005年全国年全国)计算机中惯用的十
16、六计算机中惯用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字进位制是逢进的计算制，采用数字-和字母和字母-共个计数符号，这些符共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系以下表；号与十进制的数的对应关系以下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用进位制表达例如用进位制表达+，则，则（）（）十六进位十六进位十进位十进位E E类比推理类比推理类比推理类比推理以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测新推测新的成果，含有发现的功效的成果，含有发现的功效由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意通过以上例子,我们不难发现其推理过程都是:从具体问题出发 观察、分析、比较
17、、联想 归纳、类比 提出猜想可见，归纳和类比推理都是根据已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理。那么在我们的数学解题中，你认为合情推理有什么重要作用吗？合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数
18、学研究中，得到一种新结论之前，合情推理数学研究中，得到一种新结论之前，合情推理经常能协助我们猜想和发现结论。经常能协助我们猜想和发现结论。证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我们提供证明的思路和方向们提供证明的思路和方向五、课堂小结：五、课堂小结：1、运用类比办法解决问题，其基本过程可用框图、运用类比办法解决问题，其基本过程可用框图 表达以下：表达以下：原问题原问题类比问题类比问题原问题解法原问题解法类比问题的解法类比问题的解法2、运用类比法的核心是：寻找一种适宜的类比对象。、运用类比法的核心是：寻找一种适宜的类比对象。几何中常见的类比对象几何中常见的
19、类比对象三角形三角形四周体（各面均为三角形）四周体（各面均为三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象数数 向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集或，且，非运算或，且，非运算无限无限有限有限六、小结六、小结 1.1.归纳推理是由部分到整体，由个别到普归纳推理是由部分到整体，由个别到普通的推理，应用归纳推理能够发现某类事物通的推理，应用归纳推理能够发现某类事物的普通规律，获得新结论，但它不能作为数的普通规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的办法学证明的办法.2.2.类比推理是由特殊到特殊的推理
20、，它能类比推理是由特殊到特殊的推理，它能够由已经解决的问题和获得的结论出发，通够由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的办法不能作为数学证明的办法.3.3.由归纳推理和类比推理得到的结论只是由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定对的，但可觉一种猜想，所得的结论不一定对的，但可觉得我们的研究提供一种思路和方向得我们的研究提供一种思路和方向.归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的普通现象，该象，归纳所得的结论是尚
21、属未知的普通现象，该结论超越了前提所包容的范畴，是从特殊到普通结论超越了前提所包容的范畴，是从特殊到普通得命题的猜想，与否对的是需要证明的。得命题的猜想，与否对的是需要证明的。类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相似或相似点之后，推测在其它对比，找出若干相似或相似点之后，推测在其它方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式，方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式，类比推理与否对的是需要证明的。类比推理与否对的是需要证明的。实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜想普通性结论猜想普通性结论观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推
22、猜想新的结论猜想新的结论特点特点 ：4 4、由于类比推理的前提是两类对象之间含有某、由于类比推理的前提是两类对象之间含有某些能够清晰定义的类似特性，因这类比推理的些能够清晰定义的类似特性，因这类比推理的核心是明确地指出两类对象在某些方面的类似核心是明确地指出两类对象在某些方面的类似特性。特性。1、类比推理是由、类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理。的推理。2、类类比比推推理理是是从从人人们们已已经经掌掌握握了了的的事事物物的的特特性性，推推测测正正在在被被研研究究中中的的事事物物的的特特性性，因因这这类比推理的成果含有猜想性，不一定可靠。类比推理的成果含有猜想性，不一定可靠。3、类类比比推推
23、理理以以旧旧的的知知识识作作基基础础，推推测测新新的的成成果，含有发现的功效。果，含有发现的功效。例例2.(2003年新课程年新课程)在平面几何里在平面几何里,有勾股定理有勾股定理:“设设ABC的两边的两边AB、AC互相垂直，则互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，能够得出的对的结论是关系，能够得出的对的结论是“设三棱锥设三棱锥A-BCD的三个侧面的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则两两互相垂直，则 .DABC练习练习2.（2004广东，广东，15）由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)
