1、 24 惯用的持续型分布 二、指数分布 三、正态分布 一、均匀分布 一、均匀分布 均匀分布 均匀分布的分布函数 一、均匀分布 均匀分布 均匀分布的数字特性 二、指数分布 指数分布 指数分布的分布函数 指数分布的数字特性 二、指数分布 指数分布 二、指数分布 指数分布 定理25(指数分布的无记忆性)非负持续型随机变量X服从指数分布的充要条件是 对任意正实数r和s 有 例222 某元件的寿命X服从指数分布 已知其平均寿命为1000 h 求3个这样的元件使用1000 h 最少已有一种损坏的概率 由题设知 EX1000 h 于是该指数分布的参数为 从而X的分布函数为 e1 1F(1000)1PX100
2、0 PX1000 由此得各元件的寿命与否超出1000 h是独立的 于是3个元件使用1 000h都未损坏的概率为e3 从而最少有一种已损坏的概率为1e3 解 三、正态分布 正态分布 正态分布的数字特性 可见 正态分布的两个参数事实上分别为其数学盼望和方差 正态分布的盼望和方差为 EX DX 2 (276)阐明 正态分布的密度函数的特性 正态分布的“钟型”特性与实际中诸多随机变量的“中间大 两头小”的分布规律相吻合 阐明 正态分布的密度函数的特性 例如考察一群人的身高 个体的身高作为一种随机变量 其分布的特点是 在平均身高附近的人较多 特别高和特别矮的人较少 阐明 正态分布的密度函数的特性 一种班
3、的一次考试成绩、测量误差等都有类似的特性 进一步的理论研究表明 一种变量如果受到大量的独立因素的影响(无主导因素)则它普通服从正态分布 1 正态分布的分布函数 正态分布的密度函数的特性 原则正态分布 2 原则正态分布表 在附录中列出了原则正态分布的密度函数值表和分布函数值表 但表中只列出x0时0(x)和0(x)的值 这是由于由正态分布的对称性能够导出0(x)和0(x)在x0时的值 原则正态分布表 原则正态分布 2 原则正态分布表 原则正态分布表 对于0(x)而言 直接由其对称性有 0(x)0(x)因而 当x0时 0(x)0(x)在表中查0(x)即得0(x)提示 原则正态分布 2 原则正态分布表
4、 原则正态分布表 对于0(x)由于0(x)有关x0对称 有 0(x)0(x)1 (280)特 别 地 有0(0)05 当 x0时 由0(x)10(x)查 表 得 0(x)即 可 得0(x)例223 设XN(0 1)(1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已 知 PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解(1)直接查表可得根据0(x)的对称性 有097725084131081855 0(2)0(1)1PX1960(196)0975 PX1960(196)10(196)109750025 P|X|196P196X196 0(196)0(196
5、)20(196)1 209751095 P1X20(2)0(1)0(2)1(1)例223 设XN(0 1)(1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已 知 PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解(2)直接查表可得a053P|X|b20(b)109242 由查表即得 b178 查表得c0530(c)10(c)07019 因此c0 根据对称性 有 由于PXc0298105 c053 提示 3 普通正态分布与原则正态分布的关系 定理26(正态分布的线性变换)设XN(2)YaXb a b为常数 且a0 则 YN(ab a2 2)推论1 普通称为
6、X的原则化 推论2 XN(2)的充要条件是存在一种随机变量N(0 1)使得X 推论3 设XN(2)(x)(x)分别为其分布函数与密度函数 0(x)0(x)是原则正态分布的分布函数和密度函数 则有4 普通正态分布的概率计算 普通正态分布与原则正态分布的关系 为普通正态分布的概率计算提供了有效的途径 对于普通正态分布的有关问题 特别是概率计算 都能够转化为原则正态分布来解决 例224 已知XN(8 052)求 (1)(9)(7)(2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05(1)解(9)PX9 0(2)097725(7)PX7 0(2)10(2)002275 例224 已知XN(8
7、052)求 (1)(9)(7)(2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05(2)解 09999708413108413 0(4)0(1)10(4)0(1)例224 已知XN(8 052)求 (1)(9)(7)(2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05(3)解 20(2)1 09545 20.977251 (4)0(3)0(1)01573 09986508413 例225 某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(2)已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超出350小时的概率均为9236%为使其寿命在x和x之间的概率不不大于09 x最少为多大？由PX250PX350 解 根据密度函数有关x对称
