1、2.1曲线与方程曲线与方程2.1.1曲线与方程曲线与方程复习回想复习回想:我我们研究了直研究了直线和和圆的方程的方程.1.通通过点点P(0,b)和斜率和斜率为k的直的直线l的方程的方程为_2.在直角坐在直角坐标系中系中,平分第一、三象限的平分第一、三象限的直直线方程是方程是_3.圆心心为C(a,b),半径半径为r的的圆C的方程的方程为_.x-y=0点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线含有关系含有关系：x-y=0 xy0（1）上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都
2、的解为坐标的点都在在 上上曲线曲线坐标坐标方程方程坐标系中坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是平分第一、三象限的直线方程是x-y=0圆心为圆心为C(a,b),半径为半径为r的圆的圆C的方程为的方程为:你能说出圆上的点的坐标你能说出圆上的点的坐标方程方程的解的解关系关系？圆上的点的坐标都是方程的解圆上的点的坐标都是方程的解以这个方程的解为坐标的点都是圆上的点以这个方程的解为坐标的点都是圆上的点(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程;这条曲线叫做
3、方程的曲线方程的曲线.定义定义:1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所示的图形反映的是数量关系所示的图形.f(x,y)=00 xy普通地普通地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上上的点与一种二元方程的点与一种二元方程f(x,y)=0的实数解建立了的实数解建立了以下的关系以下的关系:阐明阐明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程的解的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，阐明曲线上没有坐标不满
4、足方程的点，也就是说曲线上全部的点都符合这个条也就是说曲线上全部的点都符合这个条件而毫无例外件而毫无例外.（纯正性）（纯正性）.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线以这个方程的解为坐标的点都在曲线上上”,阐明符合方程的解全部点都在曲线阐明符合方程的解全部点都在曲线上而毫无遗漏上而毫无遗漏.（完备性）（完备性）.由曲线的方程的定义可知由曲线的方程的定义可知:如果曲线如果曲线C的方程是的方程是f(x,y)=0，那么点，那么点P0(x0,y0)在曲线在曲线C上的上的充要条件充要条件是是f(x0,y0)=0例例1:判断下列命题与否对的判断下列命题与否对的解解:1)不对的，不含有不对的，不含有(2)完
5、备性，应为完备性，应为x=3,2)不对的不对的,不含有不含有(1)纯正性，应为纯正性，应为y=1.3)对的对的.4)不对的不对的,不含有不含有(2)完备性完备性,应为应为x=0(-3y0).1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线的方程为轴的直线的方程为x=32)到到x轴距离等于轴距离等于1的点构成的直线方程为的点构成的直线方程为y=13)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方的点的轨迹方程为程为xy=14)ABC的顶点的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为为BC中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程x=0 第一步，设 M(x0,y0)是
6、曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:证明已知曲线的方程的办法和环节 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M(x0,y0)在曲线C上.练习练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？所列出的方程吗？为什么？(1)曲线曲线C为过点为过点A(1，1)，B(-1，1)的折的折线线(如图如图(1)其方程为其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线曲线C是顶点在原点的抛物线其方程是顶点在原点的抛物线其方程为为x+=0;(3)曲线曲线C是是,象限内到象限内到x轴，轴，y轴的距轴的距离乘积为离乘积为1的
7、点集其方程为的点集其方程为y=。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221练习练习2:下述方程表达的图形分别是下述方程表达的图形分别是下图中的哪一种？下图中的哪一种？-=0|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD练习练习3:若命题若命题“曲线曲线C上的点的坐标满足方上的点的坐标满足方程程f(x,y)=0”是对的的是对的的,则下列命题中对的的则下列命题中对的的是是()A.方程方程f(x,y)=0所示的曲线是所示的曲线是CB.坐标满足坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C上上C.方程方程f(x,y)=0的曲线是曲线
8、的曲线是曲线C的一部分或的一部分或是曲线是曲线CD.曲线曲线C是方程是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或的曲线的一部分或是全部是全部DC练习练习4:设圆设圆M的方程为的方程为,直线直线l的方程为的方程为x+y-3=0,点点P的坐标为的坐标为(2,1),那么那么()A.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上；C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上练习练习5:已知方程已知方程的曲线经过的曲线经过点点,则则m=_,n=_.2.1.2求曲线的方程求曲线的方程（1）复习回想
9、复习回想2.练习：练习：(1)设设A(2,0)、B(0,2)，能否说线段能否说线段AB的方程为的方程为x+y-2=0?(2)方程方程x2-y2=0表达的图形是表达的图形是_1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念复习曲线的方程和方程的曲线的概念3.证明已知曲线的方程的办法和环节证明已知曲线的方程的办法和环节上一节，我们已经建立了曲线的方程上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的方程的曲线的概念曲线的概念.运用这两个重要概念，就能够借运用这两个重要概念，就能够借助于坐标系，用坐标表达点，把曲线当作满足助于坐标系，用坐标表达点，把曲线当作满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐某种条件的点的集合或
10、轨迹，用曲线上点的坐标（标（x,y）所满足的方程）所满足的方程f(x,y)=0表达曲线，通表达曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一办法这一节，我们就来学习这一办法.“数形结合数形结合”数学思想数学思想的基础的基础1解析几何与坐解析几何与坐标法：法：我我们把借助于坐把借助于坐标系研究几何系研究几何图形的形的办法叫做坐法叫做坐标法法 在数学中，用坐在数学中，用坐标法研究几法研究几何何图形的知形的知识形成了一形成了一门叫解析几何的学叫解析几何的学科科.因此，解析几何是用代数因此，解析几何是用代数办法研究几何法研究几何问题的一的
11、一门数学学科数学学科.2平面解析几何研究的重要问题：平面解析几何研究的重要问题：（1）根据已知条件，求出表达平面曲线）根据已知条件，求出表达平面曲线的方程；的方程；（2）通过方程，研究平面曲）通过方程，研究平面曲线的性质线的性质.阐明：本节重要讨论求解曲线方程的普通阐明：本节重要讨论求解曲线方程的普通环节环节.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表达为：将上式两将上式两边平方，整平方，整顿得：得：x+2y7=0 我我们证明方程明方程是是线段段AB的垂直平的垂直平分分线的方程的方程.（1）由求方程的）由求方程的过程可知，垂直平程可知，垂直平分分线上每一点的坐上每一点的坐标都是方程都是方程解；解；
12、（2）设点点M1的坐的坐标（x1,y1）是方）是方程程的解，即的解，即:x+2y17=0 x1=72y1解解:设设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点,也也就是点就是点M属于集合属于集合例例2.设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段，求线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.即点即点M1在在线段段AB的垂直平分的垂直平分线上上.由由(1)、(2)可知方程可知方程是是线段段AB的垂直平分的垂直平分线的方程的方程.点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是由上面的例子能够看出，求曲线（图形）的方由上面的例子能够看出，求曲线（图形）
13、的方程，普通有下面几个环节：程，普通有下面几个环节：阐明：普通状况下，化简前后方程的解集是相阐明：普通状况下，化简前后方程的解集是相似的，环节（似的，环节（5）能够省略不写，如有特殊状况，）能够省略不写，如有特殊状况，可适宜予以阐明可适宜予以阐明.另外，根据状况，也能够省略另外，根据状况，也能够省略环节（环节（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适宜的坐标系建系设点：建立适宜的坐标系,用有序实数用有序实数对（对（x,y）表达曲线上任意一点）表达曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)列式列式:写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)代换代换:
14、用坐标表达条件用坐标表达条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化简化简:化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)审查审查:阐明以化简后的方程的解为坐标的点阐明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.例例3.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一种点和它上方的一种点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每的上方，它上面的每一点到一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建立建立适宜的坐标系，求这条曲线的方程适宜的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且
15、垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2)列式列式3）代换）代换4)化简化简5）审查）审查1）建系设点）建系设点由于曲由于曲线在在x轴的上方，因此的上方，因此y0,因此曲因此曲线的方程是的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，通过上述两个例题理解坐标法的解题办法，通过上述两个例题理解坐标法的解题办法，明确建立适宜的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适宜的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里惯用到式，
16、是求曲线方程的重要环节，在这里惯用到某些基本公式，如两点间距离公式，点到直线某些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要理解上述知识，必要时作适宜复习因此先要理解上述知识，必要时作适宜复习.2.1.2求曲线的方程求曲线的方程（2）求曲线（图形）的方程环节：求曲线（图形）的方程环节：阐明：普通状况下，化简前后方程的解集是相阐明：普通状况下，化简前后方程的解集是相似的，环节（似的，环节（5）能够省略不写，如有特殊状况，）能够省略不写，如有特殊状况，可适宜予以阐明可适宜予以阐明.另外，根据状况，也能够省略另外，根据状
17、况，也能够省略环节（环节（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适宜的坐标系建系设点：建立适宜的坐标系,用有序实数用有序实数对（对（x,y）表达曲线上任意一点）表达曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)列式列式:写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)代换代换:用坐标表达条件用坐标表达条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化简化简:化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)审查审查:阐明以化简后的方程的解为坐标的点阐明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.复习回想复习回想解解:练习练习1.2.BB3
18、.4.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨迹方轴的距离相等的动点的轨迹方程是程是_解解:设动点为设动点为(x，y)，则由题设得，则由题设得化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.y2=4(x-1)5.在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC边上的边上的中线中线AD的长为的长为3，求点，求点A的轨迹方程的轨迹方程.设设A(x，y)，又，又D(0，0)，因此，因此化简得化简得:x2+y2=9(y0)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂的中垂线为线为y轴，建立直角坐标系轴，建立
19、直角坐标系.1.直接法直接法:求轨迹方程最基本的办法求轨迹方程最基本的办法,直接通过直接通过建立建立x,y之间的关系之间的关系,构成构成F(x,y)=0即可即可.直接法直接法 定义法定义法 代入法代入法 参数法参数法求轨迹方程的常见办法求轨迹方程的常见办法:3.代入法代入法:这个办法又叫有关点法或坐标代换法这个办法又叫有关点法或坐标代换法.即运用动点即运用动点P(x,y)是定曲线是定曲线F(x,y)=0上的动点上的动点,另一动点另一动点P(x，y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可谋求，那么可谋求关系式关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后裔入方程后裔入方程F(x,y)=0中，得到动点中，得
20、到动点P的轨迹方程的轨迹方程.2.定义法：如果能够拟定动点的轨迹满足某种定义法：如果能够拟定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。已知已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲在曲线线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的轨迹方程的重心的轨迹方程.4.参数法参数法:选用适宜的参数选用适宜的参数,分别用参数表达动分别用参数表达动点坐标点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。得其普通方程。例例:已知点已知点C的坐标是（的坐标是（2，2），过点），过点C
21、的直线的直线CA与与x轴交于点轴交于点A，过点，过点C且与直线且与直线CA垂直的垂直的直线与直线与y轴交于点轴交于点B，设点，设点M是线段是线段AB的中点，的中点，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。yx0CABM归纳：选参数时必须首先考虑归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的多个因素，然后到制约动点的多个因素，然后再选用适宜的参数，常见的参再选用适宜的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。坐标、线段长度等。1.1.求曲求曲线的方程的普通的方程的普通环节：设（建系（建系设点）点）找（找等量关系）找（找等量关系）列（列方程）列（列方程）化（化化（化简方
22、程）方程）验（以方程的解（以方程的解为坐坐标的点都是曲的点都是曲线上的上的点）点）-M(x,y)-P=M|M满足的条件课堂小结课堂小结2.“数形结合数形结合”数学思想的基础数学思想的基础老师寄语老师寄语:学好数学学好数学,登上人生的又一高度登上人生的又一高度.数学是金数学是金析疑解难，无坚不克，所向披靡；析疑解难，无坚不克，所向披靡；数学是美数学是美逻辑之美，形象之美，美不胜收；逻辑之美，形象之美，美不胜收；数学是恨数学是恨成也数学，败也数学；成也数学，败也数学；数学是爱数学是爱我爱数学，数学爱我，我爱数学，数学爱我，数学是我获胜的法宝。数学是我获胜的法宝。让我们一起来享有数学的愉快，探求数学的真谛，让我们一起来享有数学的愉快，探求数学的真谛，感受数学的出神入化。感受数学的出神入化。
