1、引引 言言 随机变量及其所随着的概率分布全方面描述了随机随机变量及其所随着的概率分布全方面描述了随机现象的统计性规律。现象的统计性规律。概率论的许多问题中，随机变量的概率分布普通概率论的许多问题中，随机变量的概率分布普通是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知是基础上得出来的。是在这已知是基础上得出来的。但实际中，状况往往并非如此，一种随机现象所但实际中，状况往往并非如此，一种随机现象所服从的分布可能是完全不懂得的，或者懂得其分布概服从的分布可能是完全不懂得的，或者懂得其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。型，但是其中的某些参数是
2、未知的。例如：例如：某公路上行驶车辆的速度服从什么某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的分布是未知的；电视机的使用寿命服从什么电视机的使用寿命服从什么分布是未知的分布是未知的；产品与否合格服从两点分布，但参数产品与否合格服从两点分布，但参数合格率合格率p是是未知的；未知的；数理统计的任务则是以概率论为基础，根据实验数理统计的任务则是以概率论为基础，根据实验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。理的推断。从现在开始，我们学习数理统计的基础知识。数从现在开始，我们学习数理统计的基础知识。数理统计的任务是以概率论为基础，根据实验所得
3、到的理统计的任务是以概率论为基础，根据实验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推断数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推断.数理统计所包含的内容十分丰富，背面学习参数预计、数理统计所包含的内容十分丰富，背面学习参数预计、假设检查、方差分析、回归分析等内容假设检查、方差分析、回归分析等内容.涉及数理统涉及数理统计的某些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分计的某些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是背面各章的基础。布，它们是背面各章的基础。学习的基本内容学习的基本内容2.1 计量资料的区间预计计量资料的区间预计 2.1.1 随机抽样随机抽样 统计工作统计工作统计设
4、计统计设计收集资料收集资料整顿资料整顿资料分析资料分析资料选预计选预计,检查检查,回归回归,设计办设计办法法按设计抽样按设计抽样,收集报表收集报表,实验实验对原始数据分组和归纳对原始数据分组和归纳计算和统计解决计算和统计解决,作出结论作出结论 统计资料统计资料计量资料计量资料 定量办法测得大小定量办法测得大小,持续总体持续总体分类资料分类资料计数资料计数资料 无序分类无序分类,离散离散等级资料等级资料有序分类有序分类,离散离散样本与统计量样本与统计量 总体与样本总体与样本 在在数数理理统统计计中中，把把研研究究对对象象的的全全体体称称为为总总体体（population)或或母母体体，而而把把构
5、构成成总总体体的的每每个个单单元元称称为为个个体体。抽样抽样 要要理理解解总总体体的的分分布布规规律律，在在统统计计分分析析工工作作中中，往往往往是是从从总总体体中中抽抽取取一一部部分分个个体体进进行行观观察察，这这个个过过程程称称为为抽抽样样。样本与统计量样本与统计量 子样子样 子子样样 是是n个个随随机机变变量量，抽抽取取之之后后的的观观测测数数据据 称称为为样样本本值值或或子子样样观观察察值值。在在抽抽取取过过程程中中，每每抽抽取取一一个个个个体体，就就是是对对总总体体X进进行行一一次次随随机机试试验验，每每次次抽抽取取的的n个个个个体体 ，称称为为总总体体X的的一一个个容容量量为为n的
6、的样样本本（sample）或或子子样样；其其中中样样本本中中所所包包含含的的个个体体数数量量称称为为样样本本容容量量。随机抽样办法的基本规定随机抽样办法的基本规定 独立性独立性即每次抽样的成果既不影响其它各次抽样的即每次抽样的成果既不影响其它各次抽样的 成果，也不受其它各次抽样成果的影响。成果，也不受其它各次抽样成果的影响。满足上述两点规定的样本称为简朴随机样本满足上述两点规定的样本称为简朴随机样本.获得简获得简单随机样本的抽样办法叫简朴随机抽样单随机样本的抽样办法叫简朴随机抽样.代表性代表性即子样即子样()的每个分量的每个分量 与总与总体体 具有具有相同的概率分布相同的概率分布。从简单随机样
7、本的含义可知，从简单随机样本的含义可知，样本样本 是来自总体是来自总体 、与总体、与总体 具有相同分布的随机变量具有相同分布的随机变量.简朴随机抽样简朴随机抽样 例如：要通过随机抽样理解一批产品的次品率，例如：要通过随机抽样理解一批产品的次品率，如果每次抽取一件产品观察后放回原来的总量中，则如果每次抽取一件产品观察后放回原来的总量中，则这是一种简朴随机抽样。这是一种简朴随机抽样。但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一种但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一种简朴随机抽样。但当总量简朴随机抽样。但当总量N很大时，可近似当作是简朴很大时，可近似当作是简朴随机抽样。随机抽样。统计量统计量
8、 定义定义 设（设（）为总体）为总体X的一个样本，的一个样本，为为不含任何未知参数不含任何未知参数的的连续函数连续函数，则，则称称 为样本（为样本（）的一个统计量。）的一个统计量。则则 例如例如：设设 是从正态总体是从正态总体 中抽取中抽取的一个样本，其中的一个样本，其中 为已知参数为已知参数,为未知参数，为未知参数，是统计量是统计量 不是统计量不是统计量 几个惯用的统计量几个惯用的统计量 样本均值样本均值（sample mean)设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本，样本方差样本方差(sample variance)样本均方差或原则差样本均方差或原则差 它们的观察值用对应的小写字母表达
9、它们的观察值用对应的小写字母表达.反映总反映总体体X取值的平均，或反映总体取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。取值的离散程度。几个惯用的统计量几个惯用的统计量 设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本，样本原则差样本原则差S样本变异系数样本变异系数 子样的子样的K阶（原点）矩阶（原点）矩几个惯用的统计量几个惯用的统计量 设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本，子样的子样的K阶中心矩阶中心矩它涉及两个方面它涉及两个方面数据整顿数据整顿 计算样本特性数计算样本特性数数据的简朴解决数据的简朴解决 为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据.普通通过
10、抽样调查或实验得到的数据往往是杂乱无章普通通过抽样调查或实验得到的数据往往是杂乱无章的，需要通过整顿后才干显示出它们的分布状况。的，需要通过整顿后才干显示出它们的分布状况。数据的简朴解决是以一种直观明了方式加工数据。数据的简朴解决是以一种直观明了方式加工数据。计算样本特性数：计算样本特性数：数据的简朴解决数据的简朴解决 数据整理数据整理：将数据分组：将数据分组 计算各组频数计算各组频数 作频率分布表作频率分布表 作频率直方图作频率直方图（1）反映趋势的特性数）反映趋势的特性数 样本均值样本均值中位数：数据按大小次序排列后，位置居中的那个数中位数：数据按大小次序排列后，位置居中的那个数 或居中的
11、两个数的平均数。或居中的两个数的平均数。众数众数：样本中出现最多的那个数。：样本中出现最多的那个数。数据的简朴解决数据的简朴解决 （2）反映分散程度的特性数：极差、四分位差）反映分散程度的特性数：极差、四分位差 极差极差样本数据中最大值与最小值之差，样本数据中最大值与最小值之差，四分位数四分位数将样本数据依概率分为四等份的将样本数据依概率分为四等份的3个数椐，个数椐，依次称为第一、第二、第三四分位数。依次称为第一、第二、第三四分位数。第一四分位数第一四分位数Q1：第二四分位数第二四分位数Q2：第三四分位数第三四分位数Q3：把包含血糖数据的区间等分为把包含血糖数据的区间等分为8至至15个社区间个
12、社区间 49348848349045443541243733449551954952555358563239541545145348548149049750343654752455159840041844145148748149249750551253752255438540241143944849046646749850751754653257559340443144644148046548249850551554253657342944344948546848150051050554453457852444945147047047850251250354452556841545845848
13、7471476502517507549524564569541534498515497473475480456456490410461454470473478493514512541544558554378531500509495483470485417500517503534546416520 血糖数据最大值为血糖数据最大值为632，最小值为，最小值为334例例1 某地某地148名正常人血糖数据（单位名正常人血糖数据（单位mmol/l），），分析其分布规律。分析其分布规律。统计各社区间内血糖数据的频数及计算频率统计各社区间内血糖数据的频数及计算频率 组序组距d30频数m频率fn频率密度fn/
14、d136210.67570.0225239221.35140.04503422128.10810.270344521610.81080.360454822818.91890.630665123926.35140.878475422617.56760.585685721711.48650.3829960264.05410.13511063210.67570.0225合计1481 以社区间长为底、对应频率密度为高作矩形，以社区间长为底、对应频率密度为高作矩形，称为样本的直方图称为样本的直方图 直方图上缘形成一直方图上缘形成一条条“中间大、两头中间大、两头小、两侧对称小、两侧对称”的的正常特点曲线正
15、常特点曲线总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的状况总体的状况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而能够用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而能够用样本观察值去推断总体推断总体集中趋势集中趋势样本均数样本均数中位数中位数居中位置的值居中位置的值众数众数频率最大的值频率最大的值离散程度离散程度样
16、本方差样本方差样本原则差样本原则差样本变异系数样本变异系数 样本原则误样本原则误极差极差最大与最小值之差最大与最小值之差25%、75%位置值位置值 四分位数四分位数样本均数与原则差、原则误常合写在一起样本均数与原则差、原则误常合写在一起 样本构成不含总体任何未知参数的函数称统计量样本构成不含总体任何未知参数的函数称统计量称为称为的无偏预计量的无偏预计量预计量的一种具体值称一种点预计预计量的一种具体值称一种点预计定理定理1 设设X1，X2，Xn为总体为总体X的简朴随机样的简朴随机样本本 X1,X2,Xn与总体与总体X独立同分布独立同分布,EXiEX,DXiDX 定理定理1表明，样本均数、样本方差
17、表明，样本均数、样本方差S2分别是总体均分别是总体均数数EX、总体方差、总体方差DX的一种无偏点预计的一种无偏点预计 例例1 开胸顺气丸崩解时间开胸顺气丸崩解时间XN(,)随机抽取随机抽取5丸崩解时间为丸崩解时间为:36,40,32,41,36(min),作作及及2的的无偏点预计无偏点预计 由数据计算得由数据计算得37，S213 及及2的点预计为的点预计为 抽抽 样样 分分 布布学学 习习 目目 标标 了解了解 分布、分布、t 分布、分布、F 分布以及来自正态分布以及来自正态 总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。会查会查 分布、分布、t 分布、分布、
18、F 分布的临界值表。分布的临界值表。统计量是样本的函数，是随机变量，有其统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为概率分布，统计量的分布称为抽样分布抽样分布.分布分布5 10 15 20或或定理定理 X1,X2,Xn为总体为总体XN(,2)简朴随机样本简朴随机样本 2(n-1)证明：证明：N(0,1)N(0,1)2(n)2(1 1)2(n-1)定理定理推论推论 例例 1 已知某单位职工的月奖金服从正态分已知某单位职工的月奖金服从正态分布布,总体均值为总体均值为 200,总体原则差为总体原则差为 40,从该从该总体抽取一种容量为总体抽取一种容量为 20 的样本的样本,求样本均
19、值介求样本均值介于于 190210 的概率的概率.解解 t 分布分布也称作也称作 查表时要先看清晰表头的查表时要先看清晰表头的名称或概率体现式，若为上侧临界值表，则能够名称或概率体现式，若为上侧临界值表，则能够直接查用直接查用.若为若为双侧临界值表双侧临界值表，则需换算后查用则需换算后查用.例例 3 解解 例例 4 解解 定理定理证明：证明：N(0，1)2(n-1)t(n1)定理定理 4 特别地特别地 F 分布分布也称作也称作 F 分布的临界值能够通过查分布的临界值能够通过查 F 分布的临界值分布的临界值表表(见附表见附表 IV)求得求得.F 分布的性质分布的性质 例例 5 解解 定理定理 5
20、 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理证明证明:是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故服从正态分布故服从正态分布(3)证明证明:且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造得证得证!参参 数数 的的 点点 估估 计计 例例 1 某商场在决定与否接受厂家送来的一某商场在决定与否接受厂家送来的一大批箱装商品时大批箱装商品时,随机地抽取若干箱进行检查随机地抽取若干箱进行检查,根据这几箱的平均次品数根据这几箱的平均次品数,预计该批商品平均每预计该批商品平均每箱的次品数箱的次品数.例例 2 某省在一次高考结束后某省在一次高考结束后,先要对考试先要对考试成
21、绩做一种预计成绩做一种预计.随机地抽取每科中的几包试卷随机地抽取每科中的几包试卷进行试判进行试判.根据判卷成果预计全体考生的总分的根据判卷成果预计全体考生的总分的平均值和与平均值的偏离程度进行推断平均值和与平均值的偏离程度进行推断,从而估从而估计出当年的录用线计出当年的录用线.参数预计是统计推断的基本内容之一参数预计是统计推断的基本内容之一.参数预计有两种办法参数预计有两种办法:点预计与区间预计点预计与区间预计.要估计的总体参数称为要估计的总体参数称为待估参数待估参数,.假设总体分布已知假设总体分布已知,其中有一种或多个参其中有一种或多个参数未知数未知,运用来自总体的样本预计总体的未知运用来自
22、总体的样本预计总体的未知参数值参数值,就是参数预计就是参数预计.用一种预计量预计总体参数用一种预计量预计总体参数,用这个预计用这个预计量的一种观察值作为总体参数的预计值的办法量的一种观察值作为总体参数的预计值的办法称为点预计称为点预计.由这种办法得到的预计值为点估由这种办法得到的预计值为点估计值计值.估计量估计量.估计值估计值矩预计法矩预计法 以样本矩的函数作为总体矩的函数的预计量以样本矩的函数作为总体矩的函数的预计量的办法称为矩预计法的办法称为矩预计法.例例 3 解解 例例 4 解解 例例 4 解解 例例 5 解解 最大似然预计法最大似然预计法 例例 6 设有一批产品设有一批产品,根据以往的
23、经验懂得根据以往的经验懂得它的产品率它的产品率 p 可能是可能是 0.1 或或 0.3.生产这批产品的生产这批产品的厂家认为该批产品质量较好厂家认为该批产品质量较好,次品率大概为次品率大概为 0.1,而收购产品的商业部门认为产品质量有问题而收购产品的商业部门认为产品质量有问题,次次品率可能为品率可能为 0.3.现从这批产品中随机抽取现从这批产品中随机抽取 15 件件,发现有发现有 5 件次品件次品.问问:生产厂家与收购部门谁的生产厂家与收购部门谁的预计更可靠些预计更可靠些?解解 最大似然预计的思想最大似然预计的思想:最大似然估计值最大似然估计值.最大似然估计值最大似然估计值.似然函数似然函数
24、求总体未知参数的最大似然预计值就是求似求总体未知参数的最大似然预计值就是求似 然然函数的最大值函数的最大值.最大似然估计值最大似然估计值.最大似然估计量最大似然估计量.例例 7 解解 预计量的评价原则预计量的评价原则 1.无偏性无偏性 定义定义无偏估计量无偏估计量.例例 8 证证 定义定义2.有效性有效性 (1)频率是概率的最小方差无偏预计频率是概率的最小方差无偏预计.(2)正态总体的样本均值和样本方差正态总体的样本均值和样本方差 分别是总体均值与方差的最小方差无偏预计分别是总体均值与方差的最小方差无偏预计.两个结论两个结论区区 间间 估估 计计问题的提出：问题的提出：这种形式的参数预计办法称为区间预计这种形式的参数预计办法称为区间预计.置信区间与置信度置信区间与置信度 定义定义置信区间置信区间置信度置信度.置信度和置信区间的意义置信度和置信区间的意义:两点阐明两点阐明:正态总体均值的区间预计正态总体均值的区间预计 分三步完毕分三步完毕:解解 例例 1 解解 例例 2 正态总体方差的区间预计正态总体方差的区间预计 解解 例例 3 小小 结结
