1、第2章自动控制系统数学模型第1页第2章自动控制系统数学模型l主要内容微分方程式编写非线性数学模型线性化传递函数系统动态结构图系统传递函数和结构图变换信号流图小结第2页l学习重点v简单物理系统微分方程和传递函数列写及计算；v非线性模型线性化方法；v结构图和信号流图变换与化简；v开环传递函数和闭环传递函数推导和计算。第2章自动控制系统数学模型第3页第2章自动控制系统数学模型l1.数学模型l描述系统变量之间关系数学表示式l2.数学模型主要形式l(1)微分方程l(2)传递函数l(3)结构框图l(4)信号流图第4页2.1微分方程式编写l编写系统微分方程步骤1.确定系统输入量和输出量；2.将系统分解为各步
2、骤，依次确定各步骤输入量和输出量，依据各步骤物理规律写出各步骤微分方程；3.消去中间变量，求出系统微分方程。第5页l例2-1RC电路l取u1为输入量,u2为输出量2.1微分方程式编写第6页l例2-2RL电路l取u为输入量,i为输出量2.1微分方程式编写第7页l例2-3直流电动机电枢电路l取ud为输入量,n为输出量2.1微分方程式编写第8页l例2-4机械位移系统 l取f(t)为输入量,x为输出量2.1微分方程式编写第9页2.2非线性数学模型线性化l1.非线性特征本质非线性非本质非线性l2.非线性特征线性化l作某种近似，或者缩小一些研究问题范围。l3.小偏差线性化方法第10页2.2非线性数学模型线
3、性化l例2-5发电机激磁特征第11页2.2非线性数学模型线性化l 小偏差线性化数学处理:l 静态工作点附近泰勒(Taylor)级数展开l 1）将一个非线性函数y=f（x），在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上高阶项，得到线性化方程，用来代替原来非线性函数。忽略二阶以上各项，可写成忽略二阶以上各项，可写成 第12页2.2非线性数学模型线性化l 2）对于含有两个自变量非线性函数，设输入 量为x1(t)和x2(t)，输出量为y(t)，系统正常工作点为y0 f(x10,x20)。l 在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成忽略二阶以上各项，可写成 第1
4、3页2.2非线性数学模型线性化l例2-6可控硅整流电路 取三相桥式硅整流电路输入量为控制角取三相桥式硅整流电路输入量为控制角 ，输出量为整流电压输出量为整流电压Ed第14页2.2非线性数学模型线性化l 式中式中 E2 交流电源相电压有效值；交流电源相电压有效值；l Ed0 时整流电压。时整流电压。l线性化处理，令l得l式中第15页2.2非线性数学模型线性化l说明：经过上述讨论，应注意到，利用线性化方程来处理非线性特征时，线性化方程参量与静态工作点相关，工作点不一样时，参量数值也不一样。所以在线性化以前，必须确定元件静态工作点。第16页例例2-7 RC电路电路当当u1为输入，为输入，u2为输出时
5、：为输出时：2.3传递函数l1、定义第17页对于对于n阶系统，线性微分方程普通形式为：阶系统，线性微分方程普通形式为：2.3传递函数第18页在零初始条件下，取拉氏变换得：2.3 传传 递递 函函 数数第19页传递函数定义：传递函数定义：零初始条件下，输出量拉氏变换与输入量零初始条件下，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。拉氏变换之比。2.3 传传 递递 函函 数数第20页例例2-7 RC电路电路（1）当）当u1为输入，为输入，u2为输出时：为输出时：2.3 传传 递递 函函 数数第21页例例2-7 RC电路电路（2）当）当u1为输入，为输入，i为输出时：为输出时：2.3 传传 递递 函函 数数
6、第22页例例2-8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出，得为输出，得2.3 传传 递递 函函 数数第23页例例2-8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出为输出2.3 传传 递递 函函 数数第24页例例2-9 机械位移系统机械位移系统取外力取外力f(t)为输入为输入 位移位移x(t)为输出为输出依据牛顿第二定律，得依据牛顿第二定律，得2.3 传传 递递 函函 数数第25页例例2-9 机械位移系统机械位移系统取外力取外力f(t)为输入为输入 位移位移x(t)为输出为输出2.3 传传 递递 函函 数数第26页n 普通有普通有nm n同一个系统，当输入量和输出量选择不相同时
7、，同一个系统，当输入量和输出量选择不相同时，可能会有不一样传递函数。可能会有不一样传递函数。n不一样物理系统能够有相同传递函数。不一样物理系统能够有相同传递函数。2.3传递函数n传递函数表示系统传递输入信号能力，反应传递函数表示系统传递输入信号能力，反应系统本身动态性能。它只与系统结构和参数系统本身动态性能。它只与系统结构和参数相关，与外部作用等条件无关。相关，与外部作用等条件无关。第27页传递函数另外两种惯用形式：传递函数另外两种惯用形式：时间常数形式时间常数形式根形式根形式2.3 传传 递递 函函 数数第28页2.3 传传 递递 函函 数数系统特征方程系统阶数系统极点系统零点第29页l2、
8、经典步骤传递函数及暂态特征（1）百分比步骤百分比步骤2.3传递函数第30页百分比步骤单位阶跃响应百分比步骤单位阶跃响应2.3传递函数第31页（2）惯性步骤惯性步骤2.3传递函数当 时第32页惯性步骤单位阶跃响应惯性步骤单位阶跃响应2.3传递函数求拉氏反变换得求拉氏反变换得 第33页当输入量为 时，输出量为（3）积分步骤积分步骤2.3传递函数式中，K=1/T，T称为积分步骤时间常数。第34页（4）微分步骤微分步骤2.3传递函数 理想微分步骤理想微分步骤第35页（4）微分步骤微分步骤2.3传递函数 一阶微分步骤（又称百分比微分步骤、实用微分步一阶微分步骤（又称百分比微分步骤、实用微分步骤）骤）第3
9、6页（5）振荡步骤振荡步骤2.3传递函数这种步骤包含有两个储能元件，当输入量发生改变时，这种步骤包含有两个储能元件，当输入量发生改变时，两种储能元件能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂两种储能元件能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性改变。态响应可能作周期性改变。式中：式中：自然振荡角频率自然振荡角频率 阻尼比阻尼比第37页（5）振荡步骤振荡步骤2.3传递函数当输入量为阶跃函数时，输出量拉氏变换为：l当当 时，上式特征方程根为共轭复数时，上式特征方程根为共轭复数因式分解得：第38页振荡步骤单位阶跃响应振荡步骤单位阶跃响应2.3传递函数l输出量为输出量为：第39页（6）时滞步骤时
10、滞步骤2.3传递函数l例2-10带钢厚度检测步骤写成普通形式:零初始条件下，拉氏变换为 传递函数为 第40页时滞步骤时滞步骤输出量输出量2.3传递函数第41页时滞步骤传递函数时滞步骤传递函数 对于时滞时间很小时滞步骤，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞步骤在一定条件下可近似为惯性步骤时滞步骤在一定条件下可近似为惯性步骤 2.3传递函数第42页2.4系统动态结构图l系统动态结构图l将系统中全部步骤用方框图表示，图中标明其传递函数，而且按照在系统中各步骤之间联络，将各方框图连接起来。第43页2.4系统动态结构图l系统动态结构图绘制步骤：l(1)首先按照系统结构和工作原理，分解出各步骤并写
11、出它传递函数。l(2)绘出各步骤动态方框图，方框图中标明它传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量，按照信号传递方向把各方框图依次连接起来，就组成了系统结构图。第44页2.4系统动态结构图l例2-11 速度控制系统第45页2.4系统动态结构图l（1）比较步骤和速度调整器步骤式中：第46页2.4系统动态结构图l比较步骤和速度调整器步骤结构图式中整理得 第47页2.4系统动态结构图l（2）速度反馈传递函数 式中：为速度反馈系数 第48页2.4系统动态结构图l（3）电动机及功率放大装置第49页2.4系统动态结构图l（4）系统动态结构图 第50页2.5系统传递函数和结构图等效变换l1.经典连接
12、等效传递函数l(1)串联第51页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(2)并联第52页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(3)反馈连接第53页2.5系统传递函数和结构图等效变换l2.相加点及分支点换位运算l l标准:l 换位前后输入/输出信号间关系不变。l 第54页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(1)相加点后移l 第55页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(2)相加点前移l 第56页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(3)分支点后移l 第57页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(4)分支点前移l 第58页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(5)分支点换位l 第59页2.5系统传
13、递函数和结构图等效变换l(6)相加点变位l 第60页2.5系统传递函数和结构图等效变换l(7)相加点和分支点普通不能变位l 第61页2.5系统传递函数和结构图等效变换l3.系统开环传递函数 l定义：l 闭环系统反馈信号拉氏变换与偏差信号拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统开环传递函数，用 表示。第62页2.5系统传递函数和结构图等效变换系统开环传递函数是正向通道传递函数与系统开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数乘积。反向通道传递函数乘积。正向通道传递函数正向通道传递函数 反向通道传递函数反向通道传递函数第63页2.5系统传递函数和结构图等效变换l例2-12无交叉局部反馈系统第6
14、4页2.5系统传递函数和结构图等效变换l例2-13有交叉局部反馈系统第65页2.5系统传递函数和结构图等效变换l4.系统闭环传递函数l定义：l 在初始条件为零时，系统输出量与输入量拉氏变换之比称为系统闭环传递函数，用 表示。第66页2.5系统传递函数和结构图等效变换第67页l对于单位反馈系统，有2.5系统传递函数和结构图等效变换第68页2.5系统传递函数和结构图等效变换l5.系统对给定作用和扰动作用传递函数 l标准：对于线性系统来说，能够利用叠加原理，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统输出量。第69页2.5系统传递函数和结构图等效变换（1 1）只有给定作用）只有给定作用
15、 第70页2.5系统传递函数和结构图等效变换（2 2）只有扰动作用）只有扰动作用 第71页2.5系统传递函数和结构图等效变换（3 3）两个输入量同时作用于系统）两个输入量同时作用于系统 第72页2.6信号流图l 信号流图是一个用图线表示线性系统方程组方法。l1.信号流图中术语 l(1)源点 l 只有输出支路节点称为源点或称为输入节点。它普通表示系统输入变量。l(2)汇点 l 只有输入支路节点称为汇点或称为输出节点。它普通表示系统输出变量。第73页2.6信号流图l(3)混合节点 l 现有输入支点又有输出支点节点称为混合节点。l(4)通路l 从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（
16、或同一节点）组成路径，称为通路。通路中各支路传输乘积称为通路传输（通路增益）。第74页2.6信号流图l(5)开通路 l 与任一节点相交不多于一次通路称为开通路。l(6)闭通路 l 假如通路终点就是通路起点，而且与任何其它节点相交不多于一次通路称为闭通路或称为回环。l(7)回环增益 l 回环中各支路传输乘积称为回环增益（或传输）。第75页2.6信号流图l(8)前向通路 l 是指从源点开始并终止于汇点且与其它节点相交不多于一次通路，该通路各传输乘积称为前向通路增益。l(9)不接触回环 l 假如一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。第76页2.6信号流
17、图l2.梅逊增益公式 式中：式中：T 系统总传输；系统总传输；Tk 第第k 条前向通道传输；条前向通道传输；n 从输入节点到输出节点前向通路数；从输入节点到输出节点前向通路数；信号流图特征式；信号流图特征式；第77页2.6信号流图特征式意义为特征式意义为 信号流图中全部不一样回环传输之和；信号流图中全部不一样回环传输之和；信号流图中每两个互不接触回环传输乘积之和；信号流图中每两个互不接触回环传输乘积之和；m个互不接触回环传输乘积之和；个互不接触回环传输乘积之和；称为第称为第k条通路特征式余因子，是在中除去第条通路特征式余因子，是在中除去第k 条前向通路相条前向通路相接触各回环传输（即将其置零）
18、。接触各回环传输（即将其置零）。第78页2.6信号流图l例2-14第79页2.6信号流图l例2-14第80页2.6信号流图l例2-15求：求：解：解：第81页2.6信号流图（1）（2）第82页2.6信号流图（3）（4）第83页小结l1.数学模型基本概念。l 数学模型是描述系统因果关系数学表示式，是对系统进行理论分析研究主要依据。l2.经过解析法对实际系统建立数学模型。l 在本章中，依据系统各步骤工作原理，建立其微分方程式，反应其动态本质。第84页小结l编写闭环系统微分方程普通步骤为：l(1)首先确定系统输入量和输出量。l(2)将系统分解为各步骤，依次确定各步骤输入量和输出量，依据各步骤物理规律
19、写出各步骤微分方程；l(3)消去中间变量，就能够求得系统微分方程式。第85页小结l3.非线性元件线性化。l 针对非线性元件非线性微分方程分析难度，本章介绍采取小偏差线性化方法对非线性系统线性化描述。l4.传递函数。l 经过拉氏变换求解微分方程是一个简捷微分方程求解方法。本章介绍了怎样将线性微分方程转换为复数 s 域数学模型传递函数以及经典步骤传递函数。第86页小结l5.动态结构图。l 动态结构图是传递函数图解化，能够直观形象地表示出系统中信号传递变换特征，有利于求解系统各种传递函数，深入分析和研究系统。l6.信号流图。l 信号流图是一个用图线表示系统中信号流向数学模型，完全包含了描述系统全部信息及相互关系。经过利用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统传递函数。第87页END第88页
