1、 切线（二）切线（二）切线长定理和三角形的内切圆切线长定理和三角形的内切圆1.切线含有什么特性?答:【特性1】切线与圆只有 一种公共点;【特性2】圆心到切线的距离等于圆的半径;【特性3】圆的切线一定垂直于通过切点的半径O。PMNPQ 1.任意画一种任意画一种O，在，在O上任取两点上任取两点A，B，以以A，B为切点分别作为切点分别作O的两条切线，画出的两的两条切线，画出的两条切线的位置关系如何？条切线的位置关系如何？ABO。AB。O。2.圆的切线是线段、射线、还是直线？圆的切线是线段、射线、还是直线？O。ABP思考思考：已知已知 O切线切线PA，A为切点，为切点，连接连接OP，把圆沿着，把圆沿着
2、OP对折对折,你能发你能发现什么现什么?12探探 究究 活活 动动如图，纸上有一O，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重叠的点为B。1、OB是O的一条半径吗？2、PB是O的切线吗？5、运用图形轴对称性解释3、PA、PB有何关系？4、APO和 BPO有何关系？AOP PAOB(1)设设与点与点A 重叠的点重叠的点为为点点B,这这里里O B是是O的一条的一条_,PB是是O的一条的一条_.(2)图中图中PA与与P B B、APO与与 B BPO的关系是的关系是(猜想猜想):_.半径半径切线切线PA=PPA=PB B APO=APO=B BPO PO 1.1.如图，过圆外一点有两条直线
3、如图，过圆外一点有两条直线PAPA、PBPB与与OO相切。在通过圆外一点的圆的切线上，这点和相切。在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。ABPO。切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上切线上某一点与切点间的线段某一点与切点间的线段的长。的长。2.2.从从O O外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切点分，切点分别是别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么结论，
4、你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB OPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB试用文字语言叙述试用文字语言叙述你所发现的结论你所发现的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB1=2 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
5、分两条切线的夹角。条切线的夹角。切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思：切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提提 供了新的方法。供了新的方法。12我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1、切线和圆只有一种公共点；、切线和圆只有一种公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4、通过圆心垂直于切线的直线必过切点；、通过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、通过切点垂直于切线的直线必过圆心。、通过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条
6、切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。7 7、如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段、如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段是直径。是直径。七个七个APO。BM 4.4.连结两切点连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰
7、三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分AB切线长定理的基本图形的研究 PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交交 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中全部的垂直关系）写出图中全部的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中全部的全等三角形）写出图中全部的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（4）写出图中全部的相似三角形AOC BOC AOPBOP ACPBCP（5）写出图中全部的等腰三角形）写出图中全部的等腰三角形ABP AOB（6）若）若PA=4、PD=2，求半径，求
8、半径OA（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCAPO。BECD已知：如图，已知：如图，PA，PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为为切点。直线切点。直线OP交交 O于点于点D、E，交，交AB于点于点C。（2）写出图中全部的全）写出图中全部的全等三角形；等三角形；（1）写出图中全部的垂直关系；）写出图中全部的垂直关系；（4）如果）如果PA=4cm，PD=2，求半径，求半径OA的长。的长。OAPAOAPA，OBPBOBPB，OPABOPABOAPOBPOAPOBPOCAOCBOCAOCBACPBCPACPBCP（3）图中有哪些线段相等、弧相等，角相等
9、）图中有哪些线段相等、弧相等，角相等？四、探索 如图23.2.11为一张三角形铁皮，如何在它上面截一种面积最大的圆形铁皮？【重点重点2】三角形的三角形的内切圆内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点一种三角形的内切圆是惟一的 三、应用举例 【例1】如图，O是ABC 的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，DOE120，EOF150，求ABC 的三个内角的度数.DOE120,EOF150 DOF=360-DOE-EOF =360-120-150=90【解】AB、AC分别切O
10、于点D、F ADO=AFO=90 A=360-ADO-DOF-AFO=360-90-90-90=90同理 B=60,C=30.【例2】ABC 的内切圆O 与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，且AB5厘米，BC9厘米，AC6厘米，求AD、BE和CF的长.解:设AD=x,BE=y,CF=z,由切线长性质可知：，即AD=1厘米,BE=4厘米,CF=5厘米【例3】设ABC 的内切圆的半径为r，ABC 的周长为l，求ABC 的面积S.PABO1 1、填空：已知、填空：已知OO的半径为的半径为3cm3cm，点，点P P和圆心和圆心O O的距离为的距离为6cm6cm，通过点，通过点P P有有OO的两条
11、切线，的两条切线，则切线长为则切线长为_cm_cm。这两条。这两条切线的夹角为切线的夹角为_度。度。60练练 习：习：2 2、已知、已知圆外切四边形圆外切四边形ABCD中，中，AB：BC：CD=4：3：2，它的周长为它的周长为24cm。则。则AB=，BC=；CD=，DA=。ADOCB8cm6cm4cm6cmABCabcrr=a+b-c2如：直角三角形的两直角如：直角三角形的两直角边分分别是是5cm，12cm 则其内切其内切圆的半的半径径为_。4 4、直角三角形的两直角直角三角形的两直角边分分别是是a，b 则其内切其内切圆的半径的半径为:2cm3 3、已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=1
12、4cmBC=14cm，AC=9cmAC=9cm，AB=13cmAB=13cm，它的内切圆分别，它的内切圆分别和和BCBC、ACAC、ABAB切于点切于点D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的长。的长。.5.如图，四边形如图，四边形ABCD的边的边 AB，BC，CD，DA和和 O分别相切于分别相切于L，M，N，P。（1）图中有几对相等的线段？）图中有几对相等的线段？ADLMNPOCB（2 2）由此你能发现什么结论）由此你能发现什么结论？为什么？为什么？AB，BC，CD，DA都与都与 O相切，相切，L，M，N，P是切点，是切点，AL=AP，LB=MB，DN=DP，NC=MC
13、 AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即即 AB+CD=AD+BC圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）（可做定理用）。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）连结圆心和圆外一点（角平分线）（2）连结两切点（等腰三角形）连结两切点（等腰三角形）（1）分别连结圆心和切点（直角）分别连结圆心和切点（直角）1.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。角。小小 结：结：APO。BECD PA、PB分别切分别切 O于于A、B PA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论相等，弧相等，垂直关系提供了理论根据。必须掌握并能灵活应用。根据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 作作 业：习题业：习题28.2 10、11
