1、主讲教师:冉扬强 工程数学 复变函数 辅导课程十三 第四章 级数 3 泰勒级数 4 洛朗级数 第二篇 复变函数 第四章 级 数 3 泰 勒 级 数 解析函数的幂级数表示 泰勒定理：设 在区域D内解析， ，只 要圆 含于D内，则 在K内 能展成幂级数 其中系数 并且展式是唯一的。 讨论：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方 法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要 用系数公式来求系数，即可用间接法展开。 (2)由于幂函数的和是解析函数，而解析 函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析 函数与幂级数有着不可分割的联系。这样， 解析函数的充分必要条件可表为： 在D内解析 在D内任一点 的某邻域内可展成
2、幂级数(泰勒级数)。 （3） 几个初等函数的泰勒级数 4 洛 朗 级 数 一、双边幂级数的收敛圆环 对于第一个级数，它是幂级数，故它在收敛圆 ( )内表示一个解析函数， 对第二个级数，作代换 得 设它的收敛区域为 ( )， 则上级数在 内表示一个解析函数。 即： 这样: 故知级数(2)在 ( )内 表示一个解析函数. 这样级数(1), (2)有公共的 收敛区域：圆环 这时，我们称级 数(1)与级数(2)之和为一双边幂级数. 表示为： 其收敛区域为圆环： 定理：双边幂级数 在收敛圆环 上绝对收敛并且内闭一致收敛， 它的和函数在其上是解析函数. 二、解析函数的洛朗展式 定理(洛朗定理)：在圆环H
3、: 内的解析函数 必可展成级数: 系数 称为洛朗系数，展式称为洛朗级数. 为圆周 ，并且展 式是唯一的. 讨论：1)由于在圆所围区域可能有奇点，因此， 不能用柯西公式把系数记为： 2)由于展式的唯一性，可用任何方法来求 一个在圆环内解析的函数的洛朗展式，而不一 定用系数公式来求. 3)如 在D 上有奇点，可作一个圆包 围所有的奇点，那么在该圆的外部区域， 为解折函数，可展为洛朗级数. 4)同一函数在不同的圆环内，其洛朗展式 也不同. 三、洛朗展式举例 1、孤立奇点：若函数 在 不解析( 不解析包括不可微或无定义)，而在 的 某无心邻域(即除去圆心的某个圆)内解析，则 称 是 的一个(单值性)孤
4、立奇点。 如果在 的无论多么小的邻域内，总有 除以 外的奇点，则 是 的 非孤立奇点。例如：函数 它有孤 立奇点 又如，函数 ，z = 0是它的 非孤立奇点. 因为 的奇点是 ， 即： , 显然可以任意 接近 z = 0点. 这就是说在 z = 0 的无论多么小的 邻域内，函数总有异于z = 0 的奇点. 如果 a 为 的单值性孤立奇点，则必存 在R，使 在 内可展成 洛朗级数. 例1：函数 有孤立奇点 在 内有： 在 内 例2： 有孤立奇点 z = 0，并且在 内有洛朗展式. 例3、将 在 及 ， 内分别展开成洛朗数. 解：(i). (ii). (iii). 第五章 留 数 主要内容 (1)
5、、单值函数的孤立奇点 (2)、留数的概念及留数定理 (3)、求留数的方法 (4)、利用留数定理求复变积分 (5)、利用留数定理求某些实变积分 重点和难点 重点:单值函数的孤立奇点的分类及 特点；留数定理及留数的求法；利 用留数定理计算复变函数积分和实 变函数积分 难点:留数的求法；留数定理计算实 变积分的方法；单值函数的孤立奇 点 1 孤立奇点 一、孤立奇点的三种类型 如果 a 为 的孤立奇点，则在 a 的某无 心邻域内 可以展成洛朗级数 称 为 在a点的正则部分,而称 为 在a点的主要部分. 孤立奇点分为三种： (i). 可去奇点：如果 在a点没有主要部分， 则称 a 为 的可去奇点. (i
6、i). m阶极点：如果 在 a 点的主要部分 有有限多项，设为: 则称 a 为 的m阶级点. (iii).本性奇点：如果 在a点的主要部分有 无限多项，则称a为 的本性奇点. 二、可去奇点 是 可去奇点的充要条件为 下列条件之一： (i). 在a 点没有主要部分 (ii). 存在并且有限 (iii). 在a的充分小邻域内有界 例如 三、极点 为 的m 阶极点的充要条件是下 列条件之一： (i). 在a点的主要部分为 (ii). 在a 的某无心邻域内能表示成 其中 在a的邻域内解析，且 . (iii).若a为 的m阶零点，则a为 的m阶极点. 所谓a为 的m阶零点，是指 ， ， ， ，但 显然，不恒等于零的解析函数 如果能表示成 其中 在a的邻域内解析，且 ，m为 正整数，则a为 的m阶零点 推论： 的孤立奇点a为极点的充分必要条 件是 例如 四、本性奇点 充要条件： 不存在 a为 的本性奇点。 不存在的意思是：当 时， 既不趋于 ，也不趋于一定的值. 例如:
