1、第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030 13 1317176 6 6 63+33+33+33+3，8 8 8 83+5,3+5,3+5,3+5,101010105+5,5+5,5+5,5+5,100010001000100029+97129+97129+97129+971，1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6的的的的偶数都等于
2、两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和.数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 凸凸n边形边形内角和为内角和为第一种芒果是第一种芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜
3、的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一种数为第一种数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 凸凸n边形边形内角和为内角和为第一种芒果是第一种芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一种数为第一种数为2第二个数为第二个数为4
4、第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程：具体的材料具体的材料观察分析观察分析猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论归纳推理的过程：归纳推理的过程：由某类事物的由某类事物的 含有某些特性含有某些特性,推出该类事物的推出该类事物的 都含有这些特性都含有这些特性的推理的推理,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理,称为归纳推理称为归纳推理(简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实普通结论普通结论 1.已知数列已知数列 的第一项的第一项 =1,且且 (1，2，3，)，
5、请归纳出这个数列的通项公式为请归纳出这个数列的通项公式为_.2.(052.(05年广东年广东)设平面内有设平面内有n n条直线条直线(n3),(n3),其中有其中有且仅有两条直线互相平行且仅有两条直线互相平行,任意三条直线但是同一任意三条直线但是同一点点.若用若用f(n)f(n)表达这表达这n n条直线交点的个数条直线交点的个数.当当n 3 n 3 时时,f(n)=,f(n)=.(.(用用n n表达表达)归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到普通的推理个别到普通的
6、推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳
7、运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球 由两类对象含有某些类似特性和其中由两类对象含有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性一类对象的某些已知特性,推出另一类对推出另一类对象也含有这些特性的推理称为类比推理象也含有这些特性的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的几个特点类比推理的几个特点;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了
8、的事物的属性,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础,类比类比出新的成果出新的成果.2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的成果是猜想性的不一定可靠类比的成果是猜想性的不一定可靠,但它却有发但它却有发现的功效现的功效.从第二项起，每一项与其前一项的从第二项起，每一项与其前一项的差等于一种常数的数列是等差数列差等于一种常数的数列是等差数列.类推类推类推类推 从第二项起，每一项与其前一项的从第二项起，每一项与其前一项的和等于一种常数的数列是等和数列和等于一种常数的
9、数列是等和数列.我们已经学习过我们已经学习过“等差数列等差数列”与与“等比数列等比数列”.你与否想过你与否想过“等和数列等和数列”、“等积数列等积数列”？例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。类比推理的结论不一定成立类比推理的结论不一定成立.例例2 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中
10、四周体性质的猜想试给出空间中四周体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:总结：总结：1.进行类比推理的环节：进行类比推理的环节：(1)找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；(2)用一类对象的已知特性去猜想另一类对象的特性，用一类对象的已知特性去猜想另一类对象的特性，从而得出一种猜想；从而得出一种猜想；(3)检查这个猜想检查这个猜想.2、类比推理的普通模
11、式、类比推理的普通模式:因此因此B类事物可能含有性质类事物可能含有性质d.A类事物含有性质类事物含有性质a,b,c,d,B类事物含有性质类事物含有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相似）相似或相似）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理类比推理类比推理类比推理以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测新推测新的成果，含有发现的功效的成果，含有发现的功效由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意 小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问
12、从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理1由上图（左）有面积关系：则由上图（右），则类似的结论是：例例例例3.3.3.3.传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的一根针上的一根针上的一根针上的64646464个圆环个圆环个圆环个圆环.古印度的天神批示他
13、的僧侣们按下列规则古印度的天神批示他的僧侣们按下列规则古印度的天神批示他的僧侣们按下列规则古印度的天神批示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡过渡过渡过渡”的的的的作用作用作用作用.1.1.1.1.每次只能移动每次只能移动每次只能移动每次只能移动1 1 1 1个圆环；个圆环；个圆环；个圆环；2.2.2.2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较
14、小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这64646464个圆环全部移到另一根针上，那个圆环全部移到另一根针上，那个圆环全部移到另一根针上，那个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了么世界末日就来临了么世界末日就来临了么世界末日就来临了.请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把 64 64 64 64 个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1 1 1号针移到号针移到号针移到号针移到3 3 3 3号针号针号针号针,最少需要最少需要最少需要最少需要移动多少次移动多少次移动多少次移动多少次?把把把把n n n n
15、个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1 1 1号针移到号针移到号针移到号针移到3 3 3 3号针最少需要移动多少次？号针最少需要移动多少次？号针最少需要移动多少次？号针最少需要移动多少次？1 12 23 3123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3.设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1时，时，1 2时，时，123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3.前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2;第第第第2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3
16、3;第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3.设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1 1时，时，3 n2时时,a23n1时时,a1 1 n3时，时，123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3.前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2;第第第第2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3;前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3.前前前前2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2;第第第第3 3个圆环从个圆
17、环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3;前前前前2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3.设设 为把为把n 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则n=4时，时，a4=15猜想猜想猜想猜想:a:a6464=2=26464-1-1猜想猜想猜想猜想:a:an n=2=2n n-1-1a3=7圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半
18、径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与但是球心的截面球心与但是球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2运用圆的性质类比得出球的性质运用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积
