1、2.2 直接证明与间接证明 反证法 教学目标：教学目标： 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证 题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而 发展学生的思维能力. 教学重点：教学重点： 反证法证题的步骤. 教学难点：教学难点： 理解反证法的推理依据及方法. 复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程 综合法已知条件结论 分析法结论 已知条件 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？ （2）A、B、C三个人
2、，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎 . 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 这与B撒谎矛盾. 思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的 证明方法叫做反证法。 理论 反证法的证明过程： 否定结论推出矛盾肯定结论， 即分三个步骤：反设归谬存真 反设假设命题的结论不成立； 存真由
3、矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。 归谬从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾； 用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件 否定结论 导 致 逻辑矛盾 反设 不成立 结论 成立 例1：已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。 证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以a是偶数。 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从 进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例题 例2： 不可能成等差数列 注：否定型命题(命题的结论是“不
4、可能”， “不能表示为”，“不是”，“不存在” ， “不等于”，“不具有某种性质”等) 常用反证法 解题反思： 证明本题时，你是怎么想到反证法的？ 反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？ 练习： 例3 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a， 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 x2 )是 方程的两个根. 例4：已知x0,y0，x+y2， 求证： 中至少有一个小于2。 分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“ 至少有一个”只要证明它的反面“
5、两个都”不成立 即可. 注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 归纳总结： 三个步骤：反设归谬存真 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的 证明方法叫做反证法。 （1）直接证明有困难 正难则反! 归纳总结： 哪些命题适宜用反证法加以证明？ 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题 （2）否定性命题 （4）至多，至少型命题 唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇
6、怪的法律： 每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果 旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死 。 一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就 得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞 死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王 才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。 趣味 数学 推 理 与 证 明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 课堂小结 反证法证题的步骤共分三步： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面 成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 论正确. 1 用反证法证明： 如果ab0，那么 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从 结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 课堂练习 2 求证： 是无理数。 课后作业： 必做题：课本67页练习A：1、2 选做题：练习B:2
