1、抛物线及其原则方程抛物线及其原则方程学学习目的目的1.理解抛物理解抛物线的定的定义，明，明确焦点、准确焦点、准线的概念；的概念；2.理解用抛物理解用抛物线的定的定义推推导开口向右的抛物开口向右的抛物线的原的原则方程的推方程的推导过程，程，进一一步得出开口向左、向上、步得出开口向左、向上、向下的抛物向下的抛物线的原的原则方程；方程；3.纯熟掌握抛物熟掌握抛物线的四种的四种原原则方程及其所方程及其所对应的开的开口方向、焦点坐口方向、焦点坐标、准、准线方程之方程之间的关系。的关系。3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。喷泉的纵截面
2、都是抛物线。我们在哪些地方见过或研究过抛物线？我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；课题引入课题引入二次函数二次函数 和和 的的图象是抛物象是抛物线.-2.xyO1.2.xyO1生活中的抛物线生活中的抛物线点点 是定点，是定点，是不通过点是不通过点 的定直线的定直线.是是 上任意上任意一点，过点一点，过点 作作 ，线段，线段 的垂直平
3、分线的垂直平分线 交交 于点于点 ，拖动点，拖动点 ，观察点，观察点 的轨迹，你能的轨迹，你能发现点发现点 满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？提出问题提出问题MFH几何画板演示几何画板演示MFl 在平面内与一种定点在平面内与一种定点F和和一条定直线一条定直线 l(l不通过点不通过点F)的的距离相等的点的轨迹叫抛物距离相等的点的轨迹叫抛物线线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点准线准线焦焦点点1.1.抛物线的定义抛物线的定义直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线即即:若若 ,则点的轨迹则点的轨迹 是抛物线是抛物线.d 为为 M 到到 l 的距的距离离提示：不一定是抛物提示：不一定是抛物线，当
4、直，当直线l通通过点点F时，点的点的轨迹是迹是过定点定点F，且垂直于定直，且垂直于定直线l的一的一条直条直线，l不通不通过点点F时，点的，点的轨迹是抛物迹是抛物线问题探究MlF在抛物在抛物线定定义中，若去掉条件中，若去掉条件“l不不经点点F(F l)”，点的，点的轨迹迹还是抛物是抛物线吗？求曲线方程求曲线方程的基本环节的基本环节是如何的？是如何的？2.抛物线的原则方程抛物线的原则方程lFMN建系建系列式列式化简化简证明证明设点设点如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案.M.xyOFl.M.xyOFl.MxyFl方案方案(1)(1)方案方
5、案(2)(2)方案方案(3)(3)问题：哪种方案的方程更简朴呢？问题：哪种方案的方程更简朴呢？xyoFMlHK设设KF=p（p0）则则F（，0），），l：x=-p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），），化简得化简得 y2=2px（p0）2解：以过焦点解：以过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线l l的直线为的直线为x x轴，垂足为轴，垂足为K,K,以线段以线段KFKF的中垂线的中垂线y y轴轴建立建立直角坐标系直角坐标系xOy 由定义可知，由定义可知，2.抛物线的原则方程抛物线的原则方程 把方程把方程 y2=2px(p0)叫做抛物线的原则方程叫做抛物线的原则方程.其中其中 p 为正常数
6、，表达焦点在为正常数，表达焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.p的几何意义是的几何意义是:焦点坐标是焦点坐标是准线方程为准线方程为:焦点到准线的距离焦点到准线的距离.M（x,y）xyOFlKH抛物线开口方向抛物线开口方向向右向右若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述方法求出它的原则方程吗？完毕课本述方法求出它的原则方程吗？完毕课本P66探究探究.xyloFxyolFxyloFxyloFy y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标原则方程原则方程图图 形形x xF
7、 FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=2px=2px(p0)(p0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,右边右边是一次是一次式式 四种抛物线的对比四种抛物线的对比(2)一次变量定焦点位置位置一次变量系数的正负定开口方向x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)例例1 1（1 1）已知抛物线的原则方程）已知抛物线的原则方程是是y2=6xy2=6x，求它的焦点坐标求它的焦点坐标和准线方程；和准线方程；（2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y=6x2，求它
8、的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），），求它的原则方程。求它的原则方程。解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）准线方程为准线方程为x=-.3232 1 1216 1 24 1 24解解:方程可化为方程可化为:x=-y,故故p=,焦点坐焦点坐标标为为(0,-),准线方程为准线方程为y=.2解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准方程为故其标准方程为:x =-8y21、根据下列条件，写出抛物线的原则方程：、根据下列条件，写出抛物线的原则方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；
9、）；（2）准线方程）准线方程 是是x=；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2.y2=12xy2=xy2=4x 或或 x2=4y y2=-4x 或或 x2=-4y 课堂练习课堂练习当抛物线的焦点坐标或准线方程给定后来，它的原则方程就唯一拟定了；当抛物线的焦点坐标或准线方程给定后来，它的原则方程就唯一拟定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的原则方程就会有多解若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的原则方程就会有多解课堂练习课堂练习2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20 x (2)x2=y (3)2y2+5x=0 (4
10、)x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，）18y=-188x=5（-，0）58（0，-2）y=2小结小结:求抛物求抛物线的焦点一线的焦点一定要先把抛定要先把抛物线化为原物线化为原则形式后定则形式后定焦点、开口焦点、开口及准线及准线3、M是抛物线是抛物线y2=2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0+2pOyxFM 课堂练习课堂练习例例2 分分别求求满足下列条件的抛物足下列条件的抛物线的原的原则方程：方程：(1)过点点(3，4)；(2)焦点在焦点在x轴上，且抛物上
11、，且抛物线上一点上一点A(3，m)到焦点的距到焦点的距离离为5.【思路点【思路点拨】(1)由已知点所在象限，可由已知点所在象限，可设抛物抛物线方程方程(2)运用定运用定义求参数求参数p.所求抛物线的方程为所求抛物线的方程为y2163x或或x294y.【解】【解】(1)点点(3，4)在第四象限，在第四象限，抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 y22px(p0)或或x22p1y(p10)把点把点(3，4)的坐标分别代入的坐标分别代入 y22px和和x22p1y，得得(4)22p3,322p1(4)，即即2p163，2p194.解：解：由题意，可设抛物线的方程为由题意，可设抛物线的方程为 y22p
12、x(P0)A(3，m)到焦点距离为到焦点距离为5p235.即即p4 4所求抛物线方程为所求抛物线方程为y28x.(2)焦点在焦点在x轴上，且抛物上，且抛物线上一点上一点A(3，m)到焦到焦点的距离点的距离为5.练习、求过点练习、求过点A A（-3-3，2 2）的抛物线的原则方程。）的抛物线的原则方程。AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2=2py，得，得p=当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2=-2px，得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x 。1.
13、1.抛物线的定义；抛物线的定义；2.2.抛物线的原则方程有四种不同的形式；抛物线的原则方程有四种不同的形式；3.3.p p的几何意义是的几何意义是:焦点到准线的距离；焦点到准线的距离；课堂小结课堂小结4.4.原则方程中原则方程中p p前面的正负号决定抛物线的开口前面的正负号决定抛物线的开口方向方向 抛物线方程左右左右型型原则方程为y2=+2px(p0)开口向右:y2=2px(x 0)开口向左:y2=-2px(x 0)原则方程为x2=+2py(p0)开口向上:x2=2py(y 0)开口向下:x2=-2py(y0)抛物线的原则方程抛物线的原则方程上下上下型型焦点坐标是（0，），准线方程是：y=4a
14、14a1思考：思考：二次函数二次函数 的图像为什么是抛物线？指出它的焦点坐标和准线方程的图像为什么是抛物线？指出它的焦点坐标和准线方程 。当当a0a0时与当时与当a0a0时，结论都为：时，结论都为：即2p=1 a当当a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上p2=14a自我挑自我挑战1已知抛物已知抛物线的的顶点在原点，点在原点，对称称轴是是x轴，抛物，抛物线上上的点的点M(3，m)到焦点的距离等于到焦点的距离等于5，求抛物，求抛物线的方程和的方程和m的的值(1)必做题必做题 P73 73 A组组1 1，2 2，3 3 作业布置作业布置(2)(2)选做题选做题 P74 74 B组组1 1The end【点【点评】求抛物】求抛物线原原则方程方程时，若抛物，若抛物线的焦点位的焦点位置不置不拟定，定，则要分状况要分状况讨论；另外，焦点在；另外，焦点在x轴上的抛上的抛物物线方程可方程可统一一设成成y2ax(a0)；焦点在；焦点在y轴上的抛物上的抛物线方程可方程可统一一设成成x2ay(a0)
