1、2.2.1向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义 由于大陆和台湾没有直航，因此由于大陆和台湾没有直航，因此由于大陆和台湾没有直航，因此由于大陆和台湾没有直航，因此20032003年春节探亲，年春节探亲，年春节探亲，年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移和是什么？移和是什么？移和是什么？移和是什么？上海上海台北台北香港香港上海上海台北台北香港香港【创设情境】【创设情境】CAB 飞机，从最初的位置达成最后的位置都是经历了两
2、次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和【问题【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？如何作出它们的和位移？上海上海台北台北香港香港两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点ABC【问题2 2】如】如图所示，所示，对于向量于向量 和和 如何求解它如何求解它们的和的和呢？呢？位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的向量那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的办法呢？和物理中的
3、位移求和问题有所不同的是，在数学中任和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应当如何意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应当如何解决呢？解决呢？在平面内任取一点在平面内任取一点A，平移，平移 使其起点与使其起点与 向量的终点重合，再连接向量向量的终点重合，再连接向量 的起点与向量的起点与向量 的终点的终点 使其起点为点使其起点为点A，平移，平移ababCAa+bB在平面内任取一种起点在平面内任取一种起点【向量的加法【向量的加法】CAB思考思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法则与否还合
4、用？如何作出两个向量的和？三角形法则与否还合用？如何作出两个向量的和？（1）（2）ABCBCA 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？三角形的两边之和不不大于第三角形的两边之和不不大于第三边三边例例1.如图，已知向量如图，已知向量a,b,求作向量求作向量a+b.BabC向量的加法向量的加法(2)作作法作法:(1)(1)在平面内任取一点在平面内任取一点A A则尚有无其它的做法？尚有无其它的做法？A A A A三角形法则三角形法则首尾相连首尾相连,由起点指终点由起点指终点F1F2F向向 量量 加加 法法向
5、向 量量 加加 法法 EOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.力力F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F1和和F2共同作用产共同作用产生的效果相似，物理学中把力生的效果相似，物理学中把力F叫做叫做F1和和F2的合力的合力.F1F2F1F2F FEOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力
6、合力F与力与力F1、F2有如何的关系？有如何的关系？F1+F2=FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的平行四边形的对角线平行四边形的对角线aBabAaOC向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则如图，以同一点如图，以同一点O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量a，b为邻边为邻边OACB，则以以O为起点的起点的对角角线OC就是就是a与与b的和。我的和。我们把把这种作两个向量和的方法叫做种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四向量加法的平行四边形法形法则例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求做向量，求做向量 。作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，以以
7、 为邻边做为邻边做 ，连结连结OC，则，则平行四边形法则平行四边形法则向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们将向量平移使得它们首尾相连首尾相连方法巩固方法巩固:2.和向量即是第一种向量的首指向第二个向量的尾和向量即是第一种向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到将向量平移到同一起点同一起点2.和向量即以它们作为邻边和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线平行四边形的共起点的对角线（位移的合成）（位移的合成）（力的合成）（力的合成）探究探究:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任
8、意 ，有有 那么对任意向量那么对任意向量 的加法与否也满足交换律的加法与否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。和结合律？请画图进行探索。ABDC验证交换律验证交换律如图，作如图，作AB=a，AD=b，以，以AB、AD为邻边作为邻边作 ABCD则则BC=，DC=。ACD验证结合律验证结合律A向量加法满足交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律(1)向量加法交换律：向量加法交换律：(2)向量加法结合律：向量加法结合律：以上两个运算律能够推广到任意多个以上两个运算律能够推广到任意多个向量向量.例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮船进长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮船进 行运输，如图
9、所示，一艘船从长江南岸行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东的速度为向东2km/h.（1）试用向量表达江水速度、船速以及船实际航行的速）试用向量表达江水速度、船速以及船实际航行的速度；度；ADBC例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为
10、向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC1 1、用适宜的向量填空：、用适宜的向量填空：首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连1、2、3、4、5、6、2、化简：课堂小结：课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算1.1.两个向量的和仍然是向量。两个
11、向量的和仍然是向量。小结:尾首相连，尾首相连，由起点指向终点由起点指向终点起点相似，对角为和起点相似，对角为和2.2.向量加法法则向量加法法则:3 运算性质运算性质:2.根据图示填空：根据图示填空：(1)a+b=(2)c+d=(3)a+b+d=(4)c+d+e=DACBgfcf课堂练习课堂练习1.根据图示填空根据图示填空课堂课堂练习（一）练习（一）.如图如图,已知已知a a、b b，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则作出作出a+ba+babab(2)ba(4)ab(1)()A A A ACBA A A AA A A ABBCCa+bababa+bbaa+ba+b（1）.如图如图,已知已知a a、b b，用向量加法的，用向量加法的平行四边形法则平行四边形法则作作出出a+ba+babAab（）ABBCCDD课堂练习aba+baba+b
