1、22 矩阵的运算定义定义22 若两个有相似行数和相似列数的矩阵若两个有相似行数和相似列数的矩阵满足则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B例如：若 且A=B则有c=0;a=-1;b=2;d=3一、矩阵的加法定义定义23 由矩阵A=(aij)mn与B=(bij)mn的各对应元素相 加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。记为：A+B 即例如 则加法的性质：（1）A+B=B+A（2）(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A（4）A+(-A)=A-A=O简记为：证（2）(A+B)+C=A+(B+C)由于 (A+B)+C=(aij)+(bij)+(cij)=(aij+bij)+(cij)=(aij)
2、+(bij+cij)=A+(B+C)=(aij+bij+cij)=(aij+bij+cij)矩阵的减法：例如 则二、数与矩阵的乘法（简称数乘）定义定义24 由常数k乘以矩阵Amn的每个元素而得到的矩 阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA例如则数乘的性质：设A、B、O均为mn矩阵，k、t为常数,则 (1)k(A+B)=kA+kB (2)(k+t)A=kA+tA (3)(kt)A=k(tA)=t(kA)(4)1A=A (5)0A=O (6)若k0,AO,则 kAO 证(1)k(A+B)=kA+kB 证(2)(k+t)A=kA+tA【例2】求矩阵X，使3A+2X=3B。其中解：由 3A+2
3、X=3B 解得:2X=3B-3A即因此i 行 j 列三、矩阵与矩阵的乘法定义定义25 设矩阵 ，由元素构成的矩阵 称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为 C=AB即:有关矩阵乘法的阐明：1、只有当第一种矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数 相似时，AB才故意义.2、C的行数=第一种矩阵A的行数C的列数=第二个矩阵B的列数【例3】设求AB解：注：此题BA无意义因为 【例】设 ,求AB解：注 此题BA故意义,BA是一种数【例】,求AB.解：注：此题BA故意义但AB与BA的行列数不同【例】设 ,求AB解：注：(1)此题BA故意义,BA与AB行列数相似,但ABBA(2)BA=O,但 BO,且AO【例】设 求：AB
4、,AC解：注：此题AB=AC,且AO,但BC矩阵乘法与实数乘法的比较：(1)实数乘法满足交换率。即ab=ba 矩阵乘法不满足交换率。即ABBA (2)实数乘法满足消去率。即：若ab=ac,且a0,则有b=c 矩阵乘法不满足消去率 即：由AB=AC,且AO,不能得出B=C (3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0 在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O矩阵乘法的性质：(1)A(BC)=(AB)C (2)t(AB)=(tA)B=A(tB)(3)(A+B)C=AC+BC (4)A(B+C)=AB+AC (5)AE=EA=A注意：在性质（5）中，若A是mn矩阵，则AE中 的E为En
5、,而EA中的E为Em【例5】对mn线性方程组取，因此线性方程组即 AX=B可表达为：定义定义26 设A为n阶方阵，k为正整数，k个A的连乘积 称为方阵A的k次幂。记为：Ak即例如：则方幂的性质：注意：（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。（2）（AB)k Ak Bk）Ak和Bk可能无意义例如有意义，但Ak、Bk无意义）由于乘法不满足交换率【例】设 ，求An解A3=A2A=22 EA=22A=4E=22EA4=A2 A2=22 E 22 E=24EA5=A4 A=24 E A=24A【例】设A、B为n阶方阵，且满足证明AB=O错误证明：即2AB=OAB=O对的证明：即AB+BA=OA(AB
6、+BA)=AO(AB+BA)A=OA即得左乘A得右乘A得注意：中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素 四、矩阵的转置定义27 将矩阵A的行列交换得到的矩阵，称为矩A的 转置矩阵，简称转置。即若则记为 或转置的性质：（1）（2）（3）（4）例如：则证明：(4)设 则 故 C=D.即：显然：【例7】设矩阵求解法一：解法二：阐明(2)由(3)普通状况下(1)由五、方阵的行列式定义28 由n阶方阵A的元素按原来的次序构成 的行列式，称为方阵A的行列式。记为即：对方阵的行列式性质：设A、B是n阶方阵，t是常数，则（1）（2）（3）证明:性质(3)先证明个小问题：若将序列变换为：，则：假设通过l次对
7、换，使得：则：显然：证明因此：4.注意：2.只有当A、B是同阶方阵时，才成立(因为当A mn、B nm时，AB nm有意义，但 和 无意义）3.当A、B是同阶方阵时，有 (即使ABBA)；1、只有当A是方阵时，才有A的行列式定义定义29 设A是n阶方阵，若 ，则称A为非奇异方阵；若 ，则称A为奇异方阵。，B是奇异的例如，A是非奇异的【例8】设A、B都是n阶方阵，证明AB是非奇异的充要 条件是A、B都是非奇异方阵。证明：必要性：已知AB是非奇异方阵，则即 A、B都是非奇异方阵充足性：已知A、B都是非奇异方阵，则于是即AB是非奇异方阵且B非奇异，证明A，A+B均是非奇异的。由B非奇异，知由此得即A，A+B均是非奇异的。证明：【例】设n阶方阵A、B满足【例】已知A为3阶方阵，且 求 解：【例】已知AB=E，且 A非奇异，求 解：又因为A非奇异，即A为方阵，且故B为与A同阶的方阵即
