1、第2章数组、矩阵及其运算 2.1 数组的创建 2.2 矩阵的代数运算 2.3 矩阵的关系运算 2.4 矩阵运算 2.5 符号矩阵运算 2.6 高 维 数 组 2.7 非数和空数组 2.8 矩 阵 分 解 2.9 特征值与特征向量 2.10 小 结 数组或矩阵是MATLAB最基础的内容之一， 几乎所有的数据都是用数组的形式进行存储的 ，这就是MATLAB又被称为矩阵实验室的原因。 本章将首先介绍数组或矩阵的创建和运算 ，然后介绍在理论和工程应用中都十分重要的 矩阵分解，最后介绍矩阵的特征值与特征向量 的求解等问题。 2.1 数组的创建 1直接输入法 （1）使用分号，创建一维列数组。 D1=pi;
2、log(5);7+2;23 D1 = 3.1416 1.6094 9.0000 8.0000 1.3.2 Windows下安装MATLAB （2）使用空格，创建一维行数组。 D2=pi log(5) 7+2 23 D2 = 3.1416 1.6094 9.0000 8.0000 采用通用格式a：step：b。 其中a表示数组的第一个元素；setp表示 数组的间隔，即步长；b表示数组的最后一个 元素。 如果省略step，默认值为1；如果step是 正数，必须满足ab。 2步长生成法 在设定了总个数的条件下，均匀采样分布 生成一维行数组。采用通用格式： xlinspace(a,b,n) 3定数线性
3、采样法 在设定了总个数的条件下，经过“常用对 数”采样生成一维行数组。 采用通用格式xlogspace(a,b,n)，其中a 、b分别是数组的第一个和最后一个元素，n表 示个数。 4定数对数采样法 1子数组的寻访 rand(state,0)%把均匀分布伪随机发生器置 为0状态。 x=rand(1,5) %产生（15）的均布随机数 组。 x = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3) %寻访数组x的第三个元素 ans = 0.6068 2.1.2 一维数组的子数组寻访和赋值 x(3) = 0 %把上例中的第三个元素重 新赋值为0。 x = 0.9501 0
4、.2311 0 0.4860 0.8913 x(1 4)=1 1 %把当前x数组的第一、四 个元素都赋值为1。 x = 1.0000 0.2311 0 1.0000 0.8913 2子数组的赋值 1采用直接输入法创建二维数组 【例2-1】创建二维数组。 a=2;b=33/79; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a+5*b,3. 5+i 【例2-2】复数数组的另一种输入方式。 x_r=1 2 3;4 5 6;x_i=11 12 13;14 15 16; C1=x_r+i*x_i 2.1.3 二维数组（矩阵）的创建 2采用MATLAB中产生矩阵的内 部函数命令创建二
5、维数组 表表2-12-1 MATLABMATLAB内部函数内部函数生矩生矩命令表命令表 函 数功 能函 数功 能 compan伴随阵 zeros元素全为0的矩阵 diag对角阵 ones元素全为1的矩阵 magic魔方矩阵 rand元素服从均匀分布的随机矩阵 linspace线性空间向量 randn元素服从正态分布的随机矩阵 logspace对数空间向量 eye对角线上元素为1的矩阵（单位矩阵） 找到满足某一条件的矩阵元素称为矩阵元 素的标识。 【例2-3】找出数组A中所有绝对值大于3 的元素。 A=zeros(2,5); %生成一个2*5全零矩阵 A(:)=-4:5 %运用全元素赋值法获得A
6、 L=abs(A)3 %产生与A同维的0-1逻辑值矩阵 islogical(L) %判断L是否逻辑值矩阵，若为1则是 X=A(L) %把L中逻辑值为1对应的A的元素取出 2.1.4 矩阵元素的标识 矩阵的赋值可以采用全元素、单下标、双 下标等方式。 【例2-4】不同赋值方式示例。 A=zeros(2,4) A(:)=1:8 s=2 3 5; A(s) Sa=10,20,30; A(s)=Sa A(:,2,3)=ones(2) D=eye(3) diag(D) diag(diag(D) repmat(D,1,3) %在水平方向铺放三个D阵 2.1.5 矩阵的寻访和赋值 2.2.1 pow2函数
7、2.2.2 加、减运算 2.2.3 乘法 2.2.4 集合运算 2.2.5 除法运算 2.2.6 矩阵乘方 2.2 矩阵的代数运算 命令：X = pow2(F,E)，表示 【例2-5】演示pow2的数组运算性质。 A=1:4;5:8 pow2(A) 2.2.1 pow2函数 加、减运算符为“+”和“”。运算规则 为对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的 “+”、“”运算进行。 【例2-6】加、减运算符示例。 A=1 1 1;1 2 3;1 3 6; B=8 1 6;3 5 7;4 9 2; A+B A-B 2.2.2 加、减运算 乘法运算符为“*”。运算规则和线性代 数中矩阵乘法运算相同，即放
8、在前面的矩阵的 各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素 对应相乘并相加。 1两个矩阵相乘 【例2-7】矩阵相乘示例。C=A*B 2矩阵的数乘：数乘矩阵 【例2-8】矩阵的数乘示例。D=2*A 2.2.3 乘法 维数相同的两个矩阵的点乘；A.*B表示A 与B对应元素相乘。 【例2-9】点乘示例。 Z=A.*B 3矩阵的点乘 命令格式： C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量 A与B的点积，A与B长%度相同；若为矩阵，则A %与B有相同的维数。 C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点 积。 【例2-10】x=-1 0 2;y=-2 -1 1; z=dot
9、(x,y) 4向量点积（内积） 在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交 向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。 cross用来实现求解向量叉乘。 命令格式： C = cross(A,B) 【例2-11】计算垂直于向量a=(1, 2, 3） 和b=（4, 5, 6）的向量。 c=cross(a,b) 5向量叉乘 【例2-12】计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3)的混合积。 x=dot(a,cross(b,c) 6混合积 命令格式： w = conv(u,v) %u、v为向量，其长度可不相同。 【例2-13】展开多项式(s2+2s+2)(s+4)(s+
10、1)。 w=conv(1 2 2,conv(1 4,1 1) p=poly2str(w,s) %将w表示成多项 式 7向量的卷积和多项式乘法 命令格式： q,r = deconv(v,u) %多项式v除以多项式u，返回 商多项式q和余多项式r。 【例2-14】计算多项式的 卷积。 u=1 2 3 4;v=10 20 30;c=conv(u,v) q,r=deconv(c,u) 8反褶积（解卷）和多项式除法运算 命令格式： C=kron (A,B) %A为mn矩阵，B为pq矩阵， 则C为mpnq矩阵。 【例2-15】 ， ，求A B。 9张量积 1两个集合的交集 命令格式： c = inters
11、ect(a,b) %返回向量a、b的 公共部分，即c= ab。 c = intersect(A,B,rows) %A、B为相同列数 的矩阵，返回元素相同的行。 c,ia,ib = intersect(a,b)%c为a、b的公共 元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公 %共元素在b中位置。 【例2-16】两个集合的交集示例。 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4; B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4 2.2.4 集合运算 命令格式： k = ismember(a,S) %当a中元素属于S时，k 取1，否则，k取0。 k = ismember(A,S,rows
12、)%A、S有相同的列，行相 同k取1，不相同取0，同时结果为取值的列向量。 【例2-17】检测集合中的元素示例。 S=0:2:20 a=1:6 k=ismember(a,S) A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4; B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4; k=ismember(A,B,rows) 2检测集合中的元素 命令格式： c = setdiff(a,b) %返回属于a但不属于b的 不同元素的集合，c = a-b。 c = setdiff(A,B,rows) %返回属于A但不属于B的 不同行。 c,i = setdiff() %c与前面一致，i表示c 中元素在A
13、中的位置。 【例2-18】两集合的差示例。 3两集合的差 命令格式： c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非。 c = setxor(A,B,rows) %返回矩阵A、B交集的非， A、B有相同列数。 c,ia,ib = setxor() %ia、ib表示c中元素分别 在a (或A)、b(或B)中位置。 【例2-19】两个集合交集的非示例。 4两个集合交集的非（异或） 命令格式： c = union(a,b) %返回a、b的并集，即c = ab。 c = union(A,B,rows) %返回矩阵A、B不同行向 量构成的矩阵。 c,ia,ib = union() %ia、ib
14、分别表示c中行 向量在原矩阵(向量)中的位置。 【例2-20】两集合的并集示例。 5两集合的并集 命令格式： b = unique (a) %取集合a的不重复元素 构成的向量。 b = unique (A,rows) %返回A不同行元素组成 的矩阵。 b,i,j = unique () %i体现b中元素在原向量 （矩阵）中的位置， j体现A中元素在b中的位置。 【例2-21】 取集合的单值元素。 6取集合的单值元素 MATLAB提供了两种除法运算：左除（） 和右除（/）。 一般情况下，x=ab是方程a*x=b的解，而 x=b/a是方程x*a=b的解。 【例2-22】除法运算示例。 A=1 2
15、3;4 2 6;7 4 9;b=4;1;2;x=Ab 2.2.5 除法运算 乘方运算符：“”。运算规则。 （1）当A为方阵，p为大于0的整数时， Ap表示A的p次方，即A自乘p次；p为小于0的 整数时，Ap表示A-1的-p次方。 2.2.6 矩阵乘方 （2）当A为方阵，p为非整数时，则 ，其中V为A的特征向 量， 为特征值对角矩阵。如果有 重根，以上指令不成立。 （3）标量的矩阵乘方p A，标量的矩阵乘方定 义为， 其中V，D取 自特征值分解AV=VD。 （4） 标量的数组乘方p.A，标量的数组乘方 定义为 ；数组乘 方A.p，表示A的每个元素的p 次乘方。 2.3.1 矩阵的比较关系运算 2.3.2 矩阵的逻辑关系运算 2.3 矩阵的关系运算 矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元 素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证 两个矩阵
