1、计算方法偏微分计算方法偏微分方程数值解方程数值解第1页本章要求本章要求教学目标教学目标 讲解：偏微分方程离散格式及求解普通过程教学要求教学要求E熟记一阶及二阶偏微分方程离散格式；C精通用EXCEL迭代对偏微分方程求解；探索用两数组交替更新方法进行编程求解；F延伸对化学反应工程中物理场模拟进行尝试。教学重点教学重点各种偏微分方程离散与求解EXCEL循环迭代问题教学难点教学难点特殊边界条件引入与应用第2页5.1偏微分方程介绍&偏微分方程假如一个微分方程中出现多元函数偏导数，或者说假如未知函数和几个变量相关，而且方程中出现未知函数对几个变量导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。在化工或化学动态模拟方
2、程中，经常有一个自变量是时间，其它自变量为空间位置。假如只考虑一维空间，则只有两个自变量；假如考虑两维空间，则有3个自变量。许多化工过程均是经过对偏微分方程求解进行工艺参数确实定或数值模拟。第3页5.1偏微分方程介绍&偏微分方程分类线性微分方程Linear partial differencial equation拟线性微分方程Quasilinear partial differencial equation非线性微分方程Nonlinear partial differencial equation第4页5.1偏微分方程介绍&数学上分类：椭圆方程 Elliptic抛物线方程 Parabolic
3、双曲线方程 Hyperbolic&物理实际问题归类：波动方程(双曲型）一维弦振动模型：热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程拉普拉斯方程（椭圆型）稳态静电场或稳态温度分布场）第5页5.1微分方程求解思绪&求微分方程数值解普通步骤：Step1区域剖分：首先按一定规则将整个定义域分成若干小块Step2微分方程离散：结构离散点或片函数值递推公式或方程Step3初始、边界条件离散：依据递推公式，将初值或边界值离散化，补充方程，开启递推运算Step4 数值解计算：求解离散系统问题&微分方程定解问题 离散系统求解问题第6页5.2离散化公式&将自变量在时间和空间上以一定间隔进行离散化，则应变量就变成了这些
4、离散变量函数。&一阶偏导离散化公式普通采取欧拉公式表示&有时为了确保系统和稳定性，对时间差分往往采取向后公式第7页5.2离散化公式P对于二阶偏导，我们能够经过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：第8页5.2离散化公式推导&将uk+1在uk处按二阶泰勒式展开：&将uk-1在uk处按二阶泰勒式展开：&二式相加得：第9页5.3几个常见偏微分方程离散化计算&1、波动方程波动方程其中：为初值条件 为边值条件 当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程初值问题，二者均提供时称为波动方程混合问题。第10页5.3.1波动方程求解对于初值问题，是已知t=0时，u与 依赖于x函数形式，求解不一样位置
5、，不一样时刻u值。而 u是定义在 二元函数，即上半平面函数。对于混合问题除初值外，还有边值。是已知初值及x=0及x=l 时u依赖于 t函 数，求 解 不 一 样 位 置 x，不 一 样 时 刻 u值。此 时 u是 定 义 在 带形区域上二元函数。xt 0a)初值问题初值问题tx0lb)混合问题混合问题第11页5.3.1波动方程求解方程离散化整理可得：边界条件初始条件离散化xxin第12页5.3.1波动方程求解&例例5.1:用数值法求解下面偏微分方程。此微分方程，是在不考虑流体本身热传导时套管传热微分方程.由计算结果可知，当计算时间序列进行到7272时，传热过程已到达稳态，各点上温度已不随时间增
6、加而改变。假如改变套管长度或传热系数，则到达稳态时间亦会改变。EXCELEXCEL第13页5.3.2一维流动热传导方程与波动方程情形类似，用差商近似代替偏商，能够得到一维流动传热传导方程混合问题差分方程，以其解作为流动传热传导方程近似解。2 2、一维流动热传导方程混合问题、一维流动热传导方程混合问题离离散散化化第14页将上式进行处理得到：该式是显式格式。只要确保式中各项系数大于零，普通情况下是稳定，能够取得稳定解。分析上式能够发觉，当为了提升数值精度取适当小x时，最有可能小于零系数是uin系数，若要确保此项系数大于零，此时t必须对应地更小,会造成计算量将大大增加，这是显式格式缺点，为了克服此缺
7、点，下面提出一个隐式格式：偏微分方程在点上进行离散化，且对时间偏微分采取向后欧拉公式得到原偏微分方程离散化公式：5.3.2一维流动热传导方程第15页从图5-3中可见要由初值及边界条件一排一排推上去是不行，需解线性方程组,同时添上二边界条件：恰好共有m+2个方程，同时有m+2个变量，就能解出n+1排上各点值。这么，每解一个线性方程组，就能够往上推算一排点u值，即使引入了方程组求解，有可能增加计算量，但因为隐式格式无条件稳定，t取法与x 无关，能够少计算许多排节点上u 值，对应于显式格式来说，最终反而节约了计算量。5.3.2一维流动热传导方程第16页&例5.2考虑纵向导热套管换热器内管各点温度分布
8、微分方程：解：首先依据前面知识，将所求方程离散化：代入微分方程并化简得：分析上式可知，假如知道了某一时刻各点t，（j=0,1,2.10,11），就能够求下一时刻各点温度值t(j=1,2.10),现在已经知道了零时刻管内各点温度分布及入口处于任何时刻温度，如想求下一时刻温度值，依据上面离散化计算公式，还需知道在j=11处温度，这个温度可利用给定边界条件离散化求得：有了以上各式，上面微分方程就能够求解了。5.3.2一维流动热传导方程EXCELEXCEL第17页5.3.3 稳态导热/扩散方程&3、稳态导热、稳态导热/扩散方程扩散方程 在化工导热及扩散过程中，没有物流流动，仅靠导热及扩散进行热量及质量
9、传递。假如此时系统到达稳定状态，也就是说系统中每一个控制单元各项性质如温度、浓度等不再随时间改变而改变，系统中各种性质只与其所处位置相关，利用化工知识，我们能够得到下面二维、三维稳态导热或扩散偏微分方程：二维：三维：二维稳态导热或扩散偏微分方程又称调和方程。常见有三种边界条件：第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：第18页&离散化公式：&取，经化简得：&外节点（边界节点）和内节点&求解方法划分网格建立节点离散方程迭代求解（或解稀疏方程组）xy求解区域N 节点边界五点格式示意图5.3.3稳态导热/扩散方程求解第19页5.3.3稳态导热/扩散方程求解惯用3种迭代格式：(1)同时迭代：(2
10、)异步迭代：(3)超松弛迭代：当计算范围R 为 矩阵区域，x方向m等分，y方向n等分，最正确松弛因子为：由数学知识可知，用这些迭代法求解上面偏微分方程均收敛。紧凑迭代第20页5.3.3稳态导热/扩散方程求解例例5.3：处于传热平衡状态某保温，假设其形状为长方体，在x，y两个方向上存在热传导，且导热系数相等，已知边界温度分布以下列图所表示：解：取某一微元进行能量衡算，因为已达传热平衡状态，故可得：传导入热量-传导出热量=01xy10(1,1)温度分布温度分布温度分布温度分布xyz第21页5.3.3稳态导热/扩散方程求解&MicrosoftExcel迭代计算公式中循环引用在“工具工具”菜单上，单击
11、“选项”，再单击“重新计算”选项卡。选中“迭代”复选框。若要设置MicrosoftExcel进行重新计算最大次数，请在“最多迭代次数”框中键入迭代次数。迭代次数越高，Excel用于计算工作表时间越多。若要设置两次迭代结果之间能够接收最大误差，请在“最大误差”框中键入所需数值。数值越小，结果越准确，Excel用于计算工作表时间也越多。第22页5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例&5.4.1 基本设定及假设基本设定及假设1.吸附器结构参数设定 上图所表示是套筒式吸附器，该吸附器有效长度为L，其有效内径为D,环隙宽度为，吸附器壁厚为b。导热流体经过环隙将热量传入或传出吸附器，吸附质经过吸附器
12、上端小管进入或离开吸附器。吸附器结构示意图吸附器结构示意图 DL热流体第23页5.4.1基本设定及假设2.吸附床外流体传热一些基本假设：1).忽略流体在环隙宽度上温度梯度；2).忽略热损失；3).忽略吸附器壁厚b上温度梯度，用集中参数法求取吸附器壁面温度。.吸附床内传热传质一些基本假设：1).吸附床内吸附质气体处于气滞状态；2).忽略蒸发器、冷凝器和吸附床之间压力差；3).吸附床内各计算微元内到达吸附平衡。吸附量可利用回归方程计算；4.吸附热利用微分吸附热，随吸附量和吸附温度改变而改变；比热采取有效比热，亦随温度改变，但在计算微元内，可认为是常数；5.床层活性炭导热系数采取当量导热系数，可由试
13、验测量得到。第24页5.4.2流体传热模型建立在轴方向上取一环隙微元，作能量分析以下：1.流体经过流动流入环隙微元能量为2.流体经过流动流出环隙微元能量3.流体热传导在x 处热量导入7总能量平衡方程流体传热微元模型流体传热微元模型 其中：f 流体密度uf 环隙流体速度，Sf 环隙横截面积，Cpf流体比热。4.流体热传导在x+x处热量导入 5.微元体传递给吸附床热量 qt 6.微元体内能量改变率 为流体横截面积第25页5.4.3吸附床内吸附剂传热传质模型建立&吸附床内发生着热量和质量传递，但质量传递是建立在热量传递基础上，故只要建立热量传递方程，就能够依据平衡吸附量方程求出各处吸附量。吸附床内热
14、量传递主要以热传导为主，现有经向热传导，也有轴向热传导，为了便于建模分析，选取如图所表示吸附床微元体，进行衡算：x+x x xrr+r吸附床内传热传质微元体1.轴向导入热量:2.轴向导出热量3.径向导入热量 4.径向导出热量 5.微元体内能量改变率 其中 为吸附床层内有效比热。6.总能量平衡方程 第26页5.4.4吸附器内/外无量纲化方程吸附器内/外无量纲化方程无量纲化处理无量纲化处理第27页5.4.4吸附器内吸附器内/外无量纲化方程外无量纲化方程整理可得：其中：第28页5.4.4吸附器内吸附器内/外无量纲化方程外无量纲化方程初始条件：边界条件第29页5.4.6模型离散化偏偏导导数数差差分分离离散散化化边边界界条条件件离离散散化化处处理理第30页5.4.6模型离散化离散化离散化方方 程程离离散散化化系系数数第31页5.4.7模型求解参数及求解区域初始化参数及求解区域初始化偏微分方程系数计算偏微分方程系数计算离散化方程系数计算离散化方程系数计算收敛性判断收敛性判断各偏导系数各偏导系数0方程组迭代求解方程组迭代求解输出结果输出结果YN缩小时间步长缩小时间步长重新划分网格重新划分网格迭代循环迭代循环第32页
