1、可分离变量微分方程可分离变量微分方程第二节1/22 一阶微分方程普通形式：一阶微分方程普通形式：（变量（变量 与与 对称）对称）若将若将 看作未知函数，则有看作未知函数，则有若将若将 看作未知函数，则有看作未知函数，则有对称形式：对称形式：讨论一阶微分方程解法讨论一阶微分方程解法2/22一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程均可化为均可化为(1)形式形式.比如：比如：形如：形如：或或问题：问题：3/22对方程对方程两边积分两边积分：设设 及及 依次为依次为 及及 原函数，原函数，可分离变量方程解法可分离变量方程解法分离变量法：分离变量法：因为关系式因为关系式(2)含有任意常数，故称为含有
2、任意常数，故称为（隐式）（隐式）通解通解.称为微分方程称为微分方程(1)（隐式）解。（隐式）解。于是有于是有将方程将方程分离变量分离变量：4/22例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量：分离变量：两端积分两端积分也是解，也是解，可与通解可与通解合并为合并为5/22例例2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量：分离变量：两端积分：两端积分：满足初始满足初始条件条件特解特解.6/22解解由题设条件，有由题设条件，有(1)建立微分方程和定解条件：建立微分方程和定解条件：7/22 初值问题初值问题 衰变规律衰变规律分离变量分离变量两边积分两边积分（2）解微分方程：）解微分方程：8/22利用死
3、亡生物体内放射性同位素碳利用死亡生物体内放射性同位素碳14衰变规律，推测生物体死亡衰变规律，推测生物体死亡时间，用于考古、刑侦等方面时间，用于考古、刑侦等方面.放射性物质都含有类似衰变规律：放射性物质都含有类似衰变规律：9/22假设某人天天饮食可产生假设某人天天饮食可产生热量，用于基本新陈代谢天天所消耗热热量，用于基本新陈代谢天天所消耗热量为量为，用于锻炼所消耗热量为，用于锻炼所消耗热量为为简单计，假定增加（或降低）体重所需热量为简单计，假定增加（或降低）体重所需热量全由脂肪提供，脂肪含热量为全由脂肪提供，脂肪含热量为求此人体重随时间改变规律求此人体重随时间改变规律.例例4（减肥问题）（减肥问
4、题）10/22解（解（1）建立微分方程与定解条件：）建立微分方程与定解条件：设设t 时刻（时刻（d）体重为）体重为依据热量平衡原理，在依据热量平衡原理，在dt 时间内，时间内，人热量改变量吸收热量消耗热量人热量改变量吸收热量消耗热量所以得所以得则得方程则得方程设开始减肥时刻为设开始减肥时刻为于是初值条件为于是初值条件为11/22（2）解微分方程：）解微分方程：初值问题初值问题分离变量分离变量两边积分两边积分得通解为得通解为代入初值条件可得特解为代入初值条件可得特解为12/22（3）由上面结果易得以下结论：）由上面结果易得以下结论：随时间增加，趋于常数随时间增加，趋于常数节制饮食节制饮食调整新陈
5、代谢调整新陈代谢能够到达理想体重能够到达理想体重13/22饮食量仅够维持新陈代谢饮食量仅够维持新陈代谢身体快速消瘦身体快速消瘦危险！危险！只吃饭、不锻炼只吃饭、不锻炼身体越来越胖身体越来越胖危险！危险！14/22要到达理想体重，或者限时减肥或增肥，要到达理想体重，或者限时减肥或增肥，适当组合适当组合.都可设计出都可设计出15/22小小 结结一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程解法解法然后两端积分然后两端积分.将不一样变量写在等式两端，将不一样变量写在等式两端，分离变量：分离变量：16/22二、微分方程简单应用二、微分方程简单应用用微分方程处理实际问题普通步骤：用微分方程处理实际问题普通
6、步骤：1.建立微分方程和定解条件；建立微分方程和定解条件；2.依据方程类型，用对应方法求出通解，依据方程类型，用对应方法求出通解，并依据定解条件确定特解并依据定解条件确定特解;3.对所得结果进行详细分析，解释它实际对所得结果进行详细分析，解释它实际意义意义.假如与实际相差甚远，那么就应修改假如与实际相差甚远，那么就应修改模型，重新计算模型，重新计算.数学模型数学模型17/22思索题思索题以下微分方程以下微分方程是否为可分离变量方程是否为可分离变量方程?不是不是是是是是18/22作业作业p.269 习题习题1221.(3),(7);2.(1),(4);4;6.19/22 有高为有高为1米半球形容
7、器米半球形容器,水从它底部水从它底部小孔流出小孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如如图图).开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,求水从小孔求水从小孔流出过程中容器里水面高度流出过程中容器里水面高度h(水面与孔口水面与孔口中心间距离中心间距离)随时间随时间t改变规律改变规律.例例 5解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口水从孔口流出流量为流出流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度20/22另首先，设在微小时间间隔另首先，设在微小时间间隔水面高度由水面高度由h降至降至 比较比较(1)和和(2)，得，得微分方程微分方程:21/22分离变量，得分离变量，得可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为积分，得积分，得22/22
