1、第二节第二节 动态规划问题的基本要素动态规划问题的基本要素 和最优化原理和最优化原理 2.1 动态规划的基本概念 2.2 动态规划的基本思想 2.3 建立动态规划模型的步骤 1、阶段： 把一个问题的过程，恰当地分为若干个相互联系 的阶段，以便于按一定的次序去求解。 描述阶段的变量称为阶段变量。阶段的划分，一 般是根据时间和空间的自然特征来进行的，但要便 于问题转化为多阶段决策。 2、状态：表示每个阶段开始所处的自然状况或客观 条件。通常一个阶段有若干个状态，描述过程状态 的变量称为状态变量。 年、月 、路段 一个数 、一组 数、一 个向量 状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此 集合称为状态
2、允许集合。 2.1 动态规划的基本概念 3、决策：表示当过程处于某一阶段的某个状态时 ，可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态， 这种决定称为决策。 描述决策的变量，称为决策变量。决策变量是状态 变量的函数。可用一个数、一组数或一向量（多维情 形）来描述。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内 ，此范围称为允许决策集合。 系统在某一阶段的状态转移不但与系统的当前的状态 和决策有关，而且还与系统过去的历史状态和决策有 关。 4、多阶段决策过程 可以在各个阶段进行决策，去控制过程发展的多段过 程； 其发展是通过一系列的状态转移来实现的； 图示如下： 状态转移方程是确定 过程由一个状态到
3、另 一个状态的演变过程 。如果第k阶段状态变 量sk的值、该阶段的决 策变量一经确定，第 k+1阶段状态变量sk+1 的值也就确定。 其状态转移方程如下（一般形式） 12 k s1 u1 s2 u2 s3sk uk sk+1 能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类 特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段 决策过程。 如果状态变量不能满足无后效性的要求，应 适当地改变状态的定义或规定方法。 动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。 状态具有无后效性的多阶段决策过程的状 态转移方程如下 无后效性(马尔可夫性) 如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后 过程的发展不受这个阶段以前各段状态的
4、影响； 过程的过去历史只能通过当前的状态去影响 它未来的发展； 构造动态规划模型时，要充分注意是 否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求； 5、策略：是一个按顺序排列的决策组成的集合。在 实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，称为允 许策略集合。从允许策略集合中找出达到最优效果的 策略称为最优策略。 6、状态转移方程：是确定过程由一个状态到另一个 状态的演变过程，描述了状态转移规律。 7、指标函数和最优值函数：用来衡量所实现过程优 劣的一种数量指标，为指标函数。指标函数的最优值 ，称为最优值函数。在不同的问题中，指标函数的含 义是不同的，它可能是距离、利润、成本、产量或资 源消
5、耗等。 动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满 足递推关系。 小结: 方程 :状态转移方程 概念 : 阶段变量k状态变量sk决策变量uk; 指标 : 动态规划本质上是多阶段决策过程; 效益 指标函数形式: 和、积 无后效性 可递推 解多阶段决策过程问题，求出 最优策略，即最优决策序列 f1(s1) 最优轨线，即执行最优策略时的状态序列 最优目标函数值 从 k 到终点最优策略 子策略的最优目标函数值 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本 的递推关系式和恰当的边界条件（简称基本方 程）。要做到这一点，就必须将问题的过程分 成几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量 和决策变量及定义最优值函
6、数，从而把一个大 问题转化成一组同类型的子问题，然后逐个求 解。即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每 一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问 题的最优化结果，依次进行，最后一个子问题 所得的最优解，就是整个问题的最优解。 2.2 动态规划的基本思想 2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段 和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的 一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑的 ，与该段的最优选择答案一般是不同的. 最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面 的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构 成最优子策略。
7、”也就是说，一个最优策略的子策 略也是最优的。 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的 ，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的 各段状态便可逐段变换得到，从而确定了最优路线。 2.3 建立动态规划模型的步骤 1、划分阶段 划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一 步，在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过 程划分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋 予“时间”概念，以便划分阶段。 2、正确选择状态变量 选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效性 ，而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变 量的选择是从过程演变的特点中寻找。 3、确定决
8、策变量及允许决策集合 通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时 要给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。 4、确定状态转移方程 根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态 变量，状态转移方程应当具有递推关系。 5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动 态规划基本方程 阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是 指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优值 ，最后写出动态规划基本方程。 以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动 态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一的 模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不断实 践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。
