1、2.3 初等函数 一、 指数函数 二 、对数函数 三 、乘幂与幂函数 四 、三角函数和双曲函数 五 、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 1 、指数函数 1.定义 如果函数f(z)满足下列三个条件: i) ez不等于零, 且|exp z|=ex; ii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)； iii) f(z)在复平面内解析，且f (z)=f(z) 。 称f(z) 为指数函数 2.性质 i)在复平面处处解析的函数, 且有 f (z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. 记作 exp z=ex(cos y+isin y).等价于关系式: |exp z|=ex,
2、 Arg(exp z)=y+2kp 所以exp z0. ii) exp z服从加法定理: exp z1exp z2 = exp(z1+z2) 事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有 iiii) exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即 ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数. 注意：为了方便, 往往用ez代替exp z. 这里 的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的 符号使用。 2 、对数函数 1.定义 对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程 ew=z(z0) 的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则
3、eu+iv=reiq, 所以u=ln r, v=q. 因此w=ln|z|+iArg z 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为 多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数 倍,记作 2.公式 Ln z=ln|z|+iArg z 主值 ln z = ln|z|+iarg z而其余 各值可由 Ln z=ln z+2kpi(k=1,2,.)(2.11) 表达. 对于每一个固定的k, (2.11)式为一单值函数, 称 为Ln z的一个分支. 特别, 当z=x0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变数对 数函数. 例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值. 解 因为L
4、n 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所 以它的主值是ln(-1)=pi. 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复 数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函 数的拓广. 3.性质: i) ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它点 都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不连续 . 因为若设z=x+iy, 则当z0时, 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处 处连续. 综上所述, z=e
5、w在区域 -pv=arg z0)时, 由于 4 、 三角函数和双曲函数 i) cos z和sin z以2p为周期, 即 cos(z+2p)=cos z,sin(z+2p)=sin z. ii)cos z是偶函数,即 cos(-z)=cos z 而sin z是奇函数:即 sin(-z)=-sin z iii)公式 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有 所以 这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用. iv)当y时, |siniy|和|cosiy|都趋于无穷大, 因
6、此, |sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立. v)解析性 在复平面内都解析 其它复变数三角函数的定义如下: 双曲函数 1.定义 分别称为双曲余弦,正弦和正切函数. 2.性质 chz和shz都是以为 周期的函数, chz为偶函数, shz为 奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为: (chz)=shz,(shz)=chz 不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny 5 、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义 两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义 补充题 解 6 、 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围 内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 作业：第68页15,18,20题
